Номер 282, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 282, страница 345.

Условие.

282. Какую минимальную работу по преодолению силы тяжести надо произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме конуса высотой $H$ и радиусом основания $R$? Плотность песка равна $\rho$, и его поднимают с плоскости основания конуса.

Решение 5.

Минимальная работа, которую необходимо совершить для преодоления силы тяжести, равна изменению потенциальной энергии системы. В данном случае, это потенциальная энергия, которую приобретает весь песок, поднятый с уровня основания ($h=0$) для формирования конуса. Эту энергию (и, следовательно, работу) можно рассчитать, проинтегрировав работу по подъему каждого бесконечно малого слоя песка на соответствующую высоту.

Разобьем конус на тонкие горизонтальные слои (диски) толщиной $dh$, находящиеся на высоте $h$ от основания.

Радиус $r$ такого слоя зависит от высоты $h$. Из подобия треугольников в осевом сечении конуса имеем соотношение:

$\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H}$

Отсюда радиус слоя на высоте $h$ равен:

$r(h) = R \left(1 - \frac{h}{H}\right)$

Объем этого элементарного диска $dV$ равен площади его основания, умноженной на толщину:

$dV = \pi [r(h)]^2 dh = \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2 dh$

Масса этого слоя $dm$ равна его объему, умноженному на плотность песка $\rho$:

$dm = \rho \, dV = \rho \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2 dh$

Работа $dA$, необходимая для подъема этого элементарного слоя массой $dm$ с нулевого уровня на высоту $h$, равна:

$dA = dm \cdot g \cdot h = g h \rho \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2 dh$

Чтобы найти полную работу $A$ по созданию всего конуса, необходимо проинтегрировать это выражение по высоте от $h=0$ до $h=H$:

$A = \int_0^H dA = \int_0^H g h \rho \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2 dh$

Вынесем константы за знак интеграла:

$A = g \rho \pi R^2 \int_0^H h \left(1 - \frac{2h}{H} + \frac{h^2}{H^2}\right) dh$

$A = g \rho \pi R^2 \int_0^H \left(h - \frac{2h^2}{H} + \frac{h^3}{H^2}\right) dh$

Теперь вычислим интеграл:

$\int_0^H \left(h - \frac{2h^2}{H} + \frac{h^3}{H^2}\right) dh = \left[ \frac{h^2}{2} - \frac{2h^3}{3H} + \frac{h^4}{4H^2} \right]_0^H$

$= \left( \frac{H^2}{2} - \frac{2H^3}{3H} + \frac{H^4}{4H^2} \right) - (0) = \frac{H^2}{2} - \frac{2H^2}{3} + \frac{H^2}{4}$

$= H^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right) = H^2 \left( \frac{6 - 8 + 3}{12} \right) = \frac{H^2}{12}$

Подставим результат интегрирования обратно в выражение для работы:

$A = g \rho \pi R^2 \cdot \frac{H^2}{12}$

Таким образом, минимальная работа по созданию конической кучи песка равна:

$A = \frac{1}{12} \rho g \pi R^2 H^2$

Этот же результат можно получить, зная, что работа равна произведению полной массы конуса $M$ на ускорение свободного падения $g$ и на высоту центра масс $h_{cm}$. Для конуса $M = \frac{1}{3}\rho\pi R^2 H$ и $h_{cm} = \frac{H}{4}$. Тогда $A = M g h_{cm} = (\frac{1}{3}\rho\pi R^2 H) g (\frac{H}{4}) = \frac{1}{12} \rho g \pi R^2 H^2$.

Ответ: $A = \frac{1}{12} \rho g \pi R^2 H^2$