Страница 344 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

271. С помощью интегралов найдите предел:

a) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left( \sin \frac{\pi}{n} + \sin \frac{2\pi}{n} + \ldots + \sin \frac{(n-1)\pi}{n} \right);$

б) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \ldots + \frac{1}{n+n} \right);$

в) $\lim_{n \to \infty} \frac{1^p + 2^p + \ldots + n^p}{n^{p+1}}$ при $p > 0;$

г) $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^{p-1}}{(n+1)^p} + \frac{n^{p-1}}{(n+2)^p} + \ldots + \frac{n^{p-1}}{(n+n)^p} \right)$ при $p > 1.$

а) Данный предел представляет собой предел интегральной суммы. Запишем выражение под знаком предела в виде суммы: $ S_n = \frac{1}{n} \left( \sin\frac{\pi}{n} + \sin\frac{2\pi}{n} + \dots + \sin\frac{(n-1)\pi}{n} \right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n-1} \sin\left(\frac{i\pi}{n}\right) $ Эта сумма является интегральной суммой Римана для функции $f(x) = \sin(\pi x)$ на отрезке $[0, 1]$. Разобьем отрезок $[0, 1]$ на $n$ равных частей длиной $\Delta x = \frac{1}{n}$. Точки разбиения $x_i = \frac{i}{n}$. Если в качестве точек в каждом подынтервале выбрать правые концы, то интегральная сумма будет иметь вид $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f(\frac{i}{n})$. В нашей задаче сумма идет до $n-1$, но предел от этого не изменится, так как $n$-й член суммы $\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{n} = \frac{1}{n}\sin(\pi) = 0$ стремится к нулю при $n \to \infty$. Таким образом, искомый предел равен определенному интегралу: $ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \sin(\pi x) dx $ Вычислим этот интеграл: $ \int_0^1 \sin(\pi x) dx = \left[ -\frac{1}{\pi}\cos(\pi x) \right]_0^1 = -\frac{1}{\pi}(\cos(\pi) - \cos(0)) = -\frac{1}{\pi}(-1 - 1) = \frac{2}{\pi} $
Ответ: $ \frac{2}{\pi} $

б) Запишем выражение под знаком предела в виде суммы: $ S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \dots + \frac{1}{n+n} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n+i} $ Чтобы привести эту сумму к стандартному виду интегральной суммы Римана, вынесем $n$ из знаменателя каждого слагаемого: $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n(1 + i/n)} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1 + i/n} $ Это выражение является интегральной суммой для функции $f(x) = \frac{1}{1+x}$ на отрезке $[0, 1]$ с шагом разбиения $\Delta x = \frac{1}{n}$ и выбором правых концов подынтервалов в качестве точек $x_i = \frac{i}{n}$. Следовательно, предел этой суммы равен определенному интегралу: $ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx $ Вычислим интеграл: $ \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = [\ln|1+x|]_0^1 = \ln(1+1) - \ln(1+0) = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) $
Ответ: $ \ln(2) $

в) Запишем выражение под знаком предела в виде суммы: $ S_n = \frac{1^p + 2^p + \dots + n^p}{n^{p+1}} = \frac{1}{n^{p+1}} \sum_{i=1}^{n} i^p $ Преобразуем это выражение, чтобы оно стало похоже на интегральную сумму: $ S_n = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^p} \sum_{i=1}^{n} i^p = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{i^p}{n^p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \left(\frac{i}{n}\right)^p $ Это интегральная сумма для функции $f(x) = x^p$ на отрезке $[0, 1]$ (при $p>0$ функция интегрируема). Шаг разбиения $\Delta x = \frac{1}{n}$, точки $x_i = \frac{i}{n}$. Предел этой суммы равен определенному интегралу: $ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 x^p dx $ Вычислим интеграл. Так как $p > 0$, то $p+1 \neq 0$: $ \int_0^1 x^p dx = \left[ \frac{x^{p+1}}{p+1} \right]_0^1 = \frac{1^{p+1}}{p+1} - \frac{0^{p+1}}{p+1} = \frac{1}{p+1} $
Ответ: $ \frac{1}{p+1} $

