Номер 247, страница 341 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 247, страница 341.

Условие.

247. При каких значениях $a$ график функции $f(x) = \frac{ax - x^3}{4}$ пересекает ось абсцисс под углом $45^\circ$ (хотя бы в одной из точек пересечения)?

Решение 5.

Угол, под которым график функции пересекает ось абсцисс в некоторой точке $x_0$, определяется углом наклона касательной к графику в этой же точке. Тангенс угла наклона касательной, в свою очередь, равен значению производной функции в точке касания, то есть $k = \tan(\alpha) = f'(x_0)$.

По условию задачи, угол пересечения равен 45°. Это означает, что касательная к графику в точке пересечения с осью Ox наклонена под углом 45° или 135° к положительному направлению оси. Следовательно, тангенс угла наклона должен быть равен $\tan(45^\circ) = 1$ или $\tan(135^\circ) = -1$. Таким образом, в точке пересечения $x_0$ должно выполняться одно из условий: $f'(x_0) = 1$ или $f'(x_0) = -1$.

1. Найдем точки пересечения графика с осью абсцисс.

Пересечение с осью абсцисс происходит при $f(x) = 0$.

$f(x) = \frac{ax - x^3}{4} = 0$

$ax - x^3 = 0$

$x(a - x^2) = 0$

Отсюда мы получаем следующие точки пересечения:

• $x = 0$ (существует при любом $a$)
• $x^2 = a$, что дает $x = \sqrt{a}$ и $x = -\sqrt{a}$ (эти точки существуют только при $a \ge 0$).

2. Найдем производную функции.

$f'(x) = \left(\frac{ax - x^3}{4}\right)' = \frac{1}{4} \cdot (a - 3x^2)$

3. Проверим условие $f'(x_0) = \pm 1$ для каждой точки пересечения.

Случай 1: Точка пересечения $x_0 = 0$.

Эта точка существует для любого значения $a$. Найдем значение производной в этой точке:

$f'(0) = \frac{1}{4}(a - 3 \cdot 0^2) = \frac{a}{4}$

Теперь приравняем это значение к 1 и -1:

$\frac{a}{4} = 1 \implies a = 4$

$\frac{a}{4} = -1 \implies a = -4$

Итак, при $a=4$ и $a=-4$ график пересекает ось абсцисс в точке $x=0$ под углом 45°.

Случай 2: Точки пересечения $x_0$ таковы, что $x_0^2 = a$.

Эти точки существуют только при $a > 0$ (случай $a=0$ уже рассмотрен). Найдем значение производной в этих точках:

$f'(x_0) = \frac{1}{4}(a - 3x_0^2) = \frac{1}{4}(a - 3a) = \frac{-2a}{4} = -\frac{a}{2}$

Приравняем это значение к 1 и -1:

$-\frac{a}{2} = 1 \implies a = -2$. Это значение не удовлетворяет условию $a > 0$, поэтому оно не является решением.

$-\frac{a}{2} = -1 \implies a = 2$. Это значение удовлетворяет условию $a > 0$.

Следовательно, при $a=2$ график пересекает ось абсцисс в точках $x=\sqrt{2}$ и $x=-\sqrt{2}$ под углом 45°.

Объединяя все найденные значения из обоих случаев, получаем искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-4, 2, 4\}$.