Номер 265, страница 343 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 265, страница 343.
№265 (с. 343)
Условие. №265 (с. 343)
скриншот условия

265. Найдите первообразные для функций $e^x \sin x$ и $e^x \cos x$.
Решение 3. №265 (с. 343)

Решение 5. №265 (с. 343)
Для нахождения первообразных для данных функций необходимо вычислить соответствующие неопределенные интегралы. Задачу удобно решать, находя оба интеграла одновременно, используя метод интегрирования по частям, который приводит к системе линейных уравнений.
Обозначим искомые интегралы: $I = \int e^x \sin x \, dx$ и $J = \int e^x \cos x \, dx$.
Сначала найдем связь между $I$ и $J$, применив к интегралу $I$ метод интегрирования по частям по формуле $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Пусть $u = e^x$ и $dv = \sin x \, dx$. Тогда $du = e^x \, dx$ и $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$. Подставляя в формулу, получаем: $I = e^x(-\cos x) - \int (-\cos x)e^x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$. Так как $\int e^x \cos x \, dx = J$, мы получили первое уравнение: $I = -e^x \cos x + J$.
Теперь применим тот же метод к интегралу $J$. Пусть $u = e^x$ и $dv = \cos x \, dx$. Тогда $du = e^x \, dx$ и $v = \int \cos x \, dx = \sin x$. Подставляя в формулу, получаем: $J = e^x \sin x - \int (\sin x)e^x \, dx$. Так как $\int e^x \sin x \, dx = I$, мы получили второе уравнение: $J = e^x \sin x - I$.
Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $I$ и $J$: $$ \begin{cases} I = -e^x \cos x + J \\ J = e^x \sin x - I \end{cases} $$ Перепишем систему в стандартном виде: $$ \begin{cases} I - J = -e^x \cos x \\ I + J = e^x \sin x \end{cases} $$ Теперь решим эту систему для нахождения $I$ и $J$.
$e^x \sin x$
Для того чтобы найти первообразную функции $e^x \sin x$, нам нужно найти $I$. Сложим два уравнения системы: $(I - J) + (I + J) = -e^x \cos x + e^x \sin x$ $2I = e^x(\sin x - \cos x)$ $I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}$. Поскольку первообразная определяется с точностью до константы, мы добавляем произвольную постоянную $C$.
Ответ: $\frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$.
$e^x \cos x$
Для того чтобы найти первообразную функции $e^x \cos x$, нам нужно найти $J$. Вычтем первое уравнение из второго: $(I + J) - (I - J) = e^x \sin x - (-e^x \cos x)$ $2J = e^x(\sin x + \cos x)$ $J = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2}$. Добавив произвольную постоянную $C$, получаем общее выражение для первообразной.
Ответ: $\frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 265 расположенного на странице 343 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №265 (с. 343), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.