г) Запишем выражение в виде суммы: $ S_n = \frac{n^{p-1}}{(n+1)^p} + \frac{n^{p-1}}{(n+2)^p} + \dots + \frac{n^{p-1}}{(n+n)^p} = \sum_{i=1}^{n} \frac{n^{p-1}}{(n+i)^p} $ Преобразуем выражение для получения интегральной суммы: $ S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{n^{p-1}}{n^p(1+i/n)^p} = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \frac{1}{(1+i/n)^p} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{(1+i/n)^p} $ Это интегральная сумма для функции $f(x) = \frac{1}{(1+x)^p}$ на отрезке $[0, 1]$. Предел этой суммы равен определенному интегралу: $ \lim_{n \to \infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{(1+x)^p} dx = \int_0^1 (1+x)^{-p} dx $ Вычислим интеграл. Так как по условию $p > 1$, то $p \neq 1$: $ \int_0^1 (1+x)^{-p} dx = \left[ \frac{(1+x)^{-p+1}}{-p+1} \right]_0^1 = \frac{(1+1)^{-p+1}}{1-p} - \frac{(1+0)^{-p+1}}{1-p} = \frac{2^{1-p} - 1^{1-p}}{1-p} = \frac{2^{1-p} - 1}{1-p} $
Ответ: $ \frac{2^{1-p} - 1}{1-p} $

272. Вычислите:

а) $\int_0^{2\pi} \cos^2 nx dx (n \in N);$

б) $\int_0^{2\pi} \sin kx \cos mx dx (m \in N, k \in N);$

в) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx;$

г) $\int_0^{\pi} \sin 3x \cos 5x dx.$

а) Вычислить $\int_{0}^{2\pi} \cos^2(nx) dx$ (где $n \in \mathbb{N}$).

Для решения этого интеграла мы используем тригонометрическую формулу понижения степени для косинуса: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

Применяя эту формулу к подынтегральному выражению, получаем:

$\int_{0}^{2\pi} \cos^2(nx) dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 + \cos(2nx)}{2} dx$

Выносим константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла и разбиваем интеграл на два:

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (1 + \cos(2nx)) dx = \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{2\pi} 1 dx + \int_{0}^{2\pi} \cos(2nx) dx \right)$

Вычисляем каждый интеграл отдельно:

$\int_{0}^{2\pi} 1 dx = [x]_{0}^{2\pi} = 2\pi - 0 = 2\pi$

$\int_{0}^{2\pi} \cos(2nx) dx = \left[ \frac{\sin(2nx)}{2n} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{\sin(2n \cdot 2\pi)}{2n} - \frac{\sin(2n \cdot 0)}{2n} = \frac{\sin(4n\pi)}{2n} - \frac{\sin(0)}{2n}$

Поскольку $n$ является натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$), $4n\pi$ является целым кратным $\pi$, и $\sin(4n\pi) = 0$. Также $\sin(0) = 0$. Следовательно, второй интеграл равен 0.

Подставляем найденные значения обратно:

$\frac{1}{2} (2\pi + 0) = \pi$

Ответ: $\pi$

б) Вычислить $\int_{0}^{2\pi} \sin(kx) \cos(mx) dx$ (где $m, k \in \mathbb{N}$).

Для вычисления этого интеграла используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:

$\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$

Применяя формулу, получаем:

$\int_{0}^{2\pi} \sin(kx) \cos(mx) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (\sin((k+m)x) + \sin((k-m)x)) dx$

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $k \neq m$.

