Номер 238, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 238, страница 340.

Условие.

238. К реке шириной $a$ проведен под прямым углом канал шириной $b$. Какую максимальную длину могут иметь суда, чтобы пройти в канал? ($a$ и $b$ измеряются в метрах).

Решение 5.

Данная задача является классической задачей на оптимизацию, известной как "задача о лестнице" или "задача о повороте в коридоре". Чтобы судно максимальной длины могло пройти из реки в канал, его длина не должна превышать минимально возможную длину отрезка, который упирается в два внешних берега и одновременно касается внутреннего угла. Найдем эту минимальную длину.

Введем декартову систему координат. Пусть внешние берега реки и канала лежат на положительных осях $Oy$ и $Ox$ соответственно. Тогда внутренний угол, который судно должно обогнуть, будет представлен точкой с координатами $(b, a)$. Судно в самый критический момент поворота можно представить как отрезок прямой, который касается точки $(b, a)$ и концами упирается в оси координат.

Пусть $L$ — длина этого отрезка (судна), а $\theta$ — угол, который он образует с положительным направлением оси $Ox$. Длину $L$ можно выразить как функцию угла $\theta$. Отрезок $L$ делится точкой касания $(b, a)$ на две части, $L_1$ и $L_2$. Из рассмотрения двух прямоугольных треугольников, образованных отрезком, осями координат и линиями $x=b$ и $y=a$, можно выразить длины этих частей:

Часть отрезка от оси $Oy$ до точки касания: $L_1 = \frac{a}{\sin\theta}$
Часть отрезка от точки касания до оси $Ox$: $L_2 = \frac{b}{\cos\theta}$

Следовательно, общая длина отрезка как функция угла $\theta$ равна:$L(\theta) = L_1 + L_2 = \frac{a}{\sin\theta} + \frac{b}{\cos\theta}$Угол $\theta$ изменяется в пределах от $0$ до $\pi/2$.

Максимально возможная длина судна равна минимальному значению функции $L(\theta)$. Чтобы найти этот минимум, вычислим производную функции $L(\theta)$ по $\theta$ и приравняем ее к нулю.$\frac{dL}{d\theta} = \frac{d}{d\theta} \left( a(\sin\theta)^{-1} + b(\cos\theta)^{-1} \right) = -a(\sin\theta)^{-2}\cos\theta - b(-\cos\theta)^{-2}(-\sin\theta)$$\frac{dL}{d\theta} = -\frac{a\cos\theta}{\sin^2\theta} + \frac{b\sin\theta}{\cos^2\theta}$

Приравняем производную к нулю:$-\frac{a\cos\theta}{\sin^2\theta} + \frac{b\sin\theta}{\cos^2\theta} = 0$$\frac{b\sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{a\cos\theta}{\sin^2\theta}$$b\sin^3\theta = a\cos^3\theta$$\frac{\sin^3\theta}{\cos^3\theta} = \tan^3\theta = \frac{a}{b}$

Отсюда находим тангенс угла, при котором длина $L$ минимальна:$\tan\theta = \left(\frac{a}{b}\right)^{1/3} = \frac{a^{1/3}}{b^{1/3}}$

Теперь найдем значения $\sin\theta$ и $\cos\theta$, соответствующие этому углу. Рассмотрим прямоугольный треугольник с противолежащим катетом $a^{1/3}$ и прилежащим катетом $b^{1/3}$. Гипотенуза такого треугольника равна $\sqrt{(a^{1/3})^2 + (b^{1/3})^2} = \sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}$. Тогда:$\sin\theta = \frac{a^{1/3}}{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}$$\cos\theta = \frac{b^{1/3}}{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}$

Подставим эти выражения в формулу для $L(\theta)$, чтобы найти минимальную длину:$L_{min} = \frac{a}{\sin\theta} + \frac{b}{\cos\theta} = \frac{a}{\frac{a^{1/3}}{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}} + \frac{b}{\frac{b^{1/3}}{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}}$$L_{min} = a \cdot \frac{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}{a^{1/3}} + b \cdot \frac{\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}}{b^{1/3}}$$L_{min} = a^{2/3}\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}} + b^{2/3}\sqrt{a^{2/3} + b^{2/3}}$$L_{min} = (a^{2/3} + b^{2/3}) \cdot (a^{2/3} + b^{2/3})^{1/2}$$L_{min} = (a^{2/3} + b^{2/3})^{3/2}$

Это и есть искомая максимальная длина судна.

Ответ: Максимальная длина судна, которое может пройти в канал, равна $(a^{2/3} + b^{2/3})^{3/2}$ метров.