Номер 284, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 284, страница 345.

Условие.

284. Найдите центр масс однородного полукруга радиуса $R$.

Решение 5.

Для нахождения центра масс однородного полукруга радиуса $R$ введем декартову систему координат. Расположим полукруг так, чтобы его диаметр лежал на оси $Ox$, а центр — в начале координат. Таким образом, полукруг будет занимать область $x^2 + y^2 \le R^2$ при $y \ge 0$.

Так как полукруг однороден и симметричен относительно оси $Oy$, его центр масс должен лежать на этой оси. Следовательно, абсцисса центра масс $x_c$ равна нулю.

$x_c = 0$

Ординату центра масс $y_c$ найдем по формуле для центра масс плоской фигуры:

$y_c = \frac{\iint_S y \, dS}{\iint_S dS}$

где $S$ — площадь полукруга. Знаменатель этой дроби — это площадь полукруга, которая равна:

$\text{Площадь} = \iint_S dS = \frac{1}{2}\pi R^2$

Числитель — это статический момент площади относительно оси $Ox$. Для его вычисления удобнее перейти в полярную систему координат, где $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, а элемент площади $dS = r \, dr \, d\theta$. Для нашего полукруга радиус $r$ изменяется от $0$ до $R$, а угол $\theta$ — от $0$ до $\pi$.

Вычислим интеграл в числителе:

$\iint_S y \, dS = \int_0^\pi \int_0^R (r \sin\theta) \cdot (r \, dr \, d\theta) = \int_0^\pi \int_0^R r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta$

Интеграл можно разделить на два, так как подынтегральная функция является произведением функций, зависящих только от $r$ и только от $\theta$:

$\left( \int_0^R r^2 \, dr \right) \cdot \left( \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \right)$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

$\int_0^R r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R = \frac{R^3}{3} - 0 = \frac{R^3}{3}$

$\int_0^\pi \sin\theta \, d\theta = [-\cos\theta]_0^\pi = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

Перемножив результаты, получаем значение статического момента:

$\iint_S y \, dS = \frac{R^3}{3} \cdot 2 = \frac{2R^3}{3}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для $y_c$:

$y_c = \frac{\frac{2R^3}{3}}{\frac{1}{2}\pi R^2} = \frac{2R^3}{3} \cdot \frac{2}{\pi R^2} = \frac{4R}{3\pi}$

Таким образом, координаты центра масс однородного полукруга равны $(0, \frac{4R}{3\pi})$.

Ответ: Центр масс однородного полукруга находится на его оси симметрии на расстоянии $\frac{4R}{3\pi}$ от диаметра.