Номер 244, страница 341 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 244, страница 341.

Условие.

244. Найдите все значения аргумента, при которых касательные, проведенные к графикам функций $f(x) = 3 \cos 5x$ и $g(x) = 5 \cos 3x + 2$ через точки с этими абсциссами, параллельны.

Решение 5.

Условие параллельности касательных, проведенных к графикам функций $f(x)$ и $g(x)$ в точках с одной и той же абсциссой $x$, заключается в равенстве их угловых коэффициентов в этой точке. Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания. Следовательно, необходимо найти все значения $x$, для которых выполняется равенство $f'(x) = g'(x)$.

Найдем производные заданных функций $f(x) = 3 \cos 5x$ и $g(x) = 5 \cos 3x + 2$, используя правило дифференцирования сложной функции.
Производная функции $f(x)$:
$f'(x) = (3 \cos 5x)' = 3 \cdot (-\sin 5x) \cdot (5x)' = -15 \sin 5x$.
Производная функции $g(x)$:
$g'(x) = (5 \cos 3x + 2)' = 5 \cdot (-\sin 3x) \cdot (3x)' + 0 = -15 \sin 3x$.

Теперь приравняем производные и решим полученное уравнение:
$f'(x) = g'(x)$
$-15 \sin 5x = -15 \sin 3x$
Разделим обе части уравнения на $-15$:
$\sin 5x = \sin 3x$

Для решения этого тригонометрического уравнения перенесем все члены в левую часть и применим формулу разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \sin\frac{\alpha-\beta}{2}$.
$\sin 5x - \sin 3x = 0$
$2 \cos\left(\frac{5x+3x}{2}\right) \sin\left(\frac{5x-3x}{2}\right) = 0$
$2 \cos(4x) \sin(x) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1) $\sin x = 0$
Решения этого уравнения: $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos 4x = 0$
Решения этого уравнения: $4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Отсюда $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Объединив решения обоих уравнений, мы получаем все значения аргумента, при которых касательные к графикам данных функций параллельны.
Ответ: $x = \pi n$, $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.