Номер 254, страница 342 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 254, страница 342.

Условие.

254. Для функции $f$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $M$. Постройте график первообразной.

a) $f(x) = \begin{cases} \cos x & \text{при } x < 0, \\ 1 & \text{при } x \ge 0, \end{cases}$ $M (0; 0);$

б) $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{при } x < 1, \\ \frac{1}{\sqrt{x}} & \text{при } x \ge 1, \end{cases}$ $M (4; 0).$

Решение 5.

а)

Заданная функция: $f(x) = \begin{cases} \cos x & \text{при } x < 0, \\ 1 & \text{при } x \ge 0. \end{cases}$

Первообразная $F(x)$ является функцией, производная которой равна $f(x)$. Найдем общий вид первообразной, проинтегрировав каждый участок функции $f(x)$.

Для $x < 0$, первообразная от $f(x) = \cos x$ есть $F(x) = \int \cos x \,dx = \sin x + C_1$.

Для $x \ge 0$, первообразная от $f(x) = 1$ есть $F(x) = \int 1 \,dx = x + C_2$.

Таким образом, общий вид первообразной для $f(x)$:

$F(x) = \begin{cases} \sin x + C_1 & \text{при } x < 0, \\ x + C_2 & \text{при } x \ge 0. \end{cases}$

По определению, первообразная является непрерывной функцией на всей области определения. Следовательно, функция $F(x)$ должна быть непрерывной в точке $x=0$, где меняется ее определение. Для этого значения функции при приближении к точке $x=0$ слева и справа должны совпадать со значением в самой точке.

Предел слева: $\lim_{x \to 0^-} F(x) = \lim_{x \to 0^-} (\sin x + C_1) = \sin 0 + C_1 = C_1$.

Значение в точке (и предел справа): $F(0) = 0 + C_2 = C_2$.

Из условия непрерывности $\lim_{x \to 0^-} F(x) = F(0)$ следует, что $C_1 = C_2$. Обозначим эту общую константу как $C$. Тогда первообразная имеет вид:

$F(x) = \begin{cases} \sin x + C & \text{при } x < 0, \\ x + C & \text{при } x \ge 0. \end{cases}$

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $M(0; 0)$, что означает $F(0) = 0$. Используя вторую ветвь функции $F(x)$ (поскольку она определена для $x \ge 0$), подставим $x=0$:

$F(0) = 0 + C = 0 \implies C = 0$.

Таким образом, искомая первообразная найдена:

$F(x) = \begin{cases} \sin x & \text{при } x < 0, \\ x & \text{при } x \ge 0. \end{cases}$

Для построения графика этой функции рассмотрим каждую ее часть.

При $x \ge 0$ график $F(x) = x$ — это луч, выходящий из начала координат под углом 45° к положительному направлению оси Ох.

При $x < 0$ график $F(x) = \sin x$ — это часть синусоиды. Она проходит через точки $(-\pi; 0)$, $(-2\pi; 0)$ и т.д. Локальный минимум находится в точке $(-\pi/2; -1)$, локальный максимум — в точке $(-3\pi/2; 1)$.

В точке $x=0$ обе части графика плавно соединяются в начале координат, так как $F(0)=0$, а производная в этой точке непрерывна: $F'(0) = f(0) = 1$.

Ответ: $F(x) = \begin{cases} \sin x & \text{при } x < 0, \\ x & \text{при } x \ge 0. \end{cases}$

б)

Заданная функция: $f(x) = \begin{cases} 1 & \text{при } x < 1, \\ \frac{1}{\sqrt{x}} & \text{при } x \ge 1. \end{cases}$

Найдем общий вид первообразной $F(x)$, интегрируя функцию $f(x)$ на каждом из интервалов.

Для $x < 1$, первообразная от $f(x) = 1$ есть $F(x) = \int 1 \,dx = x + C_1$.

Для $x \ge 1$, первообразная от $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ есть $F(x) = \int x^{-1/2} \,dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C_2 = 2\sqrt{x} + C_2$.

Общий вид первообразной для $f(x)$:

$F(x) = \begin{cases} x + C_1 & \text{при } x < 1, \\ 2\sqrt{x} + C_2 & \text{при } x \ge 1. \end{cases}$

Для обеспечения непрерывности первообразной $F(x)$ в точке "стыка" $x=1$, приравняем предельное значение слева к значению функции в этой точке.

Предел слева: $\lim_{x \to 1^-} F(x) = \lim_{x \to 1^-} (x + C_1) = 1 + C_1$.

Значение в точке: $F(1) = 2\sqrt{1} + C_2 = 2 + C_2$.

Из условия непрерывности $1 + C_1 = 2 + C_2$, что дает нам связь между константами: $C_1 = C_2 + 1$.

По условию задачи, график первообразной проходит через точку $M(4; 0)$, то есть $F(4) = 0$. Так как $4 \ge 1$, мы используем вторую формулу для $F(x)$:

$F(4) = 2\sqrt{4} + C_2 = 2 \cdot 2 + C_2 = 4 + C_2$.

Так как $F(4)=0$, получаем уравнение $4 + C_2 = 0$, откуда $C_2 = -4$.

Теперь находим $C_1$ из ранее полученного соотношения: $C_1 = C_2 + 1 = -4 + 1 = -3$.

Подставляем найденные значения констант и получаем искомую первообразную:

$F(x) = \begin{cases} x - 3 & \text{при } x < 1, \\ 2\sqrt{x} - 4 & \text{при } x \ge 1. \end{cases}$

Построим график этой функции.

При $x < 1$ график $F(x) = x - 3$ — это луч прямой, которая является прямой $y=x$, смещенной на 3 единицы вниз. Луч заканчивается в точке $(1, 1-3) = (1, -2)$.

При $x \ge 1$ график $F(x) = 2\sqrt{x} - 4$ — это часть кривой, являющейся растянутым и смещенным графиком квадратного корня. Он начинается в точке $(1, 2\sqrt{1}-4) = (1, -2)$, проходит через заданную точку $M(4, 0)$ и плавно возрастает.

В точке $x=1$ обе части графика соединяются в точке $(1, -2)$ без разрыва. Соединение плавное, так как производная в этой точке непрерывна и равна $f(1)=1$.

Ответ: $F(x) = \begin{cases} x - 3 & \text{при } x < 1, \\ 2\sqrt{x} - 4 & \text{при } x \ge 1. \end{cases}$