Номер 239, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 239, страница 340.

Условие.

239. Найдите минимальное значение функции $f(x) = 2x + \frac{18\pi^2}{x} + \cos x$ на интервале $(0; 10).$

Решение 5.

Для нахождения минимального значения функции $f(x) = 2x + \frac{18\pi^2}{x} + \cos x$ на интервале $(0; 10)$, мы воспользуемся методом дифференциального исчисления. Сначала найдем производную функции $f(x)$.

Производная функции $f(x)$ по $x$ равна:

$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 2x + \frac{18\pi^2}{x} + \cos x \right) = 2 - \frac{18\pi^2}{x^2} - \sin x$

Далее, чтобы найти критические точки, приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2 - \frac{18\pi^2}{x^2} - \sin x = 0$

Это уравнение можно переписать в виде:

$2 - \frac{18\pi^2}{x^2} = \sin x$

Решить такое трансцендентное уравнение в общем виде сложно. Однако, учитывая наличие $\pi^2$ в уравнении, можно предположить, что решение может быть связано с числом $\pi$. Проверим значение $x = 3\pi$.

Во-первых, убедимся, что это значение принадлежит заданному интервалу $(0; 10)$. Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получаем $3\pi \approx 9.42477$. Так как $0 < 9.42477 < 10$, точка $x = 3\pi$ находится в пределах интервала.

Во-вторых, подставим $x = 3\pi$ в уравнение для производной:

$f'(3\pi) = 2 - \frac{18\pi^2}{(3\pi)^2} - \sin(3\pi) = 2 - \frac{18\pi^2}{9\pi^2} - 0 = 2 - 2 = 0$

Так как производная в точке $x = 3\pi$ равна нулю, это критическая точка.

Чтобы определить, является ли эта точка точкой минимума, найдем вторую производную $f''(x)$:

$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 2 - \frac{18\pi^2}{x^2} - \sin x \right) = \frac{36\pi^2}{x^3} - \cos x$

Вычислим значение второй производной в точке $x = 3\pi$:

$f''(3\pi) = \frac{36\pi^2}{(3\pi)^3} - \cos(3\pi) = \frac{36\pi^2}{27\pi^3} - (-1) = \frac{4}{3\pi} + 1$

Поскольку $\pi > 0$, значение $f''(3\pi) = \frac{4}{3\pi} + 1$ является положительным. Согласно второму тесту производной, это означает, что в точке $x = 3\pi$ функция $f(x)$ имеет локальный минимум.

Можно показать, что на интервале $(0; 3\pi)$ производная $f'(x)$ отрицательна, а на интервале $(3\pi; 10)$ — положительна. Это означает, что функция $f(x)$ убывает до точки $x=3\pi$ и возрастает после нее, следовательно, $x=3\pi$ является точкой глобального минимума на интервале $(0; 10)$.

Теперь найдем минимальное значение функции, подставив $x = 3\pi$ в исходное выражение для $f(x)$:

$f(3\pi) = 2(3\pi) + \frac{18\pi^2}{3\pi} + \cos(3\pi) = 6\pi + 6\pi - 1 = 12\pi - 1$

Ответ: $12\pi - 1$.