Страница 345 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

277. Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{2x - 1}$, $x = 2$, $x = a$, $y = 0$, равна $\ln \frac{4}{\sqrt{5}}$. Найдите $a$.

Площадь фигуры, ограниченной линиями $y = f(x)$ и $y = g(x)$ (где $f(x) \ge g(x)$), а также вертикальными прямыми $x=c$ и $x=d$, вычисляется по формуле определенного интеграла:

$S = \int_c^d (f(x) - g(x)) \,dx$

В данной задаче фигура ограничена линиями $y = \frac{1}{x}$, $y = \frac{1}{2x-1}$, $x=2$ и $x=a$. Условие $y=0$ указывает, что рассматриваемая область находится выше оси абсцисс.

1. Определим взаимное расположение кривых.

Найдем точку пересечения графиков функций $y = \frac{1}{x}$ и $y = \frac{1}{2x-1}$:

$\frac{1}{x} = \frac{1}{2x-1}$

Приравнивая знаменатели (при условии $x \ne 0$ и $x \ne 1/2$), получаем:

$2x - 1 = x \implies x = 1$

Поскольку одна из границ интегрирования — $x=2$, а $2 > 1$, то на всем промежутке интегрирования одна из функций будет больше другой. Сравним значения функций для $x > 1$:

Сравним $x$ и $2x-1$. Так как $x > 1$, то $x-1 > 0$, следовательно $2x-1 > x$.

Поскольку для $x>1$ оба выражения $x$ и $2x-1$ положительны, то при переходе к обратным величинам знак неравенства меняется: $\frac{1}{x} > \frac{1}{2x-1}$.

Таким образом, на промежутке интегрирования функция $y = \frac{1}{x}$ является верхней границей, а $y = \frac{1}{2x-1}$ — нижней.

2. Вычислим площадь.

Подынтегральная функция $f(x) - g(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x-1}$ положительна при $x>1$. Заданная площадь $S = \ln \frac{4}{\sqrt{5}}$ положительна. Следовательно, для того чтобы интеграл $S = \int_2^a \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x-1}\right) dx$ был положительным, необходимо, чтобы $a > 2$.

Вычисляем интеграл:

$S = \int_2^a \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{2x-1}\right) dx = \left[ \ln|x| - \frac{1}{2}\ln|2x-1| \right]_2^a$

Поскольку $a>2$, все выражения под знаком модуля положительны, и модуль можно опустить:

$S = \left(\ln a - \frac{1}{2}\ln(2a-1)\right) - \left(\ln 2 - \frac{1}{2}\ln(2 \cdot 2 - 1)\right)$

$S = \ln a - \frac{1}{2}\ln(2a-1) - \ln 2 + \frac{1}{2}\ln 3$

Используя свойства логарифмов ($\ln b - \ln c = \ln(b/c)$ и $k\ln b = \ln(b^k)$), упростим выражение:

$S = (\ln a - \ln\sqrt{2a-1}) - (\ln 2 - \ln\sqrt{3}) = \ln\frac{a}{\sqrt{2a-1}} - \ln\frac{2}{\sqrt{3}} = \ln\left(\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2a-1}}\right)$

3. Найдем значение $a$.

По условию задачи, $S = \ln\frac{4}{\sqrt{5}}$. Приравняем полученное выражение для площади к этому значению:

$\ln\left(\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2a-1}}\right) = \ln\frac{4}{\sqrt{5}}$

Потенцируя обе части, получаем:

$\frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{2a-1}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корней:

$\frac{3a^2}{4(2a-1)} = \frac{16}{5}$

Решим это уравнение относительно $a$:

$5 \cdot 3a^2 = 16 \cdot 4(2a-1)$

$15a^2 = 64(2a-1)$

$15a^2 = 128a - 64$

$15a^2 - 128a + 64 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-128)^2 - 4 \cdot 15 \cdot 64 = 16384 - 3840 = 12544$

$\sqrt{D} = \sqrt{12544} = 112$

Найдем корни уравнения:

$a_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{128 + 112}{2 \cdot 15} = \frac{240}{30} = 8$

$a_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{128 - 112}{2 \cdot 15} = \frac{16}{30} = \frac{8}{15}$

Мы установили, что должно выполняться условие $a > 2$. Этому условию удовлетворяет только корень $a_1 = 8$. Корень $a_2 = 8/15 \approx 0.53$ не подходит.

