Номер 284, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 284, страница 345.
№284 (с. 345)
Условие. №284 (с. 345)
скриншот условия

284. Найдите центр масс однородного полукруга радиуса $R$.
Решение 5. №284 (с. 345)
Для нахождения центра масс однородного полукруга радиуса $R$ введем декартову систему координат. Расположим полукруг так, чтобы его диаметр лежал на оси $Ox$, а центр — в начале координат. Таким образом, полукруг будет занимать область $x^2 + y^2 \le R^2$ при $y \ge 0$.
Так как полукруг однороден и симметричен относительно оси $Oy$, его центр масс должен лежать на этой оси. Следовательно, абсцисса центра масс $x_c$ равна нулю.
$x_c = 0$
Ординату центра масс $y_c$ найдем по формуле для центра масс плоской фигуры:
$y_c = \frac{\iint_S y \, dS}{\iint_S dS}$
где $S$ — площадь полукруга. Знаменатель этой дроби — это площадь полукруга, которая равна:
$\text{Площадь} = \iint_S dS = \frac{1}{2}\pi R^2$
Числитель — это статический момент площади относительно оси $Ox$. Для его вычисления удобнее перейти в полярную систему координат, где $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, а элемент площади $dS = r \, dr \, d\theta$. Для нашего полукруга радиус $r$ изменяется от $0$ до $R$, а угол $\theta$ — от $0$ до $\pi$.
Вычислим интеграл в числителе:
$\iint_S y \, dS = \int_0^\pi \int_0^R (r \sin\theta) \cdot (r \, dr \, d\theta) = \int_0^\pi \int_0^R r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta$
Интеграл можно разделить на два, так как подынтегральная функция является произведением функций, зависящих только от $r$ и только от $\theta$:
$\left( \int_0^R r^2 \, dr \right) \cdot \left( \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \right)$
Вычислим каждый интеграл по отдельности:
$\int_0^R r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R = \frac{R^3}{3} - 0 = \frac{R^3}{3}$
$\int_0^\pi \sin\theta \, d\theta = [-\cos\theta]_0^\pi = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$
Перемножив результаты, получаем значение статического момента:
$\iint_S y \, dS = \frac{R^3}{3} \cdot 2 = \frac{2R^3}{3}$
Теперь подставим найденные значения в формулу для $y_c$:
$y_c = \frac{\frac{2R^3}{3}}{\frac{1}{2}\pi R^2} = \frac{2R^3}{3} \cdot \frac{2}{\pi R^2} = \frac{4R}{3\pi}$
Таким образом, координаты центра масс однородного полукруга равны $(0, \frac{4R}{3\pi})$.
Ответ: Центр масс однородного полукруга находится на его оси симметрии на расстоянии $\frac{4R}{3\pi}$ от диаметра.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 284 расположенного на странице 345 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №284 (с. 345), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.