Номер 260, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 260, страница 342.
№260 (с. 342)
Условие. №260 (с. 342)
скриншот условия

260. Пусть $x_1(t)$ и $x_2(t)$ — два решения уравнения $x''(t) = -\omega^2 x(t)$. Докажите, что функции $x_1(t) - x_2(t)$ и $kx_1(t)$, где $k$ — произвольное число, также являются решениями этого уравнения.
Решение 3. №260 (с. 342)

Решение 5. №260 (с. 342)
В задаче дано линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка: $x''(t) = -\omega^2 x(t)$.
По условию, функции $x_1(t)$ и $x_2(t)$ являются решениями этого уравнения. Это означает, что для них выполняются тождества:
$x_1''(t) = -\omega^2 x_1(t)$
$x_2''(t) = -\omega^2 x_2(t)$
Необходимо доказать, что разность решений $x_1(t) - x_2(t)$ и решение, умноженное на произвольное число $k x_1(t)$, также являются решениями этого уравнения. Это свойство называется принципом суперпозиции для линейных однородных уравнений.
Доказательство для функции $x_1(t) - x_2(t)$
Обозначим новую функцию $y(t) = x_1(t) - x_2(t)$. Чтобы доказать, что $y(t)$ является решением, нужно подставить ее в исходное уравнение, то есть проверить выполнение равенства $y''(t) = -\omega^2 y(t)$.
Для этого найдем вторую производную от $y(t)$, используя свойство линейности операции дифференцирования (производная разности равна разности производных):
Первая производная: $y'(t) = (x_1(t) - x_2(t))' = x_1'(t) - x_2'(t)$.
Вторая производная: $y''(t) = (x_1'(t) - x_2'(t))' = x_1''(t) - x_2''(t)$.
Теперь воспользуемся тем, что $x_1(t)$ и $x_2(t)$ — решения уравнения. Подставим выражения для $x_1''(t)$ и $x_2''(t)$:
$y''(t) = (-\omega^2 x_1(t)) - (-\omega^2 x_2(t))$
Вынесем общий множитель $-\omega^2$ за скобки:
$y''(t) = -\omega^2 (x_1(t) - x_2(t))$
Так как по нашему определению $y(t) = x_1(t) - x_2(t)$, мы получаем:
$y''(t) = -\omega^2 y(t)$
Полученное тождество доказывает, что функция $y(t) = x_1(t) - x_2(t)$ удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению.
Ответ: Функция $x_1(t) - x_2(t)$ является решением уравнения $x''(t) = -\omega^2 x(t)$, что и требовалось доказать.
Доказательство для функции $k x_1(t)$
Обозначим новую функцию $z(t) = k x_1(t)$, где $k$ — произвольное число (константа). Проверим, является ли $z(t)$ решением, подставив ее в уравнение. Для этого найдем вторую производную $z''(t)$.
При дифференцировании константа $k$ выносится за знак производной:
Первая производная: $z'(t) = (k x_1(t))' = k x_1'(t)$.
Вторая производная: $z''(t) = (k x_1'(t))' = k x_1''(t)$.
Теперь подставим выражение для $x_1''(t)$, так как $x_1(t)$ является решением уравнения:
$z''(t) = k (-\omega^2 x_1(t))$
Перегруппируем множители:
$z''(t) = -\omega^2 (k x_1(t))$
Поскольку по нашему определению $z(t) = k x_1(t)$, получаем:
$z''(t) = -\omega^2 z(t)$
Это тождество доказывает, что функция $z(t) = k x_1(t)$ также удовлетворяет исходному дифференциальному уравнению.
Ответ: Функция $k x_1(t)$ является решением уравнения $x''(t) = -\omega^2 x(t)$ для любого числа $k$, что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 260 расположенного на странице 342 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №260 (с. 342), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.