Интегрируем каждое слагаемое:

$\int_{0}^{2\pi} \sin((k+m)x) dx = \left[ -\frac{\cos((k+m)x)}{k+m} \right]_{0}^{2\pi} = -\frac{\cos(2\pi(k+m))}{k+m} + \frac{\cos(0)}{k+m} = -\frac{1}{k+m} + \frac{1}{k+m} = 0$

$\int_{0}^{2\pi} \sin((k-m)x) dx = \left[ -\frac{\cos((k-m)x)}{k-m} \right]_{0}^{2\pi} = -\frac{\cos(2\pi(k-m))}{k-m} + \frac{\cos(0)}{k-m} = -\frac{1}{k-m} + \frac{1}{k-m} = 0$

Таким образом, весь интеграл равен $\frac{1}{2}(0 + 0) = 0$.

Случай 2: $k = m$.

В этом случае $\sin((k-m)x) = \sin(0) = 0$. Интеграл упрощается до:

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \sin(2kx) dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{\cos(2kx)}{2k} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos(4k\pi)}{2k} + \frac{\cos(0)}{2k} \right) = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2k} + \frac{1}{2k} \right) = 0$

В обоих случаях интеграл равен 0. Это является следствием ортогональности функций $\sin(kx)$ и $\cos(mx)$ на интервале $[0, 2\pi]$ для любых натуральных $k$ и $m$.

Ответ: $0$

в) Вычислить $\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx$.

Используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Интеграл принимает вид:

$\int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} (1 - \cos(2x)) dx$

$\frac{1}{2} \left( \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx - \int_{-\pi}^{\pi} \cos(2x) dx \right)$

Вычисляем каждый интеграл:

$\int_{-\pi}^{\pi} 1 dx = [x]_{-\pi}^{\pi} = \pi - (-\pi) = 2\pi$

$\int_{-\pi}^{\pi} \cos(2x) dx = \left[ \frac{\sin(2x)}{2} \right]_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(2\pi)}{2} - \frac{\sin(-2\pi)}{2} = 0 - 0 = 0$

Подставляем результаты:

$\frac{1}{2} (2\pi - 0) = \pi$

Ответ: $\pi$

г) Вычислить $\int_{0}^{\pi} \sin(3x) \cos(5x) dx$.

Снова используем формулу преобразования произведения в сумму:

$\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]$

$\sin(3x) \cos(5x) = \frac{1}{2}(\sin(3x+5x) + \sin(3x-5x)) = \frac{1}{2}(\sin(8x) + \sin(-2x))$

Поскольку синус является нечетной функцией ($\sin(-z) = -\sin(z)$), выражение упрощается:

$\frac{1}{2}(\sin(8x) - \sin(2x))$

Теперь вычисляем интеграл:

$\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2}(\sin(8x) - \sin(2x)) dx = \frac{1}{2} \left( \int_{0}^{\pi} \sin(8x) dx - \int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx \right)$

Вычисляем каждый интеграл отдельно:

$\int_{0}^{\pi} \sin(8x) dx = \left[ -\frac{\cos(8x)}{8} \right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(8\pi)}{8} - \left(-\frac{\cos(0)}{8}\right) = -\frac{1}{8} + \frac{1}{8} = 0$

$\int_{0}^{\pi} \sin(2x) dx = \left[ -\frac{\cos(2x)}{2} \right]_{0}^{\pi} = -\frac{\cos(2\pi)}{2} - \left(-\frac{\cos(0)}{2}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$

Итоговый результат:

$\frac{1}{2} (0 - 0) = 0$

Ответ: $0$

273. Используя геометрическую интерпретацию интеграла, вычислите:

