Номер 245, страница 341 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 245, страница 341.

Условие.

245. Докажите, что отрезок касательной к гиперболе $y = \frac{a}{x}$, заключенный между осями координат, делится точкой касания пополам.

Решение 3.

Решение 5.

Пусть дана гипербола, заданная уравнением $y = \frac{a}{x}$.

Выберем на этой гиперболе произвольную точку касания $M$ с координатами $(x_0, y_0)$. Поскольку точка $M$ лежит на гиперболе, ее координаты удовлетворяют уравнению кривой, то есть $y_0 = \frac{a}{x_0}$.

Для того чтобы найти уравнение касательной к графику функции в точке, нам необходимо найти производную этой функции. Уравнение касательной в точке $(x_0, f(x_0))$ имеет вид: $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

В нашем случае функция $f(x) = \frac{a}{x}$. Найдем ее производную:

$f'(x) = \left(\frac{a}{x}\right)' = (ax^{-1})' = -1 \cdot ax^{-2} = -\frac{a}{x^2}$.

Значение производной в точке касания $x_0$ равно $f'(x_0) = -\frac{a}{x_0^2}$.

Теперь подставим все известные значения в общее уравнение касательной:

$y - y_0 = -\frac{a}{x_0^2}(x - x_0)$.

Заменим $y_0$ на $\frac{a}{x_0}$:

$y - \frac{a}{x_0} = -\frac{a}{x_0^2}(x - x_0)$.

Далее найдем точки, в которых эта касательная пересекает оси координат. Отрезок касательной заключен между этими точками.

1. Точка пересечения с осью ординат (осью Oy).

В этой точке координата $x = 0$. Подставим это значение в уравнение касательной, чтобы найти координату $y$ точки пересечения (назовем ее $A$):

$y_A - \frac{a}{x_0} = -\frac{a}{x_0^2}(0 - x_0)$

$y_A - \frac{a}{x_0} = \frac{a}{x_0}$

$y_A = \frac{a}{x_0} + \frac{a}{x_0} = \frac{2a}{x_0}$.

Таким образом, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $A(0, \frac{2a}{x_0})$.

2. Точка пересечения с осью абсцисс (осью Ox).

В этой точке координата $y = 0$. Подставим это значение в уравнение касательной, чтобы найти координату $x$ точки пересечения (назовем ее $B$):

$0 - \frac{a}{x_0} = -\frac{a}{x_0^2}(x_B - x_0)$.

Предполагая, что $a \neq 0$ и $x_0 \neq 0$ (что верно для гиперболы), мы можем умножить обе части уравнения на $-\frac{x_0}{a}$:

$1 = \frac{1}{x_0}(x_B - x_0)$

$x_0 = x_B - x_0$

$x_B = 2x_0$.

Таким образом, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $B(2x_0, 0)$.

3. Проверка того, что точка касания является серединой отрезка AB.

Отрезок касательной заключен между точками $A(0, \frac{2a}{x_0})$ и $B(2x_0, 0)$. Найдем координаты середины этого отрезка по формуле:

$x_{сер} = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + 2x_0}{2} = x_0$

$y_{сер} = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{\frac{2a}{x_0} + 0}{2} = \frac{2a}{2x_0} = \frac{a}{x_0}$.

Координаты середины отрезка $AB$ равны $(x_0, \frac{a}{x_0})$.

Сравним их с координатами точки касания $M(x_0, y_0)$. Мы знаем, что $y_0 = \frac{a}{x_0}$, следовательно, координаты точки $M$ это $(x_0, \frac{a}{x_0})$.

Координаты середины отрезка $AB$ полностью совпадают с координатами точки касания $M$.

Ответ: Что и требовалось доказать.