Номер 246, страница 341 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 246, страница 341.

Условие.

246. Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе $xy = a^2$ и осями координат, имеет постоянную площадь, равную $2a^2$, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Решение 5.

Доказательство, что площадь треугольника постоянна и равна $2a^2$

Пусть дана гипербола, заданная уравнением $xy = a^2$. Выберем на ней произвольную точку касания $M_0(x_0, y_0)$. Координаты этой точки удовлетворяют уравнению гиперболы: $x_0 y_0 = a^2$.

Найдем уравнение касательной к гиперболе в точке $M_0$. Для этого представим уравнение гиперболы в виде явной функции $y(x) = \frac{a^2}{x}$.

Производная этой функции определяет угловой коэффициент касательной: $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{a^2}{x}\right) = -\frac{a^2}{x^2}$.

В точке касания $M_0(x_0, y_0)$ угловой коэффициент $k$ равен: $k = y'(x_0) = -\frac{a^2}{x_0^2}$. Используя то, что $a^2 = x_0 y_0$, получаем: $k = -\frac{x_0 y_0}{x_0^2} = -\frac{y_0}{x_0}$.

Уравнение касательной, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $k$, имеет вид: $y - y_0 = k(x - x_0)$ $y - y_0 = -\frac{y_0}{x_0}(x - x_0)$.

Преобразуем это уравнение. Умножим обе части на $x_0$: $x_0(y - y_0) = -y_0(x - x_0)$ $x_0 y - x_0 y_0 = -y_0 x + y_0 x_0$ $y_0 x + x_0 y = 2x_0 y_0$.

Так как $x_0 y_0 = a^2$, получаем окончательное уравнение касательной: $y_0 x + x_0 y = 2a^2$.

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат, чтобы определить вершины треугольника.

При пересечении с осью $Ox$, координата $y=0$. Подставляя в уравнение касательной, получаем: $y_0 x + x_0 \cdot 0 = 2a^2 \implies y_0 x = 2a^2 \implies x = \frac{2a^2}{y_0}$. Поскольку $y_0 = a^2/x_0$, то $x = \frac{2a^2}{a^2/x_0} = 2x_0$. Следовательно, точка пересечения с осью $Ox$ — это точка $A(2x_0, 0)$.

При пересечении с осью $Oy$, координата $x=0$. Подставляя в уравнение касательной, получаем: $y_0 \cdot 0 + x_0 y = 2a^2 \implies x_0 y = 2a^2 \implies y = \frac{2a^2}{x_0}$. Следовательно, точка пересечения с осью $Oy$ — это точка $B(0, 2y_0)$.

Треугольник, образованный касательной и осями координат, является прямоугольным треугольником $OAB$ с вершинами в точках $O(0, 0)$, $A(2x_0, 0)$ и $B(0, 2y_0)$.

Длины его катетов равны $OA = |2x_0|$ и $OB = |2y_0|$.

Площадь $S$ этого треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} |2x_0| \cdot |2y_0| = 2|x_0 y_0|$.

Так как точка $(x_0, y_0)$ лежит на гиперболе $xy=a^2$, то $x_0 y_0 = a^2$. Таким образом, площадь равна: $S = 2|a^2| = 2a^2$ (поскольку $a^2 \ge 0$).

Площадь $S = 2a^2$ является константой, так как она зависит только от параметра $a$ гиперболы и не зависит от выбора точки касания $(x_0, y_0)$. Первая часть утверждения доказана.

Ответ: Площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе $xy = a^2$ и осями координат, постоянна и равна $2a^2$.

Доказательство, что точка касания является центром описанной окружности

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OAB$ с вершинами в начале координат $O(0, 0)$ и в точках пересечения касательной с осями $A(2x_0, 0)$ и $B(0, 2y_0)$.

Центр окружности, описанной около любого прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. В данном случае гипотенузой является отрезок $AB$.

Найдем координаты середины гипотенузы $AB$. Обозначим эту точку как $C(x_C, y_C)$: $x_C = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{2x_0 + 0}{2} = x_0$ $y_C = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{0 + 2y_0}{2} = y_0$

Таким образом, центр описанной окружности имеет координаты $C(x_0, y_0)$. Эти координаты в точности совпадают с координатами точки касания $M_0(x_0, y_0)$.

Следовательно, точка касания и есть центр окружности, описанной около треугольника, образованного касательной и осями координат. Вторая часть утверждения доказана.

Ответ: Точка касания к гиперболе $xy=a^2$ является центром окружности, описанной около треугольника, образованного этой касательной и осями координат.