a) $\int_{-2}^{2} ||x|-1| dx;$

б) $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx;$

в) $\int_{0}^{3} |x^2-1| dx;$

г) $\int_{0}^{5} |\{x\}-\frac{1}{2}| dx.$

а) Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{-2}^{2} ||x|-1| dx$ — это площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y=||x|-1|$, осью абсцисс $Ox$ и прямыми $x=-2$ и $x=2$.
Построим график функции $y=||x|-1|$. Это можно сделать в несколько шагов:
1. График $y=|x|$ — это "галочка" с вершиной в начале координат.
2. График $y=|x|-1$ — это график $y=|x|$, смещенный на 1 единицу вниз по оси $Oy$. Вершина смещается в точку $(0, -1)$, а с осью $Ox$ график пересекается в точках $x=-1$ и $x=1$.
3. График $y=||x|-1|$ получается из предыдущего отражением части графика, лежащей ниже оси $Ox$ (на интервале $(-1, 1)$), симметрично относительно этой оси.
В результате получается W-образный график. Функция $y=||x|-1|$ является четной, поэтому ее график симметричен относительно оси $Oy$. Это означает, что площадь фигуры от $-2$ до $2$ равна удвоенной площади от $0$ до $2$.
На отрезке $[0, 2]$ график функции состоит из двух отрезков прямых. Искомая площадь на этом отрезке представляет собой сумму площадей двух прямоугольных треугольников:
1. Первый треугольник на отрезке $[0, 1]$. Его вершины находятся в точках $(0, 1)$, $(1, 0)$ и $(0, 0)$. Его катеты равны 1 и 1. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
2. Второй треугольник на отрезке $[1, 2]$. Его вершины находятся в точках $(1, 0)$, $(2, 1)$ и $(2, 0)$. Его катеты равны 1 и 1. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Площадь на отрезке $[0, 2]$ равна $S_{0-2} = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Полная площадь на отрезке $[-2, 2]$ равна $S = 2 \cdot S_{0-2} = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

б) Интеграл $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2} dx$ геометрически представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = \sqrt{1-x^2}$ и осью $Ox$ на отрезке $[-1, 1]$.
Рассмотрим уравнение $y = \sqrt{1-x^2}$. Так как $y \ge 0$, мы можем возвести обе части в квадрат: $y^2 = 1 - x^2$, что эквивалентно $x^2 + y^2 = 1$.
Это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r=1$. Условие $y \ge 0$ означает, что мы рассматриваем только верхнюю половину этой окружности, то есть полукруг.
Таким образом, искомый интеграл равен площади полукруга радиуса 1.
Площадь круга радиуса $r$ вычисляется по формуле $S_{круга} = \pi r^2$.
Площадь полукруга равна половине площади круга: $S_{полукруга} = \frac{1}{2} \pi r^2$.
Подставляя $r=1$, получаем: $S = \frac{1}{2} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$

в) Интеграл $\int_{0}^{3} |x^2-1| dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = |x^2-1|$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=3$.
График функции $y=|x^2-1|$ получается из параболы $y=x^2-1$ путем отражения ее отрицательной части (на интервале $-1 < x < 1$) относительно оси $Ox$.
Выражение под модулем $x^2-1$ меняет знак в точке $x=1$ (на рассматриваемом промежутке $[0, 3]$).
- На отрезке $[0, 1]$ имеем $x^2-1 \le 0$, поэтому $|x^2-1| = -(x^2-1) = 1-x^2$.
- На отрезке $[1, 3]$ имеем $x^2-1 \ge 0$, поэтому $|x^2-1| = x^2-1$.
Таким образом, искомая площадь равна сумме площадей двух криволинейных трапеций. Вычисление этих площадей эквивалентно вычислению двух интегралов:
$\int_{0}^{3} |x^2-1| dx = \int_{0}^{1} (1-x^2) dx + \int_{1}^{3} (x^2-1) dx$.
Вычислим каждый интеграл:
$\int_{0}^{1} (1-x^2) dx = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(0 - \frac{0^3}{3}\right) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
$\int_{1}^{3} (x^2-1) dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{1}^{3} = \left(\frac{3^3}{3} - 3\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 1\right) = (9-3) - \left(\frac{1}{3}-1\right) = 6 - \left(-\frac{2}{3}\right) = 6 + \frac{2}{3} = \frac{20}{3}$.
Суммарная площадь равна:
$S = \frac{2}{3} + \frac{20}{3} = \frac{22}{3}$.

