Номер 234, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 234, страница 340.

Условие.

234. Докажите, что если $x \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$, то:

a) $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$;

б) $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$;

в) $\cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$;

г) $\sin x < x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$.

Решение 5.

Для доказательства данных неравенств мы будем использовать метод анализа функций с помощью их производных. Для каждого неравенства мы введем вспомогательную функцию, равную разности левой и правой частей, и докажем, что она положительна на заданном интервале $x \in (0, \frac{\pi}{2})$.

а) Докажем неравенство $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x - (1 - \frac{x^2}{2}) = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$. Нам нужно доказать, что $f(x) > 0$ для всех $x \in (0, \frac{\pi}{2})$.

Найдем производную этой функции: $f'(x) = (\cos x - 1 + \frac{x^2}{2})' = -\sin x + x = x - \sin x$.

Теперь исследуем знак $f'(x)$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Для этого рассмотрим еще одну функцию $g(x) = f'(x) = x - \sin x$. Найдем производную функции $g(x)$: $g'(x) = (x - \sin x)' = 1 - \cos x$.

На интервале $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, значение $\cos x$ находится в пределах $0 < \cos x < 1$. Следовательно, $g'(x) = 1 - \cos x > 0$ на этом интервале. Поскольку $g'(x) > 0$, функция $g(x)$ строго возрастает на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$.

Это означает, что для любого $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, выполняется $g(x) > g(0)$. Вычислим $g(0) = 0 - \sin 0 = 0$. Таким образом, $g(x) > 0$ для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$.

Так как $f'(x) = g(x)$, мы имеем $f'(x) > 0$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале. Следовательно, для любого $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, выполняется $f(x) > f(0)$.

Вычислим $f(0) = \cos 0 - 1 + \frac{0^2}{2} = 1 - 1 + 0 = 0$. Таким образом, мы доказали, что $f(x) > 0$ для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, что эквивалентно $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Докажем неравенство $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = \sin x - (x - \frac{x^3}{6}) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$. Нам нужно доказать, что $f(x) > 0$ для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$.

Найдем производную: $f'(x) = (\sin x - x + \frac{x^3}{6})' = \cos x - 1 + \frac{3x^2}{6} = \cos x - 1 + \frac{x^2}{2}$.

В пункте а) мы доказали, что для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ выполняется неравенство $\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}$. Это эквивалентно тому, что $\cos x - 1 + \frac{x^2}{2} > 0$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$. Это означает, что функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале.

Для любого $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ имеем $f(x) > f(0)$. Вычислим $f(0) = \sin 0 - 0 + \frac{0^3}{6} = 0$.

Таким образом, $f(x) > 0$ для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, что доказывает неравенство $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Докажем неравенство $\cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}) - \cos x$. Нам нужно доказать, что $f(x) > 0$ для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$.

Найдем производную: $f'(x) = (1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x)' = -\frac{2x}{2} + \frac{4x^3}{24} - (-\sin x) = \sin x - x + \frac{x^3}{6}$.

В пункте б) мы доказали, что для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ выполняется неравенство $\sin x > x - \frac{x^3}{6}$, что эквивалентно $\sin x - x + \frac{x^3}{6} > 0$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, и функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале.

Для любого $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ имеем $f(x) > f(0)$. Вычислим $f(0) = (1 - 0 + 0) - \cos 0 = 1 - 1 = 0$.

Таким образом, $f(x) > 0$ для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, что доказывает неравенство $\cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Докажем неравенство $\sin x < x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$.

Рассмотрим функцию $f(x) = (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}) - \sin x$. Нам нужно доказать, что $f(x) > 0$ для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$.

Найдем производную: $f'(x) = (x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \sin x)' = 1 - \frac{3x^2}{6} + \frac{5x^4}{120} - \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x$.

В пункте в) мы доказали, что для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ выполняется неравенство $\cos x < 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$, что эквивалентно $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cos x > 0$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ на интервале $(0, \frac{\pi}{2})$, и функция $f(x)$ строго возрастает на этом интервале.

Для любого $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ имеем $f(x) > f(0)$. Вычислим $f(0) = (0 - 0 + 0) - \sin 0 = 0$.

Таким образом, $f(x) > 0$ для $x \in (0, \frac{\pi}{2})$, что доказывает неравенство $\sin x < x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120}$.

Ответ: Неравенство доказано.