Номер 233, страница 340 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 233, страница 340.

Условие.

233. Что больше:

а) $3^{\sqrt{2}}$ или $2^{\sqrt{3}}$;

б) $(\frac{1}{1987})^{\frac{1}{1987}}$ или $(\frac{1}{1988})^{\frac{1}{1988}}$?

Решение 3.

Решение 5.

а) Чтобы сравнить числа $3^{\sqrt{2}}$ и $2^{\sqrt{3}}$, возведем оба числа в положительную степень $\sqrt{6} = \sqrt{2}\sqrt{3}$. Поскольку степень положительна, знак неравенства между результатами будет таким же, как и между исходными числами.
Первое число: $(3^{\sqrt{2}})^{\sqrt{6}} = 3^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = 3^{\sqrt{12}} = 3^{2\sqrt{3}} = (3^2)^{\sqrt{3}} = 9^{\sqrt{3}}$.
Второе число: $(2^{\sqrt{3}})^{\sqrt{6}} = 2^{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = 2^{\sqrt{18}} = 2^{3\sqrt{2}} = (2^3)^{\sqrt{2}} = 8^{\sqrt{2}}$.
Теперь сравним $9^{\sqrt{3}}$ и $8^{\sqrt{2}}$.
Мы знаем, что $9 > 8$ и $\sqrt{3} > \sqrt{2}$. Так как основание $9$ больше основания $8$, а показатель $\sqrt{3}$ больше показателя $\sqrt{2}$, то первое число очевидно больше второго. Более строго: $9^{\sqrt{3}} > 8^{\sqrt{3}}$ (так как функция $y=x^a$ при $a > 0$ возрастающая), и $8^{\sqrt{3}} > 8^{\sqrt{2}}$ (так как функция $y=c^x$ при $c > 1$ возрастающая). Таким образом, $9^{\sqrt{3}} > 8^{\sqrt{2}}$.
Следовательно, и исходное число $3^{\sqrt{2}}$ больше, чем $2^{\sqrt{3}}$.
Ответ: $3^{\sqrt{2}} > 2^{\sqrt{3}}$.

б) Чтобы сравнить числа $(\frac{1}{1987})^{\frac{1}{1987}}$ и $(\frac{1}{1988})^{\frac{1}{1988}}$, рассмотрим функцию $f(x) = (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}}$ при $x > 0$. Нам нужно сравнить $f(1987)$ и $f(1988)$.
Исследуем эту функцию на монотонность. Упростим вид функции: $f(x) = (x^{-1})^{\frac{1}{x}} = x^{-1/x}$.
Для нахождения производной удобно сначала прологарифмировать функцию: $\ln(f(x)) = \ln(x^{-1/x}) = -\frac{1}{x} \ln x$.
Теперь продифференцируем обе части по $x$, используя правило дифференцирования произведения:
$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx} \left(-\frac{\ln x}{x}\right) = - \frac{(\frac{1}{x}) \cdot x - (\ln x) \cdot 1}{x^2} = - \frac{1 - \ln x}{x^2} = \frac{\ln x - 1}{x^2}$.
Отсюда производная $f'(x) = f(x) \cdot \frac{\ln x - 1}{x^2}$.
Поскольку $f(x) = (\frac{1}{x})^{\frac{1}{x}} > 0$ и $x^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, знак производной $f'(x)$ совпадает со знаком выражения $(\ln x - 1)$.
Определим, где функция возрастает: $f'(x) > 0 \iff \ln x - 1 > 0 \iff \ln x > 1 \iff x > e$. Значит, на интервале $(e, +\infty)$ функция $f(x)$ является возрастающей.
Нам нужно сравнить $f(1987)$ и $f(1988)$. Основание натурального логарифма $e \approx 2.718$.
Поскольку $1988 > 1987 > e$, оба числа находятся на промежутке возрастания функции $f(x)$.
Из того, что $1988 > 1987$ и функция $f(x)$ возрастает на данном промежутке, следует, что $f(1988) > f(1987)$.
Следовательно, $(\frac{1}{1988})^{\frac{1}{1988}} > (\frac{1}{1987})^{\frac{1}{1987}}$.
Ответ: $(\frac{1}{1987})^{\frac{1}{1987}} < (\frac{1}{1988})^{\frac{1}{1988}}$.