Ответ: $\frac{22}{3}$

г) Интеграл $\int_{0}^{5} |\{x\} - \frac{1}{2}| dx$ представляет собой площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = |\{x\} - \frac{1}{2}|$, осью $Ox$ и прямыми $x=0$ и $x=5$. Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x$.
Функция $y=\{x\}$ является периодической с периодом $T=1$. Следовательно, функция $f(x) = |\{x\} - \frac{1}{2}|$ также является периодической с периодом $T=1$.
Это означает, что площадь под графиком на отрезке $[0, 5]$ равна сумме площадей на пяти одинаковых отрезках длиной 1: $[0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4], [4, 5]$. Таким образом, искомый интеграл равен $5 \cdot \int_{0}^{1} |\{x\} - \frac{1}{2}| dx$.
На отрезке $[0, 1]$ дробная часть $\{x\}$ совпадает с самим числом $x$, то есть $\{x\}=x$. Интеграл принимает вид: $\int_{0}^{1} |x - \frac{1}{2}| dx$.
Геометрически это площадь под графиком функции $y = |x - \frac{1}{2}|$ на отрезке $[0, 1]$. Этот график имеет V-образную форму с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$.
Искомая площадь на отрезке $[0, 1]$ состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников:
1. Первый треугольник на отрезке $[0, \frac{1}{2}]$. Его основание равно $\frac{1}{2}$, а высота равна значению функции в точке $x=0$: $y = |0 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
2. Второй треугольник на отрезке $[\frac{1}{2}, 1]$. Его основание равно $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, а высота равна значению функции в точке $x=1$: $y = |1 - \frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
Площадь на одном периоде равна $S_{0-1} = S_1 + S_2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
Полная площадь на отрезке $[0, 5]$ равна $S = 5 \cdot S_{0-1} = 5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$

274. Вычислите площадь фигуры, состоящей из точек, лежащих внутри эллипса. (Эллипсом называется фигура, координаты точек которой удовлетворяют равенству $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$)

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом, можно найти с помощью определенного интеграла. Уравнение эллипса, заданного в условии, имеет вид:$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $,где $a$ и $b$ — длины большой и малой полуосей эллипса соответственно.

Для вычисления площади выразим $y$ через $x$. Из уравнения эллипса получаем:$ \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2} \implies y^2 = b^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) = \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2) $.Отсюда $ y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} $.Знак «+» соответствует верхней половине эллипса ($y \ge 0$), а знак «−» — нижней ($y \le 0$).

Эллипс симметричен относительно осей координат. Поэтому для нахождения его общей площади $S$ достаточно вычислить площадь его четверти, находящейся в первом координатном квадранте (где $x \ge 0$, $y \ge 0$), и умножить результат на 4. В первом квадранте $x$ изменяется в пределах от $0$ до $a$. Площадь $S$ можно представить как интеграл:

$ S = 4 \int_{0}^{a} y(x) \,dx = 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx $.

Интеграл $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx$ вычисляется с помощью тригонометрической подстановки $x = a \sin(t)$.При такой подстановке дифференциал $dx = a \cos(t) \,dt$. Необходимо также изменить пределы интегрирования для новой переменной $t$. Если $x=0$, то $a \sin(t) = 0$, откуда $t = 0$. Если $x=a$, то $a \sin(t) = a$, откуда $\sin(t) = 1$, и $t = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, новые пределы интегрирования — от $0$ до $\frac{\pi}{2}$.

Подставим замену в интеграл:

$ \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2(t)} \cdot (a \cos(t)) \,dt = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 \cos^2(t)} \cdot a \cos(t) \,dt $.

Так как на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $\cos(t)$ неотрицательна, $\sqrt{a^2 \cos^2(t)} = a \cos(t)$. Интеграл принимает вид:

$ \int_{0}^{\pi/2} a \cos(t) \cdot a \cos(t) \,dt = a^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(t) \,dt $.

Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$.

$ a^2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2t)}{2} \,dt = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos(2t)) \,dt = \frac{a^2}{2} \left[ t + \frac{1}{2}\sin(2t) \right]_{0}^{\pi/2} $.

Подставляем пределы интегрирования:

$ \frac{a^2}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\sin(0)\right) \right) = \frac{a^2}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right) = \frac{\pi a^2}{4} $.

