Номер 226, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 4. Начала математического анализа - номер 226, страница 339.

Условие.

226. Докажите, что каждое свое значение многочлен степени $n$ принимает не более чем $n$ раз.

Решение 5.

Пусть дан многочлен степени $n$: $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где коэффициент при старшей степени $a_n \neq 0$.

Нам нужно доказать, что для любого числа $c$ уравнение $P_n(x) = c$ имеет не более $n$ решений. Количество решений этого уравнения — это количество раз, которое многочлен принимает значение $c$.

Рассмотрим уравнение $P_n(x) = c$. Перенесем $c$ в левую часть: $P_n(x) - c = 0$

Введем новый многочлен $Q(x) = P_n(x) - c$. $Q(x) = (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0) - c = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + (a_0 - c)$.

Степень многочлена $Q(x)$ определяется старшим членом. Так как вычитание константы $c$ не меняет коэффициент $a_n$ при $x^n$, а мы знаем, что $a_n \neq 0$, то степень многочлена $Q(x)$ также равна $n$.

Теперь задача сводится к нахождению максимального количества корней уравнения $Q(x) = 0$.

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней (с учетом их кратности). Следствием этой теоремы является то, что многочлен степени $n$ имеет не более $n$ различных корней.

Поскольку многочлен $Q(x)$ имеет степень $n$, уравнение $Q(x) = 0$ имеет не более $n$ различных корней.

Так как корни уравнения $Q(x) = 0$ — это в точности те значения $x$, для которых $P_n(x) = c$, то и исходное уравнение $P_n(x) = c$ имеет не более $n$ решений. Поскольку $c$ — произвольное число, это означает, что многочлен степени $n$ принимает каждое свое значение не более чем в $n$ точках (то есть не более чем $n$ раз). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение $P_n(x) = c$, где $P_n(x)$ - многочлен степени $n$, а $c$ - константа, эквивалентно уравнению $P_n(x) - c = 0$. Это уравнение с многочленом степени $n$, который может иметь не более $n$ различных корней. Следовательно, многочлен степени $n$ принимает каждое свое значение не более чем $n$ раз.