Ответ: $a=8$.

278. Докажите, что площадь параболического сегмента, заключенного между параболой $y = x^2$ и произвольной прямой, параллельной оси абсцисс, равна $\frac{2}{3}$ площади прямоугольника с вершинами в точках пересечения прямой с параболой и основаниями перпендикуляров к оси абсцисс, опущенных из точек пересечения.

Для доказательства утверждения рассмотрим параболу, заданную уравнением $y = x^2$, и произвольную прямую, параллельную оси абсцисс. Уравнение такой прямой имеет вид $y = h$, где $h$ — некоторая положительная константа ($h > 0$), чтобы прямая пересекала параболу в двух точках.

1. Нахождение координат вершин прямоугольника и его площади.

Сначала найдем точки пересечения параболы $y = x^2$ и прямой $y = h$. Для этого приравняем их уравнения:

$x^2 = h$

Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = -\sqrt{h}$ и $x_2 = \sqrt{h}$.

Таким образом, точки пересечения прямой с параболой имеют координаты $A(-\sqrt{h}, h)$ и $B(\sqrt{h}, h)$.

Прямоугольник, о котором говорится в задаче, имеет своими вершинами эти точки пересечения, а также основания перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось абсцисс (ось $Ox$). Основаниями перпендикуляров будут точки $C(-\sqrt{h}, 0)$ и $D(\sqrt{h}, 0)$.

Следовательно, вершины прямоугольника — это $A(-\sqrt{h}, h)$, $B(\sqrt{h}, h)$, $D(\sqrt{h}, 0)$ и $C(-\sqrt{h}, 0)$.

Ширина этого прямоугольника равна расстоянию между точками $C$ и $D$ по оси $x$: $\sqrt{h} - (-\sqrt{h}) = 2\sqrt{h}$.

Высота прямоугольника равна ординате точек $A$ и $B$, то есть $h$.

Площадь этого прямоугольника, обозначим ее $S_{прямоуг}$, равна произведению ширины на высоту:

$S_{прямоуг} = (2\sqrt{h}) \cdot h = 2h\sqrt{h}$.

2. Нахождение площади параболического сегмента.

Параболический сегмент — это фигура, ограниченная сверху прямой $y = h$ и снизу параболой $y = x^2$. Его площадь, $S_{сегм}$, можно найти с помощью определенного интеграла. Пределы интегрирования по оси $x$ — это абсциссы точек пересечения, то есть от $-\sqrt{h}$ до $\sqrt{h}$.

Площадь фигуры, заключенной между двумя кривыми $f(x)$ (верхняя) и $g(x)$ (нижняя), вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$

В нашем случае $f(x) = h$, $g(x) = x^2$, $a = -\sqrt{h}$ и $b = \sqrt{h}$.

$S_{сегм} = \int_{-\sqrt{h}}^{\sqrt{h}} (h - x^2) dx$

Вычислим этот интеграл:

$S_{сегм} = \left[ hx - \frac{x^3}{3} \right]_{-\sqrt{h}}^{\sqrt{h}} = \left( h\sqrt{h} - \frac{(\sqrt{h})^3}{3} \right) - \left( h(-\sqrt{h}) - \frac{(-\sqrt{h})^3}{3} \right)$

$S_{сегм} = \left( h\sqrt{h} - \frac{h\sqrt{h}}{3} \right) - \left( -h\sqrt{h} + \frac{h\sqrt{h}}{3} \right) = h\sqrt{h} - \frac{h\sqrt{h}}{3} + h\sqrt{h} - \frac{h\sqrt{h}}{3}$

$S_{сегм} = 2h\sqrt{h} - \frac{2h\sqrt{h}}{3} = \frac{6h\sqrt{h} - 2h\sqrt{h}}{3} = \frac{4h\sqrt{h}}{3}$

3. Сравнение площадей.

Теперь сравним найденную площадь параболического сегмента с площадью прямоугольника.

Площадь сегмента: $S_{сегм} = \frac{4h\sqrt{h}}{3}$.

Площадь прямоугольника: $S_{прямоуг} = 2h\sqrt{h}$.

