Номер 259, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 259, страница 342.

Условие.

259. Докажите, что полная энергия $E = \frac{mv^2}{2} + u(x)$ материальной точки массой $m$, движущейся по прямой согласно второму закону Ньютона, сохраняется ($u(x)$ — потенциальная энергия).

Решение 5.

Для доказательства того, что полная энергия материальной точки сохраняется, необходимо показать, что ее производная по времени равна нулю, то есть $\frac{dE}{dt} = 0$.

Полная механическая энергия $E$ материальной точки является суммой ее кинетической энергии $K = \frac{mv^2}{2}$ и потенциальной энергии $u(x)$:

$E = \frac{mv^2}{2} + u(x)$

Здесь масса $m$ является постоянной, а скорость $v$ и координата $x$ являются функциями времени $t$. Найдем производную полной энергии по времени, используя правила дифференцирования:

$\frac{dE}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{mv^2}{2} + u(x) \right) = \frac{d}{dt}\left(\frac{mv^2}{2}\right) + \frac{d}{dt}\left(u(x)\right)$

Рассмотрим каждое слагаемое отдельно.

1. Производная кинетической энергии. Используя правило дифференцирования сложной функции ($v$ является функцией от $t$):

$\frac{d}{dt}\left(\frac{mv^2}{2}\right) = \frac{m}{2} \cdot \frac{d(v^2)}{dt} = \frac{m}{2} \cdot 2v \cdot \frac{dv}{dt} = mv \frac{dv}{dt}$

2. Производная потенциальной энергии. Используя правило дифференцирования сложной функции ($u$ является функцией от $x$, а $x$ — функцией от $t$):

$\frac{d}{dt}\left(u(x)\right) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{dx}{dt}$

По определению, скорость $v$ есть производная координаты по времени, $v = \frac{dx}{dt}$. Тогда:

$\frac{d}{dt}\left(u(x)\right) = v \frac{du}{dx}$

Теперь сложим обе производные, чтобы найти производную полной энергии:

$\frac{dE}{dt} = mv \frac{dv}{dt} + v \frac{du}{dx} = v \left( m\frac{dv}{dt} + \frac{du}{dx} \right)$

Согласно второму закону Ньютона, произведение массы на ускорение равно действующей силе: $F = ma$. Ускорение $a$ — это производная скорости по времени, $a = \frac{dv}{dt}$. Таким образом:

$F = m\frac{dv}{dt}$

Для консервативной системы, к которой относится движение в потенциальном поле, сила, действующая на частицу, связана с потенциальной энергией соотношением (для одномерного случая):

$F = -\frac{du}{dx}$

Приравнивая два выражения для силы, получаем уравнение движения материальной точки:

$m\frac{dv}{dt} = -\frac{du}{dx}$

Перенеся член с производной потенциальной энергии в левую часть, получим:

$m\frac{dv}{dt} + \frac{du}{dx} = 0$

Подставим это выражение в формулу для производной полной энергии:

$\frac{dE}{dt} = v \cdot \left( m\frac{dv}{dt} + \frac{du}{dx} \right) = v \cdot 0 = 0$

Поскольку производная полной энергии по времени равна нулю, это означает, что полная энергия $E$ не изменяется со временем, то есть является постоянной величиной (сохраняется). Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что производная полной энергии по времени $\frac{dE}{dt}$ равна нулю, из чего следует, что полная энергия $E$ материальной точки, движущейся по прямой согласно второму закону Ньютона, сохраняется.