Номер 235, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 235, страница 340.

Условие.

235. Докажите неравенство:

а) $e^x > 1 + x$ при $x > 0;$

б) $\ln (1 + x) < x$ при $x > 0.$

Решение 3.

Решение 5.

а) Для доказательства неравенства $e^x > 1 + x$ при $x > 0$ введем в рассмотрение функцию $f(x) = e^x - (1 + x)$. Наша задача — доказать, что $f(x) > 0$ при $x > 0$.

Найдем производную этой функции: $f'(x) = (e^x - 1 - x)' = e^x - 1$. Поскольку по условию $x > 0$, то $e^x > e^0 = 1$. Это означает, что производная $f'(x) = e^x - 1$ строго положительна на всем интервале $(0, +\infty)$.

Так как $f'(x) > 0$ при $x > 0$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом интервале. Теперь найдем значение функции на границе интервала, в точке $x = 0$: $f(0) = e^0 - (1 + 0) = 1 - 1 = 0$.

Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает при $x > 0$ и ее значение в точке $x = 0$ равно нулю, то для любого $x > 0$ значение функции будет больше, чем $f(0)$. То есть, $f(x) > f(0)$, что равносильно $e^x - 1 - x > 0$. Отсюда следует, что $e^x > 1 + x$.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Для доказательства неравенства $\ln(1 + x) < x$ при $x > 0$ рассмотрим функцию $g(x) = x - \ln(1 + x)$. Требуется доказать, что $g(x) > 0$ при $x > 0$.

Найдем производную функции $g(x)$: $g'(x) = (x - \ln(1 + x))' = 1 - \frac{1}{1+x}$. Приводя к общему знаменателю, получаем $g'(x) = \frac{1+x-1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$.

При $x > 0$ числитель $x$ положителен, и знаменатель $1+x$ также положителен. Следовательно, производная $g'(x) > 0$ на всем интервале $(0, +\infty)$. Это означает, что функция $g(x)$ строго возрастает на данном интервале.

Найдем значение функции в точке $x = 0$: $g(0) = 0 - \ln(1 + 0) = 0 - \ln(1) = 0$. Так как функция $g(x)$ строго возрастает при $x > 0$ и $g(0) = 0$, то для любого $x > 0$ будет выполняться $g(x) > g(0)$. Это означает, что $x - \ln(1 + x) > 0$, откуда следует $x > \ln(1 + x)$.

Ответ: Неравенство доказано.