Найдем их отношение:

$\frac{S_{сегм}}{S_{прямоуг}} = \frac{\frac{4h\sqrt{h}}{3}}{2h\sqrt{h}} = \frac{4h\sqrt{h}}{3 \cdot 2h\sqrt{h}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Таким образом, мы доказали, что $S_{сегм} = \frac{2}{3} S_{прямоуг}$.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь параболического сегмента, ограниченного параболой $y = x^2$ и прямой $y=h$, равна $S_{сегм} = \frac{4h\sqrt{h}}{3}$. Площадь описанного прямоугольника равна $S_{прямоуг} = 2h\sqrt{h}$. Их отношение составляет $\frac{S_{сегм}}{S_{прямоуг}} = \frac{2}{3}$, что и требовалось доказать.

279. Пружина растягивается на 2 см под действием силы в 180 Н. Первоначальная длина пружины равна 20 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть пружину до 25 см?

Решение:

Для решения задачи необходимо сначала найти коэффициент жесткости пружины $k$, а затем вычислить работу по растяжению пружины.

1. Нахождение коэффициента жесткости пружины ($k$).

Согласно закону Гука, сила упругости $F$, возникающая в пружине, прямо пропорциональна ее удлинению $\Delta l$:

$F = k \cdot \Delta l$

Из условия известно, что под действием силы $F_1 = 180$ Н пружина растягивается на $\Delta l_1 = 2$ см. Прежде чем производить расчеты, переведем величину удлинения в систему СИ (метры):

$\Delta l_1 = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Теперь выразим и рассчитаем коэффициент жесткости $k$:

$k = \frac{F_1}{\Delta l_1} = \frac{180 \text{ Н}}{0.02 \text{ м}} = 9000 \text{ Н/м}$

2. Вычисление работы по растяжению пружины.

Требуется найти работу, которую нужно совершить, чтобы растянуть пружину до длины $l_2 = 25$ см. Первоначальная длина пружины в недеформированном состоянии составляет $l_0 = 20$ см. Следовательно, конечное удлинение пружины $\Delta l_2$ относительно ее первоначальной длины равно:

$\Delta l_2 = l_2 - l_0 = 25 \text{ см} - 20 \text{ см} = 5 \text{ см}$

Переведем это значение в систему СИ:

$\Delta l_2 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Работа $A$, совершаемая для растяжения пружины из состояния покоя на величину $\Delta l_2$, равна потенциальной энергии, запасенной в пружине, и вычисляется по формуле:

$A = \frac{k (\Delta l_2)^2}{2}$

Подставим найденные значения $k$ и $\Delta l_2$ в эту формулу:

$A = \frac{9000 \text{ Н/м} \cdot (0.05 \text{ м})^2}{2} = \frac{9000 \cdot 0.0025}{2} = \frac{22.5}{2} = 11.25 \text{ Дж}$

Ответ: чтобы растянуть пружину до 25 см, нужно совершить работу в 11.25 Дж.

280. При каком значении $a$ площадь фигуры, ограниченной осью $Ox$, графиком функции $y = x^3 + 3x^2 + x + a$ и вертикалями $x = \text{const}$ в точках экстремума этой функции, будет наименьшей?

Для нахождения значения параметра $a$, при котором площадь указанной фигуры будет наименьшей, необходимо выполнить следующие шаги: найти пределы интегрирования, которыми являются точки экстремума функции, составить выражение для площади и найти его минимум по параметру $a$.

1. Нахождение точек экстремума.Точки экстремума функции $y(x) = x³ + 3x² + x + a$ находятся из условия равенства нулю ее производной.Найдем производную:$y'(x) = (x³ + 3x² + x + a)' = 3x² + 6x + 1$.Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:$3x² + 6x + 1 = 0$.Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:$D = b² - 4ac = 6² - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 36 - 12 = 24$.Корни уравнения, которые являются абсциссами точек экстремума, равны:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot 3} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{6}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$.Таким образом, вертикальные прямые, ограничивающие фигуру, имеют уравнения $x_1 = -1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ и $x_2 = -1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$.

