Номер 259, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 259, страница 342.
№259 (с. 342)
Условие. №259 (с. 342)
скриншот условия

259. Докажите, что полная энергия $E = \frac{mv^2}{2} + u(x)$ материальной точки массой $m$, движущейся по прямой согласно второму закону Ньютона, сохраняется ($u(x)$ — потенциальная энергия).
Решение 5. №259 (с. 342)
Для доказательства того, что полная энергия материальной точки сохраняется, необходимо показать, что ее производная по времени равна нулю, то есть $\frac{dE}{dt} = 0$.
Полная механическая энергия $E$ материальной точки является суммой ее кинетической энергии $K = \frac{mv^2}{2}$ и потенциальной энергии $u(x)$:
$E = \frac{mv^2}{2} + u(x)$
Здесь масса $m$ является постоянной, а скорость $v$ и координата $x$ являются функциями времени $t$. Найдем производную полной энергии по времени, используя правила дифференцирования:
$\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{mv^2}{2} + u(x) \right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{mv^2}{2}\right) + \frac{d}{dt}\left(u(x)\right)$
Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.
1. Производная кинетической энергии. Используя правило дифференцирования сложной функции ($v$ является функцией от $t$):
$\frac{d}{dt}\left(\frac{mv^2}{2}\right) = \frac{m}{2} \cdot \frac{d(v^2)}{dt} = \frac{m}{2} \cdot 2v \cdot \frac{dv}{dt} = mv \frac{dv}{dt}$
2. Производная потенциальной энергии. Используя правило дифференцирования сложной функции ($u$ является функцией от $x$, а $x$ — функцией от $t$):
$\frac{d}{dt}\left(u(x)\right) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$
По определению, скорость $v$ есть производная координаты по времени, $v = \frac{dx}{dt}$. Тогда:
$\frac{d}{dt}\left(u(x)\right) = v \frac{du}{dx}$
Теперь сложим обе производные, чтобы найти производную полной энергии:
$\frac{dE}{dt} = mv \frac{dv}{dt} + v \frac{du}{dx} = v \left( m\frac{dv}{dt} + \frac{du}{dx} \right)$
Согласно второму закону Ньютона, произведение массы на ускорение равно действующей силе: $F = ma$. Ускорение $a$ — это производная скорости по времени, $a = \frac{dv}{dt}$. Таким образом:
$F = m\frac{dv}{dt}$
Для консервативной системы, к которой относится движение в потенциальном поле, сила, действующая на частицу, связана с потенциальной энергией соотношением (для одномерного случая):
$F = -\frac{du}{dx}$
Приравнивая два выражения для силы, получаем уравнение движения материальной точки:
$m\frac{dv}{dt} = -\frac{du}{dx}$
Перенеся член с производной потенциальной энергии в левую часть, получим:
$m\frac{dv}{dt} + \frac{du}{dx} = 0$
Подставим это выражение в формулу для производной полной энергии:
$\frac{dE}{dt} = v \cdot \left( m\frac{dv}{dt} + \frac{du}{dx} \right) = v \cdot 0 = 0$
Поскольку производная полной энергии по времени равна нулю, это означает, что полная энергия $E$ не изменяется со временем, то есть является постоянной величиной (сохраняется). Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано, что производная полной энергии по времени $\frac{dE}{dt}$ равна нулю, из чего следует, что полная энергия $E$ материальной точки, движущейся по прямой согласно второму закону Ньютона, сохраняется.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 259 расположенного на странице 342 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №259 (с. 342), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.