Номер 228, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 228, страница 339.

Условие.

228. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

a) $f(x) = 4x^3 - x |x - 2|$ на $[0; 3];$

б) $f(x) = \max_{R} \left(\frac{10}{x^2 + 4\pi x - 41} + \cos x\right).$

Решение 5.

а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 4x^3 - x|x - 2|$ на отрезке $[0; 3]$.
Функция содержит модуль, поэтому рассмотрим два случая.

1. Если $x \in [0; 2]$, то $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.
Функция принимает вид:
$f(x) = 4x^3 - x(2 - x) = 4x^3 + x^2 - 2x$.
Найдем производную этой функции, чтобы найти критические точки:
$f'(x) = (4x^3 + x^2 - 2x)' = 12x^2 + 2x - 2 = 2(6x^2 + x - 1)$.
Приравняем производную к нулю: $6x^2 + x - 1 = 0$.
Найдем корни квадратного уравнения:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{-1 \pm 5}{12}$.
Корни: $x_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
В интервал $[0; 2]$ попадает только корень $x_1 = \frac{1}{3}$. Это наша первая критическая точка.

2. Если $x \in [2; 3]$, то $|x - 2| = x - 2$.
Функция принимает вид:
$f(x) = 4x^3 - x(x - 2) = 4x^3 - x^2 + 2x$.
Найдем производную:
$f'(x) = (4x^3 - x^2 + 2x)' = 12x^2 - 2x + 2$.
Приравняем производную к нулю: $12x^2 - 2x + 2 = 0$.
Дискриминант этого уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 2 = 4 - 96 = -92$.
Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($12 > 0$), производная $f'(x)$ всегда положительна. Это означает, что на отрезке $[2; 3]$ функция $f(x)$ монотонно возрастает и не имеет критических точек.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[0; 3]$ нужно вычислить значения функции в критической точке $x = \frac{1}{3}$ и на концах отрезка $[0; 3]$, а также в точке "стыка" $x=2$.
Вычисляем значения функции в точках $0, \frac{1}{3}, 2, 3$:
$f(0) = 4(0)^3 + 0^2 - 2(0) = 0$
$f(\frac{1}{3}) = 4(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = 4 \cdot \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{4}{27} + \frac{3}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{11}{27}$
$f(2) = 4(2)^3 - 2|2 - 2| = 4 \cdot 8 - 0 = 32$
$f(3) = 4(3)^3 - 3|3 - 2| = 4 \cdot 27 - 3 \cdot 1 = 108 - 3 = 105$

Сравнивая полученные значения $0, -\frac{11}{27}, 32, 105$, заключаем, что:
Наименьшее значение функции $f_{min} = -\frac{11}{27}$.
Наибольшее значение функции $f_{max} = 105$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно $-\frac{11}{27}$, наибольшее значение равно $105$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \max_R \left(\frac{10}{x^2 + 4\pi x - 41} + \cos x\right)$.
Формулировка задачи, вероятно, содержит опечатки, так как в текущем виде она некорректна. Если $f(x)$ является функцией от $x$, то операция $\max_R$ (максимум по всем действительным числам) не может применяться к выражению, зависящему от $x$. Если же под $\max_R$ имеется в виду поиск максимума функции $g(x) = \frac{10}{x^2 + 4\pi x - 41} + \cos x$ по переменной $x$, то такой максимум не существует (равен $+\infty$), так как знаменатель $x^2 + 4\pi x - 41$ обращается в ноль, и функция имеет вертикальные асимптоты.

Предположим, что в задаче допущены следующие опечатки:
1. Максимум ищется по некоторой другой переменной, например $t$, а не по $x$.
2. В знаменателе перед $t^2$ должен стоять знак минус (или константа должна быть $+41$), чтобы знаменатель не обращался в ноль.
При таких допущениях задача становится осмысленной. Решим скорректированную задачу:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \max_{t \in R} \left(\frac{10}{-t^2 + 4\pi t - 41} + \cos x\right)$.

Поскольку $\cos x$ не зависит от $t$, его можно вынести за знак максимума:
$f(x) = \cos x + \max_{t \in R} \left(\frac{10}{-t^2 + 4\pi t - 41}\right)$.
Пусть $h(t) = \frac{10}{-t^2 + 4\pi t - 41}$. Найдем максимум этой функции.
Знаменатель $p(t) = -t^2 + 4\pi t - 41$ является параболой с ветвями, направленными вниз. Своего наибольшего значения он достигает в вершине.
Координата вершины параболы: $t_v = -\frac{4\pi}{2(-1)} = 2\pi$.
Максимальное значение знаменателя: $p(2\pi) = -(2\pi)^2 + 4\pi(2\pi) - 41 = -4\pi^2 + 8\pi^2 - 41 = 4\pi^2 - 41$.
Так как $\pi \approx 3.14$, то $\pi^2 \approx 9.87$, а $4\pi^2 \approx 39.48$. Следовательно, $4\pi^2 - 41 < 0$.
Поскольку максимальное значение знаменателя отрицательно, знаменатель $p(t)$ всегда отрицателен.
Чтобы максимизировать дробь $h(t) = \frac{10}{p(t)}$ (которая всегда отрицательна), нужно, чтобы ее знаменатель $p(t)$ был как можно ближе к нулю, то есть максимальным.
Таким образом, $\max_{t \in R} h(t) = \frac{10}{\max_{t \in R} p(t)} = \frac{10}{4\pi^2 - 41}$.
Теперь подставим найденное значение в выражение для $f(x)$:
$f(x) = \cos x + \frac{10}{4\pi^2 - 41}$.
Это функция вида $f(x) = \cos x + C$, где $C = \frac{10}{4\pi^2 - 41}$ — константа.
Наибольшее значение функции достигается, когда $\cos x = 1$:
$f_{max} = 1 + \frac{10}{4\pi^2 - 41} = \frac{4\pi^2 - 41 + 10}{4\pi^2 - 41} = \frac{4\pi^2 - 31}{4\pi^2 - 41}$.
Наименьшее значение функции достигается, когда $\cos x = -1$:
$f_{min} = -1 + \frac{10}{4\pi^2 - 41} = \frac{-(4\pi^2 - 41) + 10}{4\pi^2 - 41} = \frac{-4\pi^2 + 41 + 10}{4\pi^2 - 41} = \frac{51 - 4\pi^2}{4\pi^2 - 41}$.

Ответ: При условии исправления опечаток в условии, наибольшее значение функции равно $\frac{4\pi^2 - 31}{4\pi^2 - 41}$, а наименьшее значение равно $\frac{51 - 4\pi^2}{4\pi^2 - 41}$.