Теперь мы можем найти полную площадь эллипса $S$, подставив значение вычисленного интеграла:

$ S = \frac{4b}{a} \cdot \left(\frac{\pi a^2}{4}\right) = \pi ab $.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной эллипсом, равна произведению числа $\pi$ на длины его полуосей.

Ответ: $S = \pi ab$

275. При каких значениях параметров a, b и c определен интеграл:

a) $ \int_{a}^{b} \frac{dx}{x-2} $;

б) $ \int_{0}^{3} \frac{dx}{x-c} $;

в) $ \int_{a}^{b} \frac{dx}{x+c} $?

а) Определенный интеграл $\int_a^b \frac{dx}{x-2}$ существует, если подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x-2}$ непрерывна на отрезке интегрирования $[a, b]$. Эта функция имеет бесконечный разрыв в точке $x=2$, где ее знаменатель обращается в ноль. Для того чтобы интеграл был определен как собственный, точка разрыва $x=2$ не должна принадлежать отрезку $[a, b]$. Это означает, что весь отрезок интегрирования должен лежать по одну сторону от точки разрыва. Приняв стандартное условие $a \le b$, получаем два возможных случая:
1) Отрезок $[a, b]$ находится левее точки $2$, то есть $b < 2$.
2) Отрезок $[a, b]$ находится правее точки $2$, то есть $a > 2$.
Эти два случая можно объединить в одно условие $2 \notin [a, b]$.
Ответ: $a \le b < 2$ или $2 < a \le b$.

б) Интеграл $\int_0^3 \frac{dx}{x-c}$ определен, если подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x-c}$ непрерывна на отрезке интегрирования $[0, 3]$. Данная функция имеет разрыв в точке $x=c$. Для существования интеграла необходимо, чтобы эта точка разрыва не принадлежала отрезку $[0, 3]$. Таким образом, должно выполняться условие $c \notin [0, 3]$, что означает, что $c$ должно быть либо меньше $0$, либо больше $3$.
Ответ: $c < 0$ или $c > 3$.

в) Интеграл $\int_a^b \frac{dx}{x+c}$ определен, если подынтегральная функция $f(x) = \frac{1}{x+c}$ непрерывна на отрезке интегрирования $[a, b]$. Точка разрыва этой функции находится там, где знаменатель равен нулю, то есть при $x+c=0$, откуда $x=-c$. Чтобы интеграл был определен, точка разрыва $x=-c$ не должна принадлежать отрезку $[a, b]$ (при условии $a \le b$). Это значит, что $-c$ должно быть либо строго меньше $a$, либо строго больше $b$.
1) $-c < a$, что равносильно $c > -a$.
2) $-c > b$, что равносильно $c < -b$.
Следовательно, параметр $c$ должен удовлетворять одному из этих двух неравенств.
Ответ: при $a \le b$ должно выполняться условие $c < -b$ или $c > -a$.

276. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

a) $y = |x^2 - 1|$ и $y = 5 + |x|$;

б) $|y| = 2x - x^2$.

а) $y = |x^2 - 1|$ и $y = 5 + |x|$

Обе функции, $y_1(x) = |x^2 - 1|$ и $y_2(x) = 5 + |x|$, являются четными, так как $y_1(-x) = |(-x)^2 - 1| = |x^2 - 1| = y_1(x)$ и $y_2(-x) = 5 + |-x| = 5 + |x| = y_2(x)$. Это означает, что графики этих функций симметричны относительно оси OY. Поэтому мы можем найти площадь фигуры для $x \ge 0$ и затем умножить результат на 2, чтобы получить общую площадь.

Найдем точки пересечения графиков для $x \ge 0$. При $x \ge 0$ уравнения принимают вид: $y = |x^2 - 1|$ и $y = 5 + x$.

Приравняем функции: $|x^2 - 1| = 5 + x$.

Раскроем модуль $|x^2 - 1|$.

