Номер 231, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 231, страница 339.

Условие.

231. Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Первая из них не зависит от скорости и равна 480 р. в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна 30 р. в час. При какой скорости общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей?

$R_{км}(v) = \frac{480}{v} + 0.03 v^2$

Решение 5.

Обозначим скорость парохода через $v$ (в км/ч). Общие расходы на топливо в час, обозначим их $C_{час}(v)$, состоят из двух частей.

Первая часть, $C_1$, не зависит от скорости и равна 480 р. в час.

Вторая часть, $C_2$, пропорциональна кубу скорости, то есть ее можно записать в виде $C_2 = k \cdot v^3$, где $k$ — это коэффициент пропорциональности.

Из условия известно, что при скорости $v = 10$ км/ч вторая часть расходов составляет $C_2 = 30$ р. в час. Используем эти данные для нахождения коэффициента $k$:

$30 = k \cdot (10)^3$

$30 = k \cdot 1000$

$k = \frac{30}{1000} = 0.03$

Теперь мы можем записать формулу для общих расходов на топливо в час в зависимости от скорости $v$:

$C_{час}(v) = C_1 + C_2 = 480 + 0.03v^3$

Нам нужно найти, при какой скорости будет наименьшей общая сумма расходов на 1 км пути. Обозначим эту величину как $C_{км}(v)$. Чтобы найти стоимость 1 км пути, нужно стоимость одного часа плавания разделить на расстояние, пройденное за этот час, то есть на скорость $v$:

$C_{км}(v) = \frac{C_{час}(v)}{v} = \frac{480 + 0.03v^3}{v} = \frac{480}{v} + 0.03v^2$

Чтобы найти скорость, при которой расходы на 1 км будут наименьшими, нам необходимо найти минимум функции $C_{км}(v)$. Для этого найдем ее производную по $v$ и приравняем к нулю.

$C'_{км}(v) = \left(\frac{480}{v} + 0.03v^2\right)' = (480v^{-1} + 0.03v^2)' = -480v^{-2} + 2 \cdot 0.03v = -\frac{480}{v^2} + 0.06v$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$-\frac{480}{v^2} + 0.06v = 0$

$0.06v = \frac{480}{v^2}$

$0.06v^3 = 480$

$v^3 = \frac{480}{0.06} = \frac{48000}{6} = 8000$

$v = \sqrt[3]{8000} = 20$

Мы нашли критическую точку $v=20$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно исследовать знак производной или найти вторую производную. Найдем вторую производную:

$C''_{км}(v) = \left(-\frac{480}{v^2} + 0.06v\right)' = \left(-480v^{-2} + 0.06v\right)' = -(-2) \cdot 480v^{-3} + 0.06 = \frac{960}{v^3} + 0.06$

Поскольку скорость $v$ является положительной величиной, вторая производная $C''_{км}(v)$ всегда будет положительной. Следовательно, в точке $v=20$ функция $C_{км}(v)$ имеет минимум.

Ответ: 20 км/ч.