Номер 235, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 235, страница 340.
№235 (с. 340)
Условие. №235 (с. 340)
скриншот условия

235. Докажите неравенство:
а) $e^x > 1 + x$ при $x > 0;$
б) $\ln (1 + x) < x$ при $x > 0.$
Решение 3. №235 (с. 340)

Решение 5. №235 (с. 340)
а) Для доказательства неравенства $e^x > 1 + x$ при $x > 0$ введем в рассмотрение функцию $f(x) = e^x - (1 + x)$. Наша задача — доказать, что $f(x) > 0$ при $x > 0$.
Найдем производную этой функции: $f'(x) = (e^x - 1 - x)' = e^x - 1$. Поскольку по условию $x > 0$, то $e^x > e^0 = 1$. Это означает, что производная $f'(x) = e^x - 1$ строго положительна на всем интервале $(0, +\infty)$.
Так как $f'(x) > 0$ при $x > 0$, функция $f(x)$ является строго возрастающей на этом интервале. Теперь найдем значение функции на границе интервала, в точке $x = 0$: $f(0) = e^0 - (1 + 0) = 1 - 1 = 0$.
Поскольку функция $f(x)$ строго возрастает при $x > 0$ и ее значение в точке $x = 0$ равно нулю, то для любого $x > 0$ значение функции будет больше, чем $f(0)$. То есть, $f(x) > f(0)$, что равносильно $e^x - 1 - x > 0$. Отсюда следует, что $e^x > 1 + x$.
Ответ: Неравенство доказано.
б) Для доказательства неравенства $\ln(1 + x) < x$ при $x > 0$ рассмотрим функцию $g(x) = x - \ln(1 + x)$. Требуется доказать, что $g(x) > 0$ при $x > 0$.
Найдем производную функции $g(x)$: $g'(x) = (x - \ln(1 + x))' = 1 - \frac{1}{1+x}$. Приводя к общему знаменателю, получаем $g'(x) = \frac{1+x-1}{1+x} = \frac{x}{1+x}$.
При $x > 0$ числитель $x$ положителен, и знаменатель $1+x$ также положителен. Следовательно, производная $g'(x) > 0$ на всем интервале $(0, +\infty)$. Это означает, что функция $g(x)$ строго возрастает на данном интервале.
Найдем значение функции в точке $x = 0$: $g(0) = 0 - \ln(1 + 0) = 0 - \ln(1) = 0$. Так как функция $g(x)$ строго возрастает при $x > 0$ и $g(0) = 0$, то для любого $x > 0$ будет выполняться $g(x) > g(0)$. Это означает, что $x - \ln(1 + x) > 0$, откуда следует $x > \ln(1 + x)$.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 235 расположенного на странице 340 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №235 (с. 340), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.