Номер 248, страница 341 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 248, страница 341.

Условие.

248. При каких значениях $a$ и $b$ прямая $y = 7x - 2$ касается графика функции $y = ax^2 + bx + 1$ в точке $A(1; 5)$?

Решение 3.

Решение 5.

Для того чтобы прямая $y = 7x - 2$ касалась графика функции $y = ax^2 + bx + 1$ (параболы) в указанной точке $A(1; 5)$, необходимо выполнение двух условий.

Первое условие: точка касания лежит на графике функции.

Поскольку касание происходит в точке $A(1; 5)$, эта точка должна принадлежать графику функции $y = ax^2 + bx + 1$. Подставим координаты точки $x=1$ и $y=5$ в уравнение функции:

$5 = a \cdot (1)^2 + b \cdot (1) + 1$

$5 = a + b + 1$

Из этого получаем первое уравнение, связывающее $a$ и $b$:

$a + b = 4$

Второе условие: равенство угловых коэффициентов.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = y'(x_0)$.

Угловой коэффициент заданной прямой $y = 7x - 2$ равен $k=7$.

Найдем производную функции $y = ax^2 + bx + 1$:

$y' = (ax^2 + bx + 1)' = 2ax + b$

В точке касания $A(1; 5)$ абсцисса равна $x_0 = 1$. Приравняем значение производной в этой точке к угловому коэффициенту касательной:

$y'(1) = 2a \cdot 1 + b = 7$

$2a + b = 7$

Это второе уравнение для нахождения $a$ и $b$.

Решение системы уравнений.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$ \begin{cases} a + b = 4 \\ 2a + b = 7 \end{cases} $

Для решения системы удобно вычесть первое уравнение из второго:

$(2a + b) - (a + b) = 7 - 4$

$a = 3$

Подставим найденное значение $a = 3$ в первое уравнение системы:

$3 + b = 4$

$b = 1$

Таким образом, искомые значения коэффициентов: $a = 3$ и $b = 1$.

Ответ: $a = 3$, $b = 1$.