Номер 225, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 225, страница 339.

Условие.

225. Докажите, что многочлен степени $n$ имеет не более чем $n$ корней и не более чем $(n-1)$ точек экстремума.

Решение 5.

Доказательство, что многочлен степени n имеет не более чем n корней

Рассмотрим многочлен степени $n$: $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где коэффициент при старшей степени $a_n \neq 0$.

Доказательство будем проводить методом от противного, опираясь на теорему Безу и ее следствия. Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена $P_n(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен $P_n(c)$. Важным следствием является то, что если $c$ — корень многочлена (то есть $P_n(c) = 0$), то многочлен $P_n(x)$ делится на $(x - c)$ без остатка.

Предположим, что многочлен $P_n(x)$ имеет более чем $n$ различных корней. Обозначим их $c_1, c_2, \dots, c_n, c_{n+1}$.

Поскольку $c_1$ является корнем, мы можем записать: $P_n(x) = (x - c_1)Q_{n-1}(x)$, где $Q_{n-1}(x)$ — некоторый многочлен степени $n-1$.

Так как $c_2$ также является корнем, то $P_n(c_2) = (c_2 - c_1)Q_{n-1}(c_2) = 0$. Поскольку корни различны, $c_2 - c_1 \neq 0$, следовательно, $Q_{n-1}(c_2) = 0$. Это означает, что $c_2$ является корнем многочлена $Q_{n-1}(x)$. Тогда $Q_{n-1}(x)$ можно представить в виде $Q_{n-1}(x) = (x - c_2)Q_{n-2}(x)$, где $Q_{n-2}(x)$ — многочлен степени $n-2$.

Продолжая эту процедуру для всех $n$ различных корней $c_1, c_2, \dots, c_n$, мы получим: $P_n(x) = (x - c_1)(x - c_2)\cdots(x - c_n)Q_0(x)$

Здесь $Q_0(x)$ — многочлен степени $n - n = 0$, то есть это константа. Сравнивая коэффициенты при $x^n$ в левой и правой частях, находим, что эта константа равна старшему коэффициенту $a_n$. Так как степень многочлена $P_n(x)$ равна $n$, то $a_n \neq 0$. Таким образом, мы получили тождество: $P_n(x) = a_n(x - c_1)(x - c_2)\cdots(x - c_n)$

Теперь воспользуемся нашим предположением о существовании $(n+1)$-го корня $c_{n+1}$. По определению корня, $P_n(c_{n+1}) = 0$. Подставим $x = c_{n+1}$ в полученное тождество: $a_n(c_{n+1} - c_1)(c_{n+1} - c_2)\cdots(c_{n+1} - c_n) = 0$

В этом произведении первый множитель $a_n \neq 0$. Все остальные множители $(c_{n+1} - c_i)$ также не равны нулю, так как по предположению все корни $c_1, \dots, c_{n+1}$ различны. Произведение ненулевых чисел не может быть равно нулю. Мы получили противоречие.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и многочлен степени $n$ не может иметь более $n$ различных корней. Данное утверждение справедливо и для корней с учетом их кратности: сумма кратностей всех корней многочлена степени $n$ равна $n$ (согласно основной теореме алгебры), что также означает, что число корней не может быть больше $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Многочлен степени $n$ имеет не более $n$ корней.

Доказательство, что многочлен степени n имеет не более чем (n - 1) точек экстремума

Рассмотрим тот же многочлен степени $n \ge 1$: $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $a_n \neq 0$.

Точки экстремума (локальные максимумы и минимумы) функции — это точки, в которых ее производная меняет знак. Для дифференцируемой функции, какой является многочлен, необходимым условием существования экстремума в точке является равенство нулю ее производной в этой точке.

Найдем производную многочлена $P_n(x)$: $P_n'(x) = \frac{d}{dx}P_n(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1$

Производная $P_n'(x)$ сама является многочленом. Поскольку по условию $n \ge 1$ и $a_n \neq 0$, коэффициент при старшей степени $n a_n$ не равен нулю. Следовательно, степень многочлена $P_n'(x)$ равна $n-1$.

Точки, в которых может достигаться экстремум, являются корнями уравнения $P_n'(x) = 0$. Как было доказано в первой части, многочлен степени $k$ имеет не более $k$ корней.

Поскольку $P_n'(x)$ — это многочлен степени $n-1$, он имеет не более $n-1$ корней. Так как точки экстремума могут находиться только среди корней производной, их количество не может превышать $n-1$.

Это можно также проиллюстрировать с помощью теоремы Ролля. Между любыми двумя действительными корнями многочлена $P_n(x)$ находится как минимум один корень его производной $P_n'(x)$, то есть как минимум одна точка, где касательная к графику горизонтальна (потенциальная точка экстремума). Если бы у многочлена $P_n(x)$ было $k$ точек экстремума, то его производная $P_n'(x)$ имела бы как минимум $k$ корней. Но поскольку степень $P_n'(x)$ равна $n-1$, число ее корней не может быть больше $n-1$. Следовательно, $k \le n-1$.

Ответ: Утверждение доказано. Многочлен степени $n$ имеет не более $(n-1)$ точек экстремума.