Номер 227, страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 4. Начала математического анализа. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 227, страница 339.

Условие.

227. Пусть $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ – дробно-рациональная функция ($n$ – степень $P(x)$, $m$ – степень $Q(x)$). Докажите, что:

а) $R(x)$ каждое свое значение принимает не более чем при $k = \max (m, n)$ значениях $x$;

б) $R(x)$ имеет не более чем $(m + n - 1)$ точек экстремума, если $m \neq n$, и не более чем $(m + n - 2)$ точек экстремума, если $m = n$.

Решение 5.

а) Чтобы найти, при скольких значениях $x$ функция $R(x)$ принимает некоторое значение $c$, нужно решить уравнение $R(x) = c$.

Запишем это уравнение: $$ \frac{P(x)}{Q(x)} = c $$ При условии, что $Q(x) \neq 0$, это уравнение эквивалентно следующему: $$ P(x) = c \cdot Q(x) $$ $$ P(x) - c \cdot Q(x) = 0 $$ Рассмотрим многочлен $H(x) = P(x) - c \cdot Q(x)$. Количество решений уравнения — это количество корней многочлена $H(x)$. По основной теореме алгебры, число корней многочлена не превышает его степени.

Найдем степень многочлена $H(x)$. Степень $P(x)$ равна $n$. Степень $Q(x)$ равна $m$. Степень $c \cdot Q(x)$ также равна $m$ (если $c \neq 0$).

1. Если $n \neq m$, то степень многочлена $H(x)$, равного разности $P(x)$ и $c \cdot Q(x)$, будет равна максимальной из их степеней. $$ \text{deg}(H(x)) = \max(n, m) $$ Следовательно, уравнение имеет не более $\max(n, m)$ решений.

2. Если $n = m$, то степени $P(x)$ и $c \cdot Q(x)$ равны. Пусть $P(x) = a_n x^n + \dots$ и $Q(x) = b_n x^n + \dots$, где $a_n$ и $b_n$ — старшие коэффициенты. Тогда старший член многочлена $H(x)$ будет $(a_n - c \cdot b_n)x^n$. - Если $c \neq \frac{a_n}{b_n}$, то коэффициент при старшем члене не равен нулю, и степень $H(x)$ равна $n$. В этом случае число решений не более $n = \max(n, m)$. - Если $c = \frac{a_n}{b_n}$, то коэффициент при $x^n$ равен нулю, и степень $H(x)$ становится меньше $n$. В этом случае число решений будет меньше $n$, что также не превышает $\max(n, m)$.

3. Если $c=0$, уравнение принимает вид $P(x)=0$. Степень $P(x)$ равна $n$, и оно имеет не более $n$ корней, что не превышает $\max(n, m)$.

Таким образом, во всех случаях количество значений $x$, при которых $R(x)$ принимает одно и то же значение, не превышает $k = \max(m, n)$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Точки экстремума функции $R(x)$ находятся среди корней ее производной $R'(x) = 0$. Найдем производную дроби по правилу дифференцирования частного: $$ R'(x) = \left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)' = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{[Q(x)]^2} $$ Для нахождения точек экстремума нужно приравнять производную к нулю. Это эквивалентно решению уравнения, в котором числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю): $$ P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x) = 0 $$ Количество точек экстремума не превышает числа корней этого уравнения. Рассмотрим многочлен $S(x) = P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)$ и найдем его степень.

Степени многочленов и их производных: - $\text{deg}(P(x)) = n \Rightarrow \text{deg}(P'(x)) = n-1$ (при $n \ge 1$) - $\text{deg}(Q(x)) = m \Rightarrow \text{deg}(Q'(x)) = m-1$ (при $m \ge 1$)

Определим степени слагаемых в $S(x)$: - $\text{deg}(P'(x)Q(x)) = \text{deg}(P') + \text{deg}(Q) = (n-1) + m = n+m-1$ - $\text{deg}(P(x)Q'(x)) = \text{deg}(P) + \text{deg}(Q') = n + (m-1) = n+m-1$

Оба слагаемых имеют одинаковую степень $n+m-1$. Степень их разности $S(x)$ зависит от того, сокращаются ли старшие члены.

Пусть $P(x) = a_n x^n + \dots$ и $Q(x) = b_m x^m + \dots$ Тогда $P'(x) = n a_n x^{n-1} + \dots$ и $Q'(x) = m b_m x^{m-1} + \dots$

Старший член $P'(x)Q(x)$ равен $(n a_n x^{n-1})(b_m x^m) = n a_n b_m x^{n+m-1}$. Старший член $P(x)Q'(x)$ равен $(a_n x^n)(m b_m x^{m-1}) = m a_n b_m x^{n+m-1}$.

Коэффициент при старшем члене $x^{n+m-1}$ в многочлене $S(x)$ равен: $$ n a_n b_m - m a_n b_m = a_n b_m (n-m) $$

1. Если $m \neq n$: Тогда множитель $(n-m) \neq 0$. Поскольку $a_n \neq 0$ и $b_m \neq 0$, старший коэффициент $a_n b_m (n-m)$ не равен нулю. Старшие члены не сокращаются, и степень многочлена $S(x)$ равна $n+m-1$. Следовательно, уравнение $S(x)=0$ имеет не более $n+m-1$ корней, а значит, функция $R(x)$ имеет не более $(m+n-1)$ точек экстремума.

2. Если $m = n$: Тогда множитель $(n-m) = 0$. Старший коэффициент равен нулю, и старшие члены сокращаются. Это означает, что степень многочлена $S(x)$ строго меньше, чем $n+m-1$. В этом случае $\text{deg}(S(x)) \le n+m-2$ (или $2n-2$, так как $m=n$). При более детальном рассмотрении коэффициентов при члене $x^{n+m-2}$ можно показать, что в общем случае они не равны нулю. Следовательно, степень многочлена $S(x)$ не превышает $n+m-2$. Таким образом, число корней уравнения $S(x)=0$ не превышает $m+n-2$, и функция $R(x)$ имеет не более $(m+n-2)$ точек экстремума.

Ответ: Таким образом, количество точек экстремума функции $R(x)$ не превышает $m + n - 1$ при $m \neq n$ и не превышает $m + n - 2$ при $m = n$.