1. Если $0 \le x < 1$, то $x^2 - 1 < 0$, и уравнение становится $-(x^2 - 1) = 5 + x$ или $1 - x^2 = 5 + x$.

$x^2 + x + 4 = 0$.

Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = -15 < 0$. В этом интервале действительных корней нет.

2. Если $x \ge 1$, то $x^2 - 1 \ge 0$, и уравнение становится $x^2 - 1 = 5 + x$.

$x^2 - x - 6 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 - 4(1)(-6)}}{2} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = 3$ и $x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2$.

Поскольку мы рассматриваем случай $x \ge 1$, нас интересует только корень $x = 3$.

Таким образом, для $x \ge 0$ графики пересекаются в точке $x = 3$. Из-за симметрии, для $x < 0$ точка пересечения будет $x = -3$. Фигура ограничена по оси $x$ от -3 до 3.

Площадь фигуры $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней функции $y_2 = 5 + |x|$ и нижней функции $y_1 = |x^2 - 1|$:

$S = \int_{-3}^{3} ( (5 + |x|) - |x^2 - 1| ) dx$.

Так как подынтегральная функция четная, воспользуемся свойством симметрии:

$S = 2 \int_{0}^{3} (5 + x - |x^2 - 1|) dx$.

Разобьем интеграл на два, учитывая раскрытие модуля $|x^2 - 1|$ в точке $x=1$:

$S = 2 \left( \int_{0}^{1} (5 + x - (1 - x^2)) dx + \int_{1}^{3} (5 + x - (x^2 - 1)) dx \right)$

$S = 2 \left( \int_{0}^{1} (x^2 + x + 4) dx + \int_{1}^{3} (-x^2 + x + 6) dx \right)$

Вычислим каждый интеграл.

$\int_{0}^{1} (x^2 + x + 4) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 4x \right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 4\right) - 0 = \frac{2+3+24}{6} = \frac{29}{6}$.

$\int_{1}^{3} (-x^2 + x + 6) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 6x \right]_{1}^{3} = \left(-\frac{27}{3} + \frac{9}{2} + 18\right) - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 6\right) = \left(9 + \frac{9}{2}\right) - \left(\frac{-2+3+36}{6}\right) = \frac{27}{2} - \frac{37}{6} = \frac{81-37}{6} = \frac{44}{6}$.

Теперь найдем общую площадь:

$S = 2 \left( \frac{29}{6} + \frac{44}{6} \right) = 2 \cdot \frac{73}{6} = \frac{73}{3}$.

Ответ: $\frac{73}{3}$

б) $|y| = 2x - x^2$

Данное уравнение определяет фигуру на плоскости. Так как левая часть $|y|$ всегда неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательной:

$2x - x^2 \ge 0$

$x(2 - x) \ge 0$

Решая это неравенство, находим, что $x$ должен находиться в интервале $[0, 2]$. Это пределы интегрирования по оси $x$.

Уравнение $|y| = 2x - x^2$ эквивалентно двум функциям:

$y = 2x - x^2$ (верхняя граница фигуры)

$y = -(2x - x^2) = x^2 - 2x$ (нижняя граница фигуры)

Фигура симметрична относительно оси OX. Площадь $S$ можно найти как интеграл от разности верхней и нижней функций в пределах от 0 до 2.

$S = \int_{0}^{2} \left( (2x - x^2) - (x^2 - 2x) \right) dx$

$S = \int_{0}^{2} (2x - x^2 - x^2 + 2x) dx$

$S = \int_{0}^{2} (4x - 2x^2) dx$

Вычислим определенный интеграл:

$S = \left[ 4\frac{x^2}{2} - 2\frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left[ 2x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{2}$

$S = \left( 2 \cdot 2^2 - \frac{2}{3} \cdot 2^3 \right) - (0) = 2 \cdot 4 - \frac{2}{3} \cdot 8 = 8 - \frac{16}{3}$

$S = \frac{24 - 16}{3} = \frac{8}{3}$.

Ответ: $\frac{8}{3}$