Номер 273, страница 344 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 273, страница 344.

Условие.

273. Используя геометрическую интерпретацию интеграла, вычислите:

a) $\int_{-2}^{2} ||x|-1| dx;$

б) $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx;$

в) $\int_{0}^{3} |x^2-1| dx;$

г) $\int_{0}^{5} |\{x\}-\frac{1}{2}| dx.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{-2}^{2} ||x|-1| dx$ — это площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=||x|-1|$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=-2$ и $x=2$.
Построим график функции $y=||x|-1|$. Это можно сделать в несколько шагов:
1. График $y=|x|$ — это "галочка" с вершиной в начале координат.
2. График $y=|x|-1$ — это график $y=|x|$, смещенный на 1 единицу вниз по оси $Oy$. Вершина смещается в точку $(0, -1)$, а с осью $Ox$ график пересекается в точках $x=-1$ и $x=1$.
3. График $y=||x|-1|$ получается из предыдущего отражением части графика, лежащей ниже оси $Ox$ (на интервале $(-1, 1)$), симметрично относительно этой оси.
В результате получается W-образный график. Функция $y=||x|-1|$ является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси $Oy$. Это означает, что площадь фигуры от $-2$ до $2$ равна удвоенной площади от $0$ до $2$.
На отрезке $[0, 2]$ график функции состоит из двух отрезков прямых. Искомая площадь на этом отрезке представляет собой сумму площадей двух прямоугольных треугольников:
1. Первый треугольник на отрезке $[0, 1]$. Его вершины находятся в точках $(0, 1)$, $(1, 0)$ и $(0, 0)$. Его катеты равны 1 и 1. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
2. Второй треугольник на отрезке $[1, 2]$. Его вершины находятся в точках $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(2, 0)$. Его катеты равны 1 и 1. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Площадь на отрезке $[0, 2]$ равна $S_{0-2} = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Полная площадь на отрезке $[-2, 2]$ равна $S = 2 \cdot S_{0-2} = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

б) Интеграл $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ геометрически представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{1-x^2}$ и осью $Ox$ на отрезке $[-1, 1]$.
Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{1-x^2}$. Так как $y \ge 0$, мы можем возвести обе части в квадрат: $y^2 = 1 - x^2$, что эквивалентно $x^2 + y^2 = 1$.
Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=1$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только верхнюю половину этой окружности, то есть полукруг.
Таким образом, искомый интеграл равен площади полукруга радиуса 1.
Площадь круга радиуса $r$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$.
Площадь полукруга равна половине площади круга: $S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2$.
Подставляя $r=1$, получаем: $S = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

в) Интеграл $\int_{0}^{3} |x^2-1| dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = |x^2-1|$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=3$.
График функции $y=|x^2-1|$ получается из параболы $y=x^2-1$ путем отражения ее отрицательной части (на интервале $-1 < x < 1$) относительно оси $Ox$.
Выражение под модулем $x^2-1$ меняет знак в точке $x=1$ (на рассматриваемом промежутке $[0, 3]$).
- На отрезке $[0, 1]$ имеем $x^2-1 \le 0$, поэтому $|x^2-1| = -(x^2-1) = 1-x^2$.
- На отрезке $[1, 3]$ имеем $x^2-1 \ge 0$, поэтому $|x^2-1| = x^2-1$.
Таким образом, искомая площадь равна сумме площадей двух криволинейных трапеций. Вычисление этих площадей эквивалентно вычислению двух интегралов:
$\int_{0}^{3} |x^2-1| dx = \int_{0}^{1} (1-x^2) dx + \int_{1}^{3} (x^2-1) dx$.
Вычислим каждый интеграл:
$\int_{0}^{1} (1-x^2) dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(0 - \frac{0^3}{3}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$\int_{1}^{3} (x^2-1) dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{1}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 3\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 1\right) = (9-3) - \left(\frac{1}{3}-1\right) = 6 - \left(-\frac{2}{3}\right) = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$.
Суммарная площадь равна:
$S = \frac{2}{3} + \frac{20}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $\frac{22}{3}$

г) Интеграл $\int_{0}^{5} |\{x\} - \frac{1}{2}| dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = |\{x\} - \frac{1}{2}|$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=5$. Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x$.
Функция $y=\{x\}$ является периодической с периодом $T=1$. Следовательно, функция $f(x) = |\{x\} - \frac{1}{2}|$ также является периодической с периодом $T=1$.
Это означает, что площадь под графиком на отрезке $[0, 5]$ равна сумме площадей на пяти одинаковых отрезках длиной 1: $[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]$. Таким образом, искомый интеграл равен $5 \cdot \int_{0}^{1} |\{x\} - \frac{1}{2}| dx$.
На отрезке $[0, 1]$ дробная часть $\{x\}$ совпадает с самим числом $x$, то есть $\{x\}=x$. Интеграл принимает вид: $\int_{0}^{1} |x - \frac{1}{2}| dx$.
Геометрически это площадь под графиком функции $y = |x - \frac{1}{2}|$ на отрезке $[0, 1]$. Этот график имеет V-образную форму с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$.
Искомая площадь на отрезке $[0, 1]$ состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников:
1. Первый треугольник на отрезке $[0, \frac{1}{2}]$. Его основание равно $\frac{1}{2}$, а высота равна значению функции в точке $x=0$: $y = |0 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
2. Второй треугольник на отрезке $[\frac{1}{2}, 1]$. Его основание равно $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, а высота равна значению функции в точке $x=1$: $y = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
Площадь на одном периоде равна $S_{0-1} = S_1 + S_2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Полная площадь на отрезке $[0, 5]$ равна $S = 5 \cdot S_{0-1} = 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$