Номер 265, страница 343 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 265, страница 343.

Условие.

265. Найдите первообразные для функций $e^x \sin x$ и $e^x \cos x$.

Решение 3.

Решение 5.

Для нахождения первообразных для данных функций необходимо вычислить соответствующие неопределенные интегралы. Задачу удобно решать, находя оба интеграла одновременно, используя метод интегрирования по частям, который приводит к системе линейных уравнений.

Обозначим искомые интегралы: $I = \int e^x \sin x \, dx$ и $J = \int e^x \cos x \, dx$.

Сначала найдем связь между $I$ и $J$, применив к интегралу $I$ метод интегрирования по частям по формуле $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Пусть $u = e^x$ и $dv = \sin x \, dx$. Тогда $du = e^x \, dx$ и $v = \int \sin x \, dx = -\cos x$. Подставляя в формулу, получаем: $I = e^x(-\cos x) - \int (-\cos x)e^x \, dx = -e^x \cos x + \int e^x \cos x \, dx$. Так как $\int e^x \cos x \, dx = J$, мы получили первое уравнение: $I = -e^x \cos x + J$.

Теперь применим тот же метод к интегралу $J$. Пусть $u = e^x$ и $dv = \cos x \, dx$. Тогда $du = e^x \, dx$ и $v = \int \cos x \, dx = \sin x$. Подставляя в формулу, получаем: $J = e^x \sin x - \int (\sin x)e^x \, dx$. Так как $\int e^x \sin x \, dx = I$, мы получили второе уравнение: $J = e^x \sin x - I$.

Мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными $I$ и $J$: $$ \begin{cases} I = -e^x \cos x + J \\ J = e^x \sin x - I \end{cases} $$ Перепишем систему в стандартном виде: $$ \begin{cases} I - J = -e^x \cos x \\ I + J = e^x \sin x \end{cases} $$ Теперь решим эту систему для нахождения $I$ и $J$.

$e^x \sin x$

Для того чтобы найти первообразную функции $e^x \sin x$, нам нужно найти $I$. Сложим два уравнения системы: $(I - J) + (I + J) = -e^x \cos x + e^x \sin x$ $2I = e^x(\sin x - \cos x)$ $I = \frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2}$. Поскольку первообразная определяется с точностью до константы, мы добавляем произвольную постоянную $C$.
Ответ: $\frac{e^x(\sin x - \cos x)}{2} + C$.

$e^x \cos x$

Для того чтобы найти первообразную функции $e^x \cos x$, нам нужно найти $J$. Вычтем первое уравнение из второго: $(I + J) - (I - J) = e^x \sin x - (-e^x \cos x)$ $2J = e^x(\sin x + \cos x)$ $J = \frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2}$. Добавив произвольную постоянную $C$, получаем общее выражение для первообразной.
Ответ: $\frac{e^x(\sin x + \cos x)}{2} + C$.