Номер 280, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 280, страница 345.

Условие.

280. При каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной осью $Ox$, графиком функции $y = x^3 + 3x^2 + x + a$ и вертикалями $x = \text{const}$ в точках экстремума этой функции, будет наименьшей?

Решение 5.

Для нахождения значения параметра $a$, при котором площадь указанной фигуры будет наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги: найти пределы интегрирования, которыми являются точки экстремума функции, составить выражение для площади и найти его минимум по параметру $a$.

1. Нахождение точек экстремума.Точки экстремума функции $y(x) = x³ + 3x² + x + a$ находятся из условия равенства нулю ее производной.Найдем производную:$y'(x) = (x³ + 3x² + x + a)' = 3x² + 6x + 1$.Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$3x² + 6x + 1 = 0$.Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = b² - 4ac = 6² - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$.Корни уравнения, которые являются абсциссами точек экстремума, равны:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.Таким образом, вертикальные прямые, ограничивающие фигуру, имеют уравнения $x_1 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x_2 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$.

2. Определение площади и ее минимизация.Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиком функции $y(x)$, осью Ox и вертикальными прямыми $x=x_1$ и $x=x_2$, вычисляется по формуле:$S(a) = \int_{x_1}^{x_2} |y(x)| dx = \int_{-1 - \frac{\sqrt{6}}{3}}^{-1 + \frac{\sqrt{6}}{3}} |x³ + 3x² + x + a| dx$.Нам необходимо найти значение $a$, при котором этот интеграл принимает наименьшее значение.Введем функцию $g(x) = x³ + 3x² + x$. Тогда интеграл можно переписать в виде:$S(a) = \int_{x_1}^{x_2} |g(x) + a| dx$.Это выражение представляет собой интеграл от абсолютного отклонения функции $g(x)$ от значения $-a$. Такой интеграл (норма в пространстве L1) достигает своего минимума, когда константа $-a$ равна медианному значению функции $g(x)$ на отрезке $[x_1, x_2]$.

Для нахождения медианного значения проанализируем поведение функции $g(x)$ на интервале $(x_1, x_2)$. Ее производная $g'(x) = y'(x) = 3x² + 6x + 1$. Поскольку $x_1$ и $x_2$ — это корни производной, а ветви параболы $3x² + 6x + 1$ направлены вверх, то на интервале $(x_1, x_2)$ производная $g'(x)$ отрицательна. Следовательно, функция $g(x)$ является монотонно убывающей на отрезке $[x_1, x_2]$.

Для монотонной функции на отрезке медианное значение достигается в точке, которая является серединой этого отрезка. Найдем середину отрезка $[x_1, x_2]$:$x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{(-1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) + (-1 + \frac{\sqrt{6}}{3})}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.Теперь найдем значение функции $g(x)$ в этой точке. Это и будет медианное значение.$g(x_0) = g(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + (-1) = -1 + 3 \cdot 1 - 1 = 1$.Итак, медианное значение функции $g(x)$ на отрезке $[x_1, x_2]$ равно 1.Условие минимума площади $S(a)$ выполняется, когда $-a = g(x_0)$:$-a = 1$.Отсюда находим искомое значение $a$:$a = -1$.

Ответ: $a = -1$.