Номер 250, страница 341 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 250, страница 341.

Условие.

250. Опишите множество точек $M_k$ координатной плоскости, где $M_k (k = 0, 1, 2, \ldots)$ — множество точек $M (x; y)$, таких, что из точки $M (x; y)$ можно провести в точности $k$ касательных к параболе $y = x^2$.

Решение 5.

Для того чтобы описать множества точек $M_k$, найдем, сколько касательных можно провести к параболе $y = x^2$ из произвольной точки $M(x_0, y_0)$.

Уравнение касательной к графику функции $f(t) = t^2$ в точке с абсциссой $t$ (точка касания) имеет вид: $y - f(t) = f'(t)(x - t)$.

Поскольку $f(t) = t^2$ и производная $f'(t) = 2t$, уравнение касательной в точке $(t, t^2)$ на параболе будет: $Y - t^2 = 2t(X - t)$

Эта касательная должна проходить через точку $M(x_0, y_0)$. Подставив ее координаты $(X=x_0, Y=y_0)$ в уравнение касательной, получим условие на абсциссу точки касания $t$: $y_0 - t^2 = 2t(x_0 - t)$

Преобразуем это уравнение, чтобы получить квадратное уравнение относительно $t$: $y_0 - t^2 = 2tx_0 - 2t^2$ $t^2 - 2x_0t + y_0 = 0$

Количество различных действительных корней этого уравнения для $t$ определяет количество касательных $k$, которые можно провести из точки $M(x_0, y_0)$ к параболе. Это количество зависит от знака дискриминанта $D$ квадратного уравнения $at^2+bt+c=0$, где $a=1$, $b=-2x_0$, $c=y_0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2x_0)^2 - 4 \cdot 1 \cdot y_0 = 4x_0^2 - 4y_0 = 4(x_0^2 - y_0)$

Теперь мы можем проанализировать количество решений в зависимости от координат $(x_0, y_0)$ точки $M$. Для описания множеств $M_k$ будем использовать общие переменные $(x, y)$ для координат точки.

$M_0$

Множество $M_0$ состоит из точек, из которых нельзя провести ни одной касательной к параболе ($k=0$). Это соответствует случаю, когда квадратное уравнение для $t$ не имеет действительных корней, то есть его дискриминант отрицателен: $D < 0$. $4(x^2 - y) < 0 \implies x^2 - y < 0 \implies y > x^2$. Геометрически это область, расположенная строго выше параболы $y = x^2$ (внутренняя область параболы).

Ответ: $M_0 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y > x^2 \}$.

$M_1$

Множество $M_1$ состоит из точек, из которых можно провести ровно одну касательную ($k=1$). Это соответствует случаю, когда квадратное уравнение для $t$ имеет ровно один действительный корень (корень кратности 2), то есть его дискриминант равен нулю: $D = 0$. $4(x^2 - y) = 0 \implies x^2 - y = 0 \implies y = x^2$. Это в точности точки, лежащие на самой параболе.

Ответ: $M_1 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y = x^2 \}$.

$M_2$

Множество $M_2$ состоит из точек, из которых можно провести ровно две касательные ($k=2$). Это соответствует случаю, когда квадратное уравнение для $t$ имеет два различных действительных корня, то есть его дискриминант положителен: $D > 0$. $4(x^2 - y) > 0 \implies x^2 - y > 0 \implies y < x^2$. Геометрически это область, расположенная строго ниже параболы $y = x^2$ (внешняя область параболы).

Ответ: $M_2 = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y < x^2 \}$.

$M_k$ для $k \ge 3$

Как было показано, количество касательных из точки $M(x, y)$ к параболе равно количеству действительных корней квадратного уравнения $t^2 - 2xt + y = 0$. Любое квадратное уравнение может иметь не более двух действительных корней. Следовательно, невозможно провести три или более касательных к параболе из одной точки.

Таким образом, для любого целого числа $k \ge 3$, множество $M_k$ является пустым.

Ответ: $M_k = \emptyset$ для $k \ge 3$.