2. Определение площади и ее минимизация.Площадь $S$ фигуры, ограниченной графиком функции $y(x)$, осью Ox и вертикальными прямыми $x=x_1$ и $x=x_2$, вычисляется по формуле:$S(a) = \int_{x_1}^{x_2} |y(x)| dx = \int_{-1 - \frac{\sqrt{6}}{3}}^{-1 + \frac{\sqrt{6}}{3}} |x³ + 3x² + x + a| dx$.Нам необходимо найти значение $a$, при котором этот интеграл принимает наименьшее значение.Введем функцию $g(x) = x³ + 3x² + x$. Тогда интеграл можно переписать в виде:$S(a) = \int_{x_1}^{x_2} |g(x) + a| dx$.Это выражение представляет собой интеграл от абсолютного отклонения функции $g(x)$ от значения $-a$. Такой интеграл (норма в пространстве L1) достигает своего минимума, когда константа $-a$ равна медианному значению функции $g(x)$ на отрезке $[x_1, x_2]$.

Для нахождения медианного значения проанализируем поведение функции $g(x)$ на интервале $(x_1, x_2)$. Ее производная $g'(x) = y'(x) = 3x² + 6x + 1$. Поскольку $x_1$ и $x_2$ — это корни производной, а ветви параболы $3x² + 6x + 1$ направлены вверх, то на интервале $(x_1, x_2)$ производная $g'(x)$ отрицательна. Следовательно, функция $g(x)$ является монотонно убывающей на отрезке $[x_1, x_2]$.

Для монотонной функции на отрезке медианное значение достигается в точке, которая является серединой этого отрезка. Найдем середину отрезка $[x_1, x_2]$:$x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{(-1 - \frac{\sqrt{6}}{3}) + (-1 + \frac{\sqrt{6}}{3})}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.Теперь найдем значение функции $g(x)$ в этой точке. Это и будет медианное значение.$g(x_0) = g(-1) = (-1)³ + 3(-1)² + (-1) = -1 + 3 \cdot 1 - 1 = 1$.Итак, медианное значение функции $g(x)$ на отрезке $[x_1, x_2]$ равно 1.Условие минимума площади $S(a)$ выполняется, когда $-a = g(x_0)$:$-a = 1$.Отсюда находим искомое значение $a$:$a = -1$.

Ответ: $a = -1$.

281. Капля воды с начальной массой $M$ падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу $m$. Какова работа силы тяжести за время от начала падения капли до ее полного испарения?

Для нахождения работы силы тяжести необходимо определить, как изменяются со временем масса капли, ее скорость и действующая на нее сила тяжести.

Пусть $t$ — время, отсчитываемое от начала падения. Масса капли $M(t)$ в момент времени $t$ уменьшается линейно из-за равномерного испарения:

$M(t) = M - mt$

где $M$ — начальная масса, а $m$ — масса, теряемая за единицу времени (скорость испарения).

Капля полностью испарится, когда ее масса станет равной нулю. Найдем время полного испарения $T$ из условия $M(T) = 0$:

$M - mT = 0 \implies T = \frac{M}{m}$

Сила тяжести, действующая на каплю в момент времени $t$, зависит от ее текущей массы:

$F_g(t) = M(t)g = (M - mt)g$

где $g$ — ускорение свободного падения.

Для определения скорости капли воспользуемся вторым законом Ньютона. В задачах такого типа обычно предполагается, что испаряющиеся частицы воды не создают реактивной силы (то есть их скорость относительно капли равна нулю). В таком случае уравнение движения для тела с переменной массой $F_{ext} = \frac{d(Mv)}{dt}$ можно упростить. Сила тяжести $F_g(t)$ является внешней силой. Уравнение движения $M(t)a(t) = F_g(t)$ приводит к следующему:

$(M - mt)a(t) = (M - mt)g$

Отсюда следует, что ускорение капли постоянно и равно $g$.

