Номер 253, страница 341 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 253, страница 341.

Условие.

253. Найдите все функции $f$, такие, что:

a) $f'(x) = \frac{1}{x-1}$ и $f(3) = -1$;

б) $f''(x) = 3 - x$, $f(0) = 1$, $f'(1) = 0$;

в) $f'(x) = \cos x$ и $f(e) = \pi$;

г) $f''(x) = -1$ и $f(0) = f(2) = 0$.

Решение 5.

а)

Чтобы найти функцию $f(x)$, необходимо проинтегрировать ее производную $f'(x) = \frac{1}{x-1}$.

$f(x) = \int \frac{1}{x-1} \,dx = \ln|x-1| + C$, где $C$ — постоянная интегрирования.

Для нахождения константы $C$ используем начальное условие $f(3) = -1$. Подставим $x=3$ в полученное выражение для $f(x)$:

$f(3) = \ln|3-1| + C = \ln(2) + C$.

Так как по условию $f(3) = -1$, получаем уравнение:

$-1 = \ln(2) + C$.

Отсюда находим $C$:

$C = -1 - \ln(2)$.

Теперь подставляем найденное значение $C$ в общее решение:

$f(x) = \ln|x-1| - 1 - \ln(2)$.

Ответ: $f(x) = \ln|x-1| - 1 - \ln(2)$.

б)

Дано: $f''(x) = 3 - x$, $f(0) = 1$, $f'(1) = 0$.

Сначала найдем $f'(x)$, проинтегрировав $f''(x)$ по $x$:

$f'(x) = \int (3-x) \,dx = 3x - \frac{x^2}{2} + C_1$.

Используем условие $f'(1) = 0$ для нахождения константы $C_1$:

$f'(1) = 3(1) - \frac{1^2}{2} + C_1 = 3 - \frac{1}{2} + C_1 = \frac{5}{2} + C_1$.

Так как $f'(1) = 0$, то $\frac{5}{2} + C_1 = 0$, откуда $C_1 = -\frac{5}{2}$.

Таким образом, первая производная равна: $f'(x) = 3x - \frac{x^2}{2} - \frac{5}{2}$.

Теперь найдем $f(x)$, проинтегрировав $f'(x)$:

$f(x) = \int \left(3x - \frac{x^2}{2} - \frac{5}{2}\right) \,dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{6} - \frac{5x}{2} + C_2$.

Используем условие $f(0) = 1$ для нахождения константы $C_2$:

$f(0) = \frac{3(0)^2}{2} - \frac{0^3}{6} - \frac{5(0)}{2} + C_2 = C_2$.

Так как $f(0)=1$, то $C_2 = 1$.

Подставляем найденные значения констант и получаем искомую функцию, записав ее в порядке убывания степеней $x$:

$f(x) = -\frac{x^3}{6} + \frac{3x^2}{2} - \frac{5x}{2} + 1$.

Ответ: $f(x) = -\frac{x^3}{6} + \frac{3}{2}x^2 - \frac{5}{2}x + 1$.

в)

Дано: $f'(x) = \cos x$ и $f(e) = \pi$.

Находим функцию $f(x)$ путем интегрирования ее производной $f'(x)$:

$f(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C$.

Используем условие $f(e) = \pi$ для определения константы $C$:

$f(e) = \sin(e) + C$.

По условию $f(e)=\pi$, поэтому $\pi = \sin(e) + C$.

Отсюда $C = \pi - \sin(e)$.

Подставляем значение $C$ в выражение для $f(x)$:

$f(x) = \sin x + \pi - \sin(e)$.

Ответ: $f(x) = \sin x + \pi - \sin(e)$.

г)

Дано: $f''(x) = -1$ и $f(0) = f(2) = 0$.

Интегрируем $f''(x)$ для нахождения $f'(x)$:

$f'(x) = \int (-1) \,dx = -x + C_1$.

Интегрируем $f'(x)$ для нахождения $f(x)$:

$f(x) = \int (-x + C_1) \,dx = -\frac{x^2}{2} + C_1 x + C_2$.

Используем два условия, $f(0)=0$ и $f(2)=0$, чтобы найти константы $C_1$ и $C_2$.

Из условия $f(0)=0$:

$f(0) = -\frac{0^2}{2} + C_1 \cdot 0 + C_2 = 0$, следовательно, $C_2 = 0$.

Теперь функция имеет вид $f(x) = -\frac{x^2}{2} + C_1 x$.

Используем второе условие, $f(2)=0$:

$f(2) = -\frac{2^2}{2} + C_1 \cdot 2 = -\frac{4}{2} + 2C_1 = -2 + 2C_1 = 0$.

Решаем уравнение $-2 + 2C_1 = 0$ и находим $C_1$:

$2C_1 = 2 \implies C_1 = 1$.

Подставляем найденные значения $C_1=1$ и $C_2=0$ в выражение для $f(x)$:

$f(x) = -\frac{x^2}{2} + x$.

Ответ: $f(x) = -\frac{x^2}{2} + x$.