Номер 285, страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

285. Найдите центр масс однородного полушара радиуса $R$.

Для нахождения центра масс однородного полушара радиуса $R$ воспользуемся методом интегрирования.

Расположим полушар в декартовой системе координат так, чтобы его основание лежало в плоскости $xy$, а центр основания совпадал с началом координат $(0, 0, 0)$. В этом случае ось $z$ будет осью симметрии полушара.

Поскольку полушар является однородным и симметричным относительно оси $z$, его центр масс будет лежать на этой оси. Это означает, что координаты центра масс по осям $x$ и $y$ равны нулю: $x_c = 0$ и $y_c = 0$. Нам необходимо найти только координату $z_c$.

Координата центра масс $z_c$ для тела с постоянной плотностью $\rho$ вычисляется по формуле: $z_c = \frac{\displaystyle\int_V z \, dm}{\displaystyle\int_V dm} = \frac{\displaystyle\int_V z \rho \, dV}{\displaystyle\int_V \rho \, dV} = \frac{\rho \displaystyle\int_V z \, dV}{\rho \displaystyle\int_V dV} = \frac{\displaystyle\int_V z \, dV}{V}$ где $V$ — это общий объем полушара, а $dV$ — элементарный объем.

Сначала найдем объем полушара $V$. Объем шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3}\pi R^3$, следовательно, объем полушара: $V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$

Теперь вычислим интеграл в числителе $\int_V z \, dV$. Для этого мысленно разобьем полушар на бесконечно тонкие горизонтальные диски, параллельные основанию. Каждый такой диск находится на высоте $z$ от основания и имеет толщину $dz$.

Радиус диска $r$ на высоте $z$ можно найти из уравнения сферы $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$. Поскольку $r^2 = x^2 + y^2$, мы получаем: $r^2 = R^2 - z^2$

Объем элементарного диска $dV$ равен площади его основания $\pi r^2$, умноженной на его толщину $dz$: $dV = \pi r^2 dz = \pi (R^2 - z^2) dz$

Теперь мы можем вычислить интеграл, просуммировав моменты $z \cdot dV$ для всех дисков от основания ($z=0$) до вершины полушара ($z=R$): $\int_V z \, dV = \int_0^R z \cdot \pi(R^2 - z^2) dz = \pi \int_0^R (zR^2 - z^3) dz$

Вычисляем полученный интеграл: $\pi \left[ \frac{R^2z^2}{2} - \frac{z^4}{4} \right]_0^R = \pi \left( \left( \frac{R^2 \cdot R^2}{2} - \frac{R^4}{4} \right) - (0 - 0) \right) = \pi \left( \frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4} \right) = \pi \frac{2R^4 - R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{4}$

Наконец, подставляем найденные значения в формулу для $z_c$: $z_c = \frac{\frac{\pi R^4}{4}}{\frac{2}{3}\pi R^3} = \frac{\pi R^4}{4} \cdot \frac{3}{2\pi R^3} = \frac{3R}{8}$

Таким образом, центр масс однородного полушара находится на его оси симметрии на расстоянии $\frac{3}{8}R$ от центра плоского основания.

Ответ: Центр масс находится на оси симметрии полушара на расстоянии $\frac{3}{8}R$ от центра его плоского основания.