Так как капля начинает падать из состояния покоя ($v(0)=0$), ее скорость в момент времени $t$ определяется как:

$v(t) = gt$

Работа силы тяжести $A_g$ за малый промежуток времени $dt$ равна $dA_g = F_g(t) \cdot ds$, где $ds = v(t)dt$ — элементарное перемещение. Тогда элементарная работа (или мгновенная мощность, умноженная на $dt$) равна:

$dA_g = F_g(t)v(t)dt = (M - mt)g \cdot (gt)dt = g^2t(M - mt)dt$

Полная работа силы тяжести за все время падения до полного испарения (от $t=0$ до $t=T$) находится путем интегрирования этого выражения:

$A_g = \int_{0}^{T} g^2t(M - mt) dt = g^2 \int_{0}^{M/m} (Mt - mt^2) dt$

Вычислим полученный интеграл:

$A_g = g^2 \left[ \frac{Mt^2}{2} - \frac{mt^3}{3} \right]_{0}^{M/m} = g^2 \left( \left(\frac{M(M/m)^2}{2} - \frac{m(M/m)^3}{3}\right) - 0 \right)$

$A_g = g^2 \left( \frac{M \cdot M^2}{2m^2} - \frac{m \cdot M^3}{3m^3} \right) = g^2 \left( \frac{M^3}{2m^2} - \frac{M^3}{3m^2} \right)$

Приводя дроби к общему знаменателю, получаем окончательный результат:

$A_g = g^2 \frac{M^3}{m^2} \left( \frac{3}{6} - \frac{2}{6} \right) = g^2 \frac{M^3}{m^2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{g^2 M^3}{6m^2}$

Ответ: $A_g = \frac{g^2 M^3}{6m^2}$

282. Какую минимальную работу по преодолению силы тяжести надо произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме конуса высотой $H$ и радиусом основания $R$? Плотность песка равна $\rho$, и его поднимают с плоскости основания конуса.

Минимальная работа, которую необходимо совершить для преодоления силы тяжести, равна изменению потенциальной энергии системы. В данном случае, это потенциальная энергия, которую приобретает весь песок, поднятый с уровня основания ($h=0$) для формирования конуса. Эту энергию (и, следовательно, работу) можно рассчитать, проинтегрировав работу по подъему каждого бесконечно малого слоя песка на соответствующую высоту.

Разобьем конус на тонкие горизонтальные слои (диски) толщиной $dh$, находящиеся на высоте $h$ от основания.

Радиус $r$ такого слоя зависит от высоты $h$. Из подобия треугольников в осевом сечении конуса имеем соотношение:

$\frac{r}{R} = \frac{H-h}{H}$

Отсюда радиус слоя на высоте $h$ равен:

$r(h) = R \left(1 - \frac{h}{H}\right)$

Объем этого элементарного диска $dV$ равен площади его основания, умноженной на толщину:

$dV = \pi [r(h)]^2 dh = \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2 dh$

Масса этого слоя $dm$ равна его объему, умноженному на плотность песка $\rho$:

$dm = \rho \, dV = \rho \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2 dh$

Работа $dA$, необходимая для подъема этого элементарного слоя массой $dm$ с нулевого уровня на высоту $h$, равна:

$dA = dm \cdot g \cdot h = g h \rho \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2 dh$

Чтобы найти полную работу $A$ по созданию всего конуса, необходимо проинтегрировать это выражение по высоте от $h=0$ до $h=H$:

$A = \int_0^H dA = \int_0^H g h \rho \pi R^2 \left(1 - \frac{h}{H}\right)^2 dh$

Вынесем константы за знак интеграла:

$A = g \rho \pi R^2 \int_0^H h \left(1 - \frac{2h}{H} + \frac{h^2}{H^2}\right) dh$

$A = g \rho \pi R^2 \int_0^H \left(h - \frac{2h^2}{H} + \frac{h^3}{H^2}\right) dh$

Теперь вычислим интеграл:

$\int_0^H \left(h - \frac{2h^2}{H} + \frac{h^3}{H^2}\right) dh = \left[ \frac{h^2}{2} - \frac{2h^3}{3H} + \frac{h^4}{4H^2} \right]_0^H$

$= \left( \frac{H^2}{2} - \frac{2H^3}{3H} + \frac{H^4}{4H^2} \right) - (0) = \frac{H^2}{2} - \frac{2H^2}{3} + \frac{H^2}{4}$

$= H^2 \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{3} + \frac{1}{4} \right) = H^2 \left( \frac{6 - 8 + 3}{12} \right) = \frac{H^2}{12}$

Подставим результат интегрирования обратно в выражение для работы:

