Номер 240, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 240, страница 340.

Условие.

240. Колесо радиуса $R$ катится по прямой. Угол $\phi$ поворота колеса за $t$ секунд определяется уравнением $\phi = t + \frac{t^2}{2}$. Найдите скорость и ускорение движения центра колеса.

Решение 5.

Расстояние $s$, пройденное центром колеса радиуса $R$ при его качении по прямой без проскальзывания, связано с углом поворота $\varphi$ (в радианах) соотношением $s = R \cdot \varphi$.

По условию, угол поворота колеса зависит от времени $t$ следующим образом:

$\varphi(t) = t + \frac{t^2}{2}$

Тогда закон движения для центра колеса будет:

$s(t) = R \cdot \varphi(t) = R \left(t + \frac{t^2}{2}\right) = Rt + \frac{Rt^2}{2}$

Для нахождения скорости и ускорения необходимо найти первую и вторую производные от функции $s(t)$ по времени $t$.

Скорость движения центра колеса

Скорость $v$ — это первая производная от расстояния $s$ по времени $t$:

$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}\left(Rt + \frac{Rt^2}{2}\right)$

$v(t) = R \cdot \frac{d}{dt}(t) + \frac{R}{2} \cdot \frac{d}{dt}(t^2) = R \cdot 1 + \frac{R}{2} \cdot 2t = R + Rt$

Таким образом, скорость движения центра колеса равна:

$v(t) = R(1+t)$

Ответ: $v = R(1+t)$.

Ускорение движения центра колеса

Ускорение $a$ — это первая производная от скорости $v$ по времени $t$:

$a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}\left(R(1+t)\right) = \frac{d}{dt}(R+Rt)$

$a(t) = \frac{d}{dt}(R) + \frac{d}{dt}(Rt) = 0 + R = R$

Таким образом, ускорение центра колеса является постоянной величиной.

Ответ: $a = R$.