Номер 249, страница 341 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 249, страница 341.

Условие.

249. Докажите, что при любом значении $a$ существует касательная к графику функции $f (x) = x^2 - ax$, перпендикулярная прямой $y = -x$.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что при любом значении a существует касательная к графику функции $f(x) = x^2 - ax$, перпендикулярная прямой $y = -x$, необходимо выполнить следующие шаги.

1. Найти угловой коэффициент прямой, которой должна быть перпендикулярна касательная. Уравнение данной прямой $y = -x$. Ее угловой коэффициент $k_1 = -1$. Две прямые перпендикулярны, если произведение их угловых коэффициентов равно -1 (при условии, что они не параллельны осям координат). Пусть $k_{кас}$ — угловой коэффициент искомой касательной. Тогда должно выполняться условие:

$k_1 \cdot k_{кас} = -1$

$(-1) \cdot k_{кас} = -1$

Отсюда находим, что угловой коэффициент касательной должен быть равен 1:

$k_{кас} = 1$

2. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в произвольной точке $x_0$. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $f'(x_0)$. Найдем производную функции $f(x) = x^2 - ax$:

$f'(x) = (x^2)' - (ax)' = 2x - a$

Таким образом, $k_{кас} = f'(x_0) = 2x_0 - a$.

3. Найти абсциссу точки касания $x_0$. Для этого приравняем выражение для углового коэффициента касательной к требуемому значению, равному 1:

$f'(x_0) = 1$

$2x_0 - a = 1$

Выразим $x_0$ из этого уравнения:

$2x_0 = a + 1$

$x_0 = \frac{a + 1}{2}$

Это уравнение имеет единственное решение для $x_0$ при любом действительном значении параметра a. Это означает, что для любого значения a мы можем найти точку на графике функции, в которой касательная имеет угловой коэффициент, равный 1. Следовательно, для любого a существует касательная, перпендикулярная прямой $y = -x$.

Ответ: Поскольку уравнение для абсциссы точки касания $2x_0 - a = 1$ имеет решение $x_0 = \frac{a+1}{2}$ при любом действительном значении a, это доказывает, что при любом значении a существует касательная к графику функции $f(x) = x^2 - ax$, перпендикулярная прямой $y = -x$. Что и требовалось доказать.