$A = g \rho \pi R^2 \cdot \frac{H^2}{12}$

Таким образом, минимальная работа по созданию конической кучи песка равна:

$A = \frac{1}{12} \rho g \pi R^2 H^2$

Этот же результат можно получить, зная, что работа равна произведению полной массы конуса $M$ на ускорение свободного падения $g$ и на высоту центра масс $h_{cm}$. Для конуса $M = \frac{1}{3}\rho\pi R^2 H$ и $h_{cm} = \frac{H}{4}$. Тогда $A = M g h_{cm} = (\frac{1}{3}\rho\pi R^2 H) g (\frac{H}{4}) = \frac{1}{12} \rho g \pi R^2 H^2$.

Ответ: $A = \frac{1}{12} \rho g \pi R^2 H^2$

283. Однородная треугольная пластинка с основанием $a = 40$ см и высотой $h = 30$ см вращается вокруг основания с постоянной угловой скоростью $\omega = 5\pi$ c$^{-1}$. Найдите кинетическую энергию пластинки, если ее толщина $d = 0,2$ см, а плотность материала, из которого изготовлена пластинка, равна $\rho = 2,2$ г/см$^3$. (Толщиной пластинки пренебречь.)

Кинетическая энергия вращающегося тела определяется формулой $E_k = \frac{1}{2} I \omega^2$, где $I$ - момент инерции тела относительно оси вращения, а $\omega$ - угловая скорость.

Момент инерции однородной треугольной пластинки, вращающейся вокруг своего основания, равен $I = \frac{1}{6} m h^2$, где $m$ - масса пластинки, а $h$ - ее высота.

Примечание в условии "Толщиной пластинки пренебречь" означает, что мы можем использовать формулу момента инерции для плоской фигуры, но для нахождения массы толщину необходимо учесть.

Для проведения расчетов переведем все величины в систему СИ:
Основание: $a = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$
Высота: $h = 30 \text{ см} = 0,3 \text{ м}$
Толщина: $d = 0,2 \text{ см} = 0,002 \text{ м}$
Плотность: $\rho = 2,2 \text{ г/см}^3 = 2,2 \cdot \frac{10^{-3} \text{ кг}}{(10^{-2} \text{ м})^3} = 2200 \text{ кг/м}^3$
Угловая скорость: $\omega = 5\pi \text{ с}^{-1}$

Сначала вычислим массу пластинки $m$. Для этого найдем ее объем $V$.
Площадь треугольника: $S = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 0,4 \text{ м} \cdot 0,3 \text{ м} = 0,06 \text{ м}^2$.
Объем пластинки: $V = S \cdot d = 0,06 \text{ м}^2 \cdot 0,002 \text{ м} = 0,00012 \text{ м}^3$.
Масса пластинки: $m = \rho \cdot V = 2200 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,00012 \text{ м}^3 = 0,264 \text{ кг}$.

Теперь рассчитаем момент инерции $I$ относительно основания:
$I = \frac{1}{6} m h^2 = \frac{1}{6} \cdot 0,264 \text{ кг} \cdot (0,3 \text{ м})^2 = \frac{1}{6} \cdot 0,264 \cdot 0,09 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 = 0,00396 \text{ кг} \cdot \text{м}^2$.

Наконец, найдем кинетическую энергию $E_k$:
$E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0,00396 \text{ кг} \cdot \text{м}^2 \cdot (5\pi \text{ с}^{-1})^2 = 0,00198 \cdot 25\pi^2 \text{ Дж} = 0,0495\pi^2 \text{ Дж}$.

Подставляя значение $\pi^2 \approx 9,87$, получаем $E_k \approx 0,0495 \cdot 9,87 \text{ Дж} \approx 0,489 \text{ Дж}$. Округлив результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью исходных данных), итоговое значение составит $0,49 \text{ Дж}$.

Ответ: $0,49 \text{ Дж}$.

284. Найдите центр масс однородного полукруга радиуса $R$.

Для нахождения центра масс однородного полукруга радиуса $R$ введем декартову систему координат. Расположим полукруг так, чтобы его диаметр лежал на оси $Ox$, а центр — в начале координат. Таким образом, полукруг будет занимать область $x^2 + y^2 \le R^2$ при $y \ge 0$.

