Номер 274, страница 344 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 274, страница 344.

Условие.

274. Вычислите площадь фигуры, состоящей из точек, лежащих внутри эллипса. (Эллипсом называется фигура, координаты точек которой удовлетворяют равенству $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1.$)

Решение 5.

Площадь фигуры, ограниченной эллипсом, можно найти с помощью определенного интеграла. Уравнение эллипса, заданного в условии, имеет вид:$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $,где $a$ и $b$ — длины большой и малой полуосей эллипса соответственно.

Для вычисления площади выразим $y$ через $x$. Из уравнения эллипса получаем:$ \frac{y^2}{b^2} = 1 - \frac{x^2}{a^2} \implies y^2 = b^2 \left(1 - \frac{x^2}{a^2}\right) = \frac{b^2}{a^2}(a^2 - x^2) $.Отсюда $ y = \pm \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} $.Знак «+» соответствует верхней половине эллипса ($y \ge 0$), а знак «−» — нижней ($y \le 0$).

Эллипс симметричен относительно осей координат. Поэтому для нахождения его общей площади $S$ достаточно вычислить площадь его четверти, находящейся в первом координатном квадранте (где $x \ge 0$, $y \ge 0$), и умножить результат на 4. В первом квадранте $x$ изменяется в пределах от $0$ до $a$. Площадь $S$ можно представить как интеграл:

$ S = 4 \int_{0}^{a} y(x) \,dx = 4 \int_{0}^{a} \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \frac{4b}{a} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx $.

Интеграл $\int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx$ вычисляется с помощью тригонометрической подстановки $x = a \sin(t)$.При такой подстановке дифференциал $dx = a \cos(t) \,dt$. Необходимо также изменить пределы интегрирования для новой переменной $t$. Если $x=0$, то $a \sin(t) = 0$, откуда $t = 0$. Если $x=a$, то $a \sin(t) = a$, откуда $\sin(t) = 1$, и $t = \frac{\pi}{2}$. Таким образом, новые пределы интегрирования — от $0$ до $\frac{\pi}{2}$.

Подставим замену в интеграл:

$ \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \,dx = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 - a^2 \sin^2(t)} \cdot (a \cos(t)) \,dt = \int_{0}^{\pi/2} \sqrt{a^2 \cos^2(t)} \cdot a \cos(t) \,dt $.

Так как на отрезке $[0, \frac{\pi}{2}]$ функция $\cos(t)$ неотрицательна, $\sqrt{a^2 \cos^2(t)} = a \cos(t)$. Интеграл принимает вид:

$ \int_{0}^{\pi/2} a \cos(t) \cdot a \cos(t) \,dt = a^2 \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(t) \,dt $.

Для вычисления этого интеграла воспользуемся формулой понижения степени: $\cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}$.

$ a^2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2t)}{2} \,dt = \frac{a^2}{2} \int_{0}^{\pi/2} (1 + \cos(2t)) \,dt = \frac{a^2}{2} \left[ t + \frac{1}{2}\sin(2t) \right]_{0}^{\pi/2} $.

Подставляем пределы интегрирования:

$ \frac{a^2}{2} \left( \left(\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin(\pi)\right) - \left(0 + \frac{1}{2}\sin(0)\right) \right) = \frac{a^2}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 0 - 0 \right) = \frac{\pi a^2}{4} $.

Теперь мы можем найти полную площадь эллипса $S$, подставив значение вычисленного интеграла:

$ S = \frac{4b}{a} \cdot \left(\frac{\pi a^2}{4}\right) = \pi ab $.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной эллипсом, равна произведению числа $\pi$ на длины его полуосей.

Ответ: $S = \pi ab$