Номер 267, страница 343 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 267, страница 343.

Условие.

267. Пусть $f(x)$ — многочлен степени не выше 3. Докажите, что

$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \frac{b-a}{6} (y_1 + 4y_2 + y_3),$$

где $y_1 = f(a), y_2 = f\left(\frac{a+b}{2}\right), y_3 = f(b).$

Решение 5.

Для доказательства данного тождества воспользуемся свойством линейности как интеграла (левая часть), так и выражения в правой части. Если мы докажем, что равенство верно для базисных многочленов $1, x, x^2, x^3$, то в силу линейности оно будет верно и для любой их линейной комбинации, то есть для любого многочлена степени не выше 3 вида $f(x) = c_3x^3 + c_2x^2 + c_1x + c_0$.

Обозначим левую часть как ЛЧ, а правую — как ПЧ.

ЛЧ = $\int_a^b f(x) dx$

ПЧ = $\frac{b-a}{6}(y_1 + 4y_2 + y_3) = \frac{b-a}{6}\left(f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right) + f(b)\right)$

Проверим равенство для каждого базисного многочлена.

1. Пусть $f(x) = 1$.

ЛЧ: $\int_a^b 1 \,dx = [x]_a^b = b-a$.

ПЧ: $y_1 = f(a) = 1$, $y_2 = f\left(\frac{a+b}{2}\right) = 1$, $y_3 = f(b) = 1$.
$\frac{b-a}{6}(1 + 4 \cdot 1 + 1) = \frac{b-a}{6} \cdot 6 = b-a$.
Равенство выполняется.

2. Пусть $f(x) = x$.

ЛЧ: $\int_a^b x \,dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_a^b = \frac{b^2-a^2}{2} = \frac{(b-a)(b+a)}{2}$.

ПЧ: $y_1 = f(a) = a$, $y_2 = f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \frac{a+b}{2}$, $y_3 = f(b) = b$.
$\frac{b-a}{6}\left(a + 4\left(\frac{a+b}{2}\right) + b\right) = \frac{b-a}{6}(a + 2(a+b) + b) = \frac{b-a}{6}(a + 2a + 2b + b) = \frac{b-a}{6}(3a + 3b) = \frac{b-a}{6} \cdot 3(a+b) = \frac{(b-a)(a+b)}{2}$.
Равенство выполняется.

3. Пусть $f(x) = x^2$.

ЛЧ: $\int_a^b x^2 \,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_a^b = \frac{b^3-a^3}{3} = \frac{(b-a)(b^2+ab+a^2)}{3}$.

ПЧ: $y_1 = f(a) = a^2$, $y_2 = f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \frac{a^2+2ab+b^2}{4}$, $y_3 = f(b) = b^2$.
$\frac{b-a}{6}\left(a^2 + 4\left(\frac{a^2+2ab+b^2}{4}\right) + b^2\right) = \frac{b-a}{6}(a^2 + a^2+2ab+b^2 + b^2) = \frac{b-a}{6}(2a^2+2ab+2b^2) = \frac{b-a}{3}(a^2+ab+b^2)$.
Равенство выполняется.

4. Пусть $f(x) = x^3$.

ЛЧ: $\int_a^b x^3 \,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_a^b = \frac{b^4-a^4}{4} = \frac{(b^2-a^2)(b^2+a^2)}{4} = \frac{(b-a)(b+a)(a^2+b^2)}{4}$.

ПЧ: $y_1 = f(a) = a^3$, $y_2 = f\left(\frac{a+b}{2}\right) = \left(\frac{a+b}{2}\right)^3 = \frac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{8}$, $y_3 = f(b) = b^3$.
$\frac{b-a}{6}\left(a^3 + 4\left(\frac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{8}\right) + b^3\right) = \frac{b-a}{6}\left(a^3 + \frac{a^3+3a^2b+3ab^2+b^3}{2} + b^3\right)$.
Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:
$\frac{b-a}{6}\left(\frac{2a^3 + a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 + 2b^3}{2}\right) = \frac{b-a}{6}\left(\frac{3a^3+3a^2b+3ab^2+3b^3}{2}\right) = \frac{b-a}{6} \cdot \frac{3(a^3+a^2b+ab^2+b^3)}{2} = \frac{b-a}{4}(a^2(a+b)+b^2(a+b)) = \frac{(b-a)(a+b)(a^2+b^2)}{4}$.
Равенство выполняется.

Поскольку формула верна для базисных многочленов $1, x, x^2, x^3$, она верна и для любого многочлена $f(x)$ степени не выше 3, который является их линейной комбинацией.

Ответ: Равенство доказано путем проверки его истинности для базисных многочленов $1, x, x^2, x^3$ и использования свойства линейности обеих частей равенства.