Номер 237, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 237, страница 340.

Условие.

237. Найдите число корней данного уравнения в зависимости от параметра a:

a) $x^3 - 3x = a;$

б) $|x^2 - 4x + 3| = ax.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $x^3 - 3x = a$

Для решения данной задачи воспользуемся графическим методом. Определим число корней уравнения как число точек пересечения графиков двух функций: $y = x^3 - 3x$ и $y = a$.

График функции $y = a$ представляет собой горизонтальную прямую.

Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x$ с помощью производной, чтобы построить ее график.

1. Найдем производную функции: $f'(x) = (x^3 - 3x)' = 3x^2 - 3$.

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 3 = 0$ $3(x^2 - 1) = 0$ $x^2 = 1$ Критическими точками являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

3. Определим интервалы возрастания и убывания функции.

• При $x \in (-\infty, -1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (-1, 1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
• При $x \in (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, в точке $x = -1$ функция имеет локальный максимум, а в точке $x = 1$ — локальный минимум.

4. Найдем значения функции в точках экстремума:

• Локальный максимум: $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$.
• Локальный минимум: $f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$.

Теперь проанализируем число пересечений графика $y = x^3 - 3x$ с горизонтальной прямой $y = a$.

• Если прямая проходит выше локального максимума ($a > 2$) или ниже локального минимума ($a < -2$), то будет одна точка пересечения.
• Если прямая касается графика в точке локального максимума ($a = 2$) или локального минимума ($a = -2$), то будет две точки пересечения.
• Если прямая находится между локальным максимумом и минимумом ($-2 < a < 2$), то будет три точки пересечения.

Ответ:

• При $|a| > 2$ (т.е. $a < -2$ или $a > 2$) — 1 корень.
• При $|a| = 2$ (т.е. $a = -2$ или $a = 2$) — 2 корня.
• При $|a| < 2$ (т.е. $-2 < a < 2$) — 3 корня.

б) $|x^2 - 4x + 3| = ax$

Решим задачу графически. Число корней уравнения равно числу точек пересечения графиков функций $y = |x^2 - 4x + 3|$ и $y = ax$.

1. Построим график функции $y = |x^2 - 4x + 3|$. Сначала построим параболу $y = x^2 - 4x + 3$.

• Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ — это $x_1 = 1, x_2 = 3$.
• Вершина параболы находится в точке $x_v = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$. Значение функции в вершине $y_v = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$.

Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ положительна при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$ и отрицательна при $x \in (1, 3)$. График функции $y = |x^2 - 4x + 3|$ получается из графика параболы $y = x^2 - 4x + 3$ путем отражения части графика, лежащей ниже оси Ox, симметрично относительно этой оси. Таким образом, график $y = |x^2 - 4x + 3|$ состоит из двух частей:

• $y = x^2 - 4x + 3$ при $x \in (-\infty, 1] \cup [3, \infty)$.
• $y = -(x^2 - 4x + 3) = -x^2 + 4x - 3$ при $x \in (1, 3)$.

2. Исследуем график функции $y = ax$. Это семейство прямых, проходящих через начало координат $(0, 0)$ с угловым коэффициентом $a$. Заметим, что $x=0$ не является корнем, так как $|3| \ne a \cdot 0$.

Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от параметра $a$.

• При $a = 0$, уравнение принимает вид $|x^2 - 4x + 3| = 0$, откуда $x^2 - 4x + 3 = 0$. Корни $x=1$ и $x=3$. Итог: 2 корня.
• При $a > 0$, решения могут быть только при $x > 0$. Прямая $y=ax$ вращается против часовой стрелки. Найдем ключевые значения $a$, соответствующие касаниям.
  • Касание с "горбом" $y = -x^2 + 4x - 3$. Уравнение $ax = -x^2 + 4x - 3$ или $x^2 + (a-4)x + 3 = 0$ должно иметь один корень. Дискриминант $D = (a-4)^2 - 12 = 0$, откуда $a-4 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$. Так как $a>0$, нас интересует $a = 4 - 2\sqrt{3} \approx 0.536$. Точка касания $x = -(a-4)/2 = \sqrt{3}$, что лежит в интервале $(1,3)$. Это валидный случай касания.

  При $0 < a < 4-2\sqrt{3}$ прямая пересекает "горб" в двух точках и две ветви параболы в двух точках. Всего 4 корня. При $a = 4-2\sqrt{3}$ прямая касается "горба" (1 корень) и пересекает две ветви параболы (2 корня). Всего 3 корня. При $a > 4-2\sqrt{3}$ прямая не пересекает "горб", но пересекает две ветви параболы. Всего 2 корня.

• При $a < 0$, решения могут быть только при $x < 0$. Ищем пересечения с ветвью параболы $y = x^2 - 4x + 3$.
  • Найдем касательную из начала координат к этой параболе. Уравнение $ax = x^2 - 4x + 3$ или $x^2 - (a+4)x + 3 = 0$ должно иметь один корень. Дискриминант $D = (a+4)^2 - 12 = 0$, откуда $a+4 = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$. Так как $a < 0$, нас интересует $a = -4 - 2\sqrt{3} \approx -7.46$. Точка касания $x = (a+4)/2 = -\sqrt{3}$, что лежит в области $x < 1$. Это валидный случай.
  При $a < -4 - 2\sqrt{3}$ прямая пересекает левую ветвь параболы в двух точках. Всего 2 корня. При $a = -4 - 2\sqrt{3}$ прямая касается левой ветви параболы. Всего 1 корень. При $-4 - 2\sqrt{3} < a < 0$ пересечений нет. Всего 0 корней.

Ответ:

• При $a \in (-\infty, -4-2\sqrt{3})$ — 2 корня.
• При $a = -4 - 2\sqrt{3}$ — 1 корень.
• При $a \in (-4 - 2\sqrt{3}, 0)$ — нет корней.
• При $a = 0$ — 2 корня.
• При $a \in (0, 4 - 2\sqrt{3})$ — 4 корня.
• При $a = 4 - 2\sqrt{3}$ — 3 корня.
• При $a \in (4 - 2\sqrt{3}, \infty)$ — 2 корня.