Так как полукруг однороден и симметричен относительно оси $Oy$, его центр масс должен лежать на этой оси. Следовательно, абсцисса центра масс $x_c$ равна нулю.

$x_c = 0$

Ординату центра масс $y_c$ найдем по формуле для центра масс плоской фигуры:

$y_c = \frac{\iint_S y \, dS}{\iint_S dS}$

где $S$ — площадь полукруга. Знаменатель этой дроби — это площадь полукруга, которая равна:

$\text{Площадь} = \iint_S dS = \frac{1}{2}\pi R^2$

Числитель — это статический момент площади относительно оси $Ox$. Для его вычисления удобнее перейти в полярную систему координат, где $x = r \cos \theta$, $y = r \sin \theta$, а элемент площади $dS = r \, dr \, d\theta$. Для нашего полукруга радиус $r$ изменяется от $0$ до $R$, а угол $\theta$ — от $0$ до $\pi$.

Вычислим интеграл в числителе:

$\iint_S y \, dS = \int_0^\pi \int_0^R (r \sin\theta) \cdot (r \, dr \, d\theta) = \int_0^\pi \int_0^R r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta$

Интеграл можно разделить на два, так как подынтегральная функция является произведением функций, зависящих только от $r$ и только от $\theta$:

$\left( \int_0^R r^2 \, dr \right) \cdot \left( \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \right)$

Вычислим каждый интеграл по отдельности:

$\int_0^R r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_0^R = \frac{R^3}{3} - 0 = \frac{R^3}{3}$

$\int_0^\pi \sin\theta \, d\theta = [-\cos\theta]_0^\pi = -\cos(\pi) - (-\cos(0)) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

Перемножив результаты, получаем значение статического момента:

$\iint_S y \, dS = \frac{R^3}{3} \cdot 2 = \frac{2R^3}{3}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для $y_c$:

$y_c = \frac{\frac{2R^3}{3}}{\frac{1}{2}\pi R^2} = \frac{2R^3}{3} \cdot \frac{2}{\pi R^2} = \frac{4R}{3\pi}$

Таким образом, координаты центра масс однородного полукруга равны $(0, \frac{4R}{3\pi})$.

Ответ: Центр масс однородного полукруга находится на его оси симметрии на расстоянии $\frac{4R}{3\pi}$ от диаметра.

285. Найдите центр масс однородного полушара радиуса $R$.

Для нахождения центра масс однородного полушара радиуса $R$ воспользуемся методом интегрирования.

Расположим полушар в декартовой системе координат так, чтобы его основание лежало в плоскости $xy$, а центр основания совпадал с началом координат $(0, 0, 0)$. В этом случае ось $z$ будет осью симметрии полушара.

Поскольку полушар является однородным и симметричным относительно оси $z$, его центр масс будет лежать на этой оси. Это означает, что координаты центра масс по осям $x$ и $y$ равны нулю: $x_c = 0$ и $y_c = 0$. Нам необходимо найти только координату $z_c$.

Координата центра масс $z_c$ для тела с постоянной плотностью $\rho$ вычисляется по формуле: $z_c = \frac{\displaystyle\int_V z \, dm}{\displaystyle\int_V dm} = \frac{\displaystyle\int_V z \rho \, dV}{\displaystyle\int_V \rho \, dV} = \frac{\rho \displaystyle\int_V z \, dV}{\rho \displaystyle\int_V dV} = \frac{\displaystyle\int_V z \, dV}{V}$ где $V$ — это общий объем полушара, а $dV$ — элементарный объем.

Сначала найдем объем полушара $V$. Объем шара радиуса $R$ равен $\frac{4}{3}\pi R^3$, следовательно, объем полушара: $V = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{2}{3}\pi R^3$

Теперь вычислим интеграл в числителе $\int_V z \, dV$. Для этого мысленно разобьем полушар на бесконечно тонкие горизонтальные диски, параллельные основанию. Каждый такой диск находится на высоте $z$ от основания и имеет толщину $dz$.

