Номер 271, страница 344 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 271, страница 344.

Условие.

271. С помощью интегралов найдите предел:

a) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \ldots + \sin \frac{(n-1)\pi}{n} \right);$

б) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{n+n} \right);$

в) $\lim_{n \to \infty} \frac{1^p + 2^p + \ldots + n^p}{n^{p+1}}$ при $p > 0;$

г) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^{p-1}}{(n+1)^p} + \frac{n^{p-1}}{(n+2)^p} + \ldots + \frac{n^{p-1}}{(n+n)^p} \right)$ при $p > 1.$

Решение 5.

а) Данный предел представляет собой предел интегральной суммы. Запишем выражение под знаком предела в виде суммы: $ S_n = \frac{1}{n} \left( \sin\frac{\pi}{n} + \sin\frac{2\pi}{n} + \dots + \sin\frac{(n-1)\pi}{n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n-1} \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) $ Эта сумма является интегральной суммой Римана для функции $f(x) = \sin(\pi x)$ на отрезке $[0, 1]$. Разобьем отрезок $[0, 1]$ на $n$ равных частей длиной $\Delta x = \frac{1}{n}$. Точки разбиения $x_i = \frac{i}{n}$. Если в качестве точек в каждом подынтервале выбрать правые концы, то интегральная сумма будет иметь вид $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(\frac{i}{n})$. В нашей задаче сумма идет до $n-1$, но предел от этого не изменится, так как $n$-й член суммы $\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{n} = \frac{1}{n}\sin(\pi) = 0$ стремится к нулю при $n \to \infty$. Таким образом, искомый предел равен определенному интегралу: $ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \sin(\pi x) dx $ Вычислим этот интеграл: $ \int_0^1 \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x) \right]_0^1 = -\frac{1}{\pi}(\cos(\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{\pi}(-1 - 1) = \frac{2}{\pi} $
Ответ: $ \frac{2}{\pi} $

б) Запишем выражение под знаком предела в виде суммы: $ S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{n+n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i} $ Чтобы привести эту сумму к стандартному виду интегральной суммы Римана, вынесем $n$ из знаменателя каждого слагаемого: $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(1 + i/n)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1 + i/n} $ Это выражение является интегральной суммой для функции $f(x) = \frac{1}{1+x}$ на отрезке $[0, 1]$ с шагом разбиения $\Delta x = \frac{1}{n}$ и выбором правых концов подынтервалов в качестве точек $x_i = \frac{i}{n}$. Следовательно, предел этой суммы равен определенному интегралу: $ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx $ Вычислим интеграл: $ \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = [\ln|1+x|]_0^1 = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) $
Ответ: $ \ln(2) $

в) Запишем выражение под знаком предела в виде суммы: $ S_n = \frac{1^p + 2^p + \dots + n^p}{n^{p+1}} = \frac{1}{n^{p+1}} \sum_{i=1}^{n} i^p $ Преобразуем это выражение, чтобы оно стало похоже на интегральную сумму: $ S_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^p} \sum_{i=1}^{n} i^p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{i^p}{n^p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^p $ Это интегральная сумма для функции $f(x) = x^p$ на отрезке $[0, 1]$ (при $p>0$ функция интегрируема). Шаг разбиения $\Delta x = \frac{1}{n}$, точки $x_i = \frac{i}{n}$. Предел этой суммы равен определенному интегралу: $ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 x^p dx $ Вычислим интеграл. Так как $p > 0$, то $p+1 \neq 0$: $ \int_0^1 x^p dx = \left[ \frac{x^{p+1}}{p+1} \right]_0^1 = \frac{1^{p+1}}{p+1} - \frac{0^{p+1}}{p+1} = \frac{1}{p+1} $
Ответ: $ \frac{1}{p+1} $

г) Запишем выражение в виде суммы: $ S_n = \frac{n^{p-1}}{(n+1)^p} + \frac{n^{p-1}}{(n+2)^p} + \dots + \frac{n^{p-1}}{(n+n)^p} = \sum_{i=1}^{n} \frac{n^{p-1}}{(n+i)^p} $ Преобразуем выражение для получения интегральной суммы: $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{n^{p-1}}{n^p(1+i/n)^p} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{(1+i/n)^p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(1+i/n)^p} $ Это интегральная сумма для функции $f(x) = \frac{1}{(1+x)^p}$ на отрезке $[0, 1]$. Предел этой суммы равен определенному интегралу: $ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^p} dx = \int_0^1 (1+x)^{-p} dx $ Вычислим интеграл. Так как по условию $p > 1$, то $p \neq 1$: $ \int_0^1 (1+x)^{-p} dx = \left[ \frac{(1+x)^{-p+1}}{-p+1} \right]_0^1 = \frac{(1+1)^{-p+1}}{1-p} - \frac{(1+0)^{-p+1}}{1-p} = \frac{2^{1-p} - 1^{1-p}}{1-p} = \frac{2^{1-p} - 1}{1-p} $
Ответ: $ \frac{2^{1-p} - 1}{1-p} $