Номер 236, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 236, страница 340.

Условие.

236. Решите уравнение:

a) $ln x = 1 - x$;

б) $2^x = 3 - x$.

Решение 5.

а)

Дано уравнение $ \ln x = 1 - x $.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием $ x > 0 $, так как аргумент натурального логарифма должен быть строго положительным.

Данное уравнение является трансцендентным. Для его решения рассмотрим две функции, соответствующие левой и правой частям: $ f(x) = \ln x $ и $ g(x) = 1 - x $.

Проанализируем монотонность этих функций на ОДЗ ($ x > 0 $).

Функция $ f(x) = \ln x $ является строго возрастающей на всей своей области определения, так как ее производная $ f'(x) = \frac{1}{x} $, и при $ x > 0 $ значение производной всегда положительно ($ f'(x) > 0 $).

Функция $ g(x) = 1 - x $ является линейной и строго убывающей на всей числовой оси, так как ее производная $ g'(x) = -1 $ всегда отрицательна.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, их графики могут пересечься не более чем в одной точке. Это означает, что уравнение имеет не более одного решения.

Найдем корень уравнения методом подбора. Проверим значение $ x = 1 $:

Подстановка в левую часть: $ \ln(1) = 0 $.

Подстановка в правую часть: $ 1 - 1 = 0 $.

Поскольку левая и правая части уравнения равны ($ 0 = 0 $), $ x = 1 $ является корнем. Так как мы установили, что решение единственно, это и есть ответ.

Ответ: $1$

б)

Дано уравнение $ 2^x = 3 - x $.

Это также трансцендентное уравнение, которое решается анализом свойств функций.

Рассмотрим две функции: $ f(x) = 2^x $ и $ g(x) = 3 - x $.

Исследуем их на монотонность. Область определения обеих функций — все действительные числа.

Функция $ f(x) = 2^x $ (показательная функция с основанием $ 2 > 1 $) является строго возрастающей на всей числовой прямой. Ее производная $ f'(x) = 2^x \ln 2 $ всегда положительна.

Функция $ g(x) = 3 - x $ (линейная функция) является строго убывающей на всей числовой прямой, так как ее угловой коэффициент равен $ -1 $ (отрицательное число).

Так как возрастающая функция может пересечь убывающую функцию не более одного раза, данное уравнение имеет не более одного корня.

Найдем корень методом подбора. Проверим целые значения $ x $. Пусть $ x = 1 $:

Подстановка в левую часть: $ 2^1 = 2 $.

Подстановка в правую часть: $ 3 - 1 = 2 $.

Поскольку $ 2 = 2 $, значение $ x = 1 $ является корнем уравнения. Учитывая, что корень единственный, это и есть окончательное решение.

Ответ: $1$