Радиус диска $r$ на высоте $z$ можно найти из уравнения сферы $x^2 + y^2 + z^2 = R^2$. Поскольку $r^2 = x^2 + y^2$, мы получаем: $r^2 = R^2 - z^2$

Объем элементарного диска $dV$ равен площади его основания $\pi r^2$, умноженной на его толщину $dz$: $dV = \pi r^2 dz = \pi (R^2 - z^2) dz$

Теперь мы можем вычислить интеграл, просуммировав моменты $z \cdot dV$ для всех дисков от основания ($z=0$) до вершины полушара ($z=R$): $\int_V z \, dV = \int_0^R z \cdot \pi(R^2 - z^2) dz = \pi \int_0^R (zR^2 - z^3) dz$

Вычисляем полученный интеграл: $\pi \left[ \frac{R^2z^2}{2} - \frac{z^4}{4} \right]_0^R = \pi \left( \left( \frac{R^2 \cdot R^2}{2} - \frac{R^4}{4} \right) - (0 - 0) \right) = \pi \left( \frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4} \right) = \pi \frac{2R^4 - R^4}{4} = \frac{\pi R^4}{4}$

Наконец, подставляем найденные значения в формулу для $z_c$: $z_c = \frac{\frac{\pi R^4}{4}}{\frac{2}{3}\pi R^3} = \frac{\pi R^4}{4} \cdot \frac{3}{2\pi R^3} = \frac{3R}{8}$

Таким образом, центр масс однородного полушара находится на его оси симметрии на расстоянии $\frac{3}{8}R$ от центра плоского основания.

Ответ: Центр масс находится на оси симметрии полушара на расстоянии $\frac{3}{8}R$ от центра его плоского основания.

286. Докажите, что работа, которая производится против силы выталкивания воды при погружении однородного тела в воду, равна $ \rho g V h $, где $ \rho $ — плотность воды, $ g $ — ускорение свободного падения, $ h $ — глубина погружения центра масс части тела, находящейся в воде, $ V $ — ее объем.

Для доказательства воспользуемся энергетическим подходом. Работа, производимая внешней силой против силы выталкивания (силы Архимеда) при погружении тела в воду, равна изменению потенциальной энергии системы "тело-вода". Это изменение энергии эквивалентно работе, которую необходимо совершить, чтобы поднять массу воды, занимавшую объем погруженной части тела, на ее место.

Рассмотрим процесс погружения тела. Когда часть тела объемом $V$ оказывается под водой, она вытесняет такой же объем воды. Сила Архимеда по своей сути является равнодействующей сил давления воды, действующих на поверхность тела. Работа против этих сил равна работе по подъему вытесненной воды.

Представим, что объем $V$, который в итоге займет погруженная часть тела, изначально был заполнен водой. Чтобы освободить это место для тела, мы должны "убрать" эту воду. Энергетически это эквивалентно подъему каждого элементарного объема воды $dV$ из этого пространства на поверхность жидкости (нулевой уровень потенциальной энергии).

Масса элементарного объема воды $dV$ равна $dm = \rho dV$, где $\rho$ — плотность воды.

Если этот элементарный объем находится на глубине $z$, то работа $dA$, которую нужно совершить, чтобы поднять его на поверхность (на высоту $z$), равна: $dA = dm \cdot g \cdot z = \rho g z dV$

Чтобы найти полную работу $A$, необходимо проинтегрировать это выражение по всему вытесненному объему $V$: $A = \int_V dA = \int_V \rho g z dV$

Поскольку плотность воды $\rho$ и ускорение свободного падения $g$ являются постоянными величинами, их можно вынести за знак интеграла: $A = \rho g \int_V z dV$

Теперь вспомним определение центра масс. Координата центра масс (в данном случае, глубина $h$) для однородного объема $V$ определяется как: $h = \frac{\int_V z dV}{\int_V dV} = \frac{\int_V z dV}{V}$

Из этой формулы мы можем выразить интеграл: $\int_V z dV = V \cdot h$

Подставим это выражение обратно в формулу для работы: $A = \rho g (V h) = \rho g V h$

Таким образом, мы доказали, что работа, которая производится против силы выталкивания воды при погружении тела, равна $\rho g V h$.

Ответ: Доказательство приведено выше. Работа против силы выталкивания равна потенциальной энергии вытесненной жидкости объемом $V$, центр масс которой находится на глубине $h$, что и составляет величину $A = \rho g V h$.