Номер 260, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 260, страница 342.

Условие.

260. Пусть $x_1(t)$ и $x_2(t)$ — два решения уравнения $x''(t) = -\omega^2 x(t)$. Докажите, что функции $x_1(t) - x_2(t)$ и $kx_1(t)$, где $k$ — произвольное число, также являются решениями этого уравнения.

Решение 3.

Решение 5.

В задаче дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка: $x''(t) = -\omega^2 x(t)$.

По условию, функции $x_1(t)$ и $x_2(t)$ являются решениями этого уравнения. Это означает, что для них выполняются тождества:

$x_1''(t) = -\omega^2 x_1(t)$

$x_2''(t) = -\omega^2 x_2(t)$

Необходимо доказать, что разность решений $x_1(t) - x_2(t)$ и решение, умноженное на произвольное число $k x_1(t)$, также являются решениями этого уравнения. Это свойство называется принципом суперпозиции для линейных однородных уравнений.

Доказательство для функции $x_1(t) - x_2(t)$

Обозначим новую функцию $y(t) = x_1(t) - x_2(t)$. Чтобы доказать, что $y(t)$ является решением, нужно подставить ее в исходное уравнение, то есть проверить выполнение равенства $y''(t) = -\omega^2 y(t)$.

Для этого найдем вторую производную от $y(t)$, используя свойство линейности операции дифференцирования (производная разности равна разности производных):

Первая производная: $y'(t) = (x_1(t) - x_2(t))' = x_1'(t) - x_2'(t)$.

Вторая производная: $y''(t) = (x_1'(t) - x_2'(t))' = x_1''(t) - x_2''(t)$.

Теперь воспользуемся тем, что $x_1(t)$ и $x_2(t)$ — решения уравнения. Подставим выражения для $x_1''(t)$ и $x_2''(t)$:

$y''(t) = (-\omega^2 x_1(t)) - (-\omega^2 x_2(t))$

Вынесем общий множитель $-\omega^2$ за скобки:

$y''(t) = -\omega^2 (x_1(t) - x_2(t))$

Так как по нашему определению $y(t) = x_1(t) - x_2(t)$, мы получаем:

$y''(t) = -\omega^2 y(t)$

Полученное тождество доказывает, что функция $y(t) = x_1(t) - x_2(t)$ удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению.

Ответ: Функция $x_1(t) - x_2(t)$ является решением уравнения $x''(t) = -\omega^2 x(t)$, что и требовалось доказать.

Доказательство для функции $k x_1(t)$

Обозначим новую функцию $z(t) = k x_1(t)$, где $k$ — произвольное число (константа). Проверим, является ли $z(t)$ решением, подставив ее в уравнение. Для этого найдем вторую производную $z''(t)$.

При дифференцировании константа $k$ выносится за знак производной:

Первая производная: $z'(t) = (k x_1(t))' = k x_1'(t)$.

Вторая производная: $z''(t) = (k x_1'(t))' = k x_1''(t)$.

Теперь подставим выражение для $x_1''(t)$, так как $x_1(t)$ является решением уравнения:

$z''(t) = k (-\omega^2 x_1(t))$

Перегруппируем множители:

$z''(t) = -\omega^2 (k x_1(t))$

Поскольку по нашему определению $z(t) = k x_1(t)$, получаем:

$z''(t) = -\omega^2 z(t)$

Это тождество доказывает, что функция $z(t) = k x_1(t)$ также удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению.

Ответ: Функция $k x_1(t)$ является решением уравнения $x''(t) = -\omega^2 x(t)$ для любого числа $k$, что и требовалось доказать.