Страница 339 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

222. Докажите, что данное уравнение имеет единственный корень:

a) $\cos x = \frac{\pi}{2} - x;$

б) $\sin x = -x - \pi.$

а) Для доказательства единственности корня уравнения $ \cos x = \frac{\pi}{2} - x $ рассмотрим функцию $ f(x) = \cos x + x - \frac{\pi}{2} $. Корни исходного уравнения являются нулями этой функции. Нам нужно доказать, что функция $ f(x) $ имеет ровно один ноль.

Для этого исследуем функцию на монотонность с помощью производной: $ f'(x) = (\cos x + x - \frac{\pi}{2})' = -\sin x + 1 $.

Мы знаем, что значение функции $ \sin x $ находится в пределах от -1 до 1, то есть $ -1 \le \sin x \le 1 $. Следовательно, производная $ f'(x) = 1 - \sin x $ всегда неотрицательна: $ f'(x) \ge 1 - 1 = 0 $ для всех $ x \in \mathbb{R} $.

Производная обращается в ноль только в тех точках, где $ \sin x = 1 $, то есть при $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k $ - целое число. Это изолированные точки. Поскольку производная $ f'(x) \ge 0 $ и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $ f(x) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может пересекать ось абсцисс (то есть иметь корень) не более одного раза. Теперь нам нужно показать, что корень действительно существует. Проверим, является ли $ x = \frac{\pi}{2} $ корнем исходного уравнения путем подстановки:

Левая часть: $ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 $.
Правая часть: $ \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = 0 $.

Поскольку левая и правая части равны, $ x = \frac{\pi}{2} $ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что функция $ f(x) $ строго возрастает (и, следовательно, может иметь не более одного корня) и нашли один корень, то этот корень является единственным.

Ответ: Доказано, что уравнение имеет единственный корень.

б) Для доказательства единственности корня уравнения $ \sin x = -x - \pi $ рассмотрим функцию $ g(x) = \sin x + x + \pi $. Корни исходного уравнения являются нулями этой функции. Нам нужно доказать, что функция $ g(x) $ имеет ровно один ноль.

Исследуем функцию на монотонность с помощью производной: $ g'(x) = (\sin x + x + \pi)' = \cos x + 1 $.

Мы знаем, что значение функции $ \cos x $ находится в пределах от -1 до 1, то есть $ -1 \le \cos x \le 1 $. Следовательно, производная $ g'(x) = 1 + \cos x $ всегда неотрицательна: $ g'(x) \ge 1 - 1 = 0 $ для всех $ x \in \mathbb{R} $.

Производная обращается в ноль только в тех точках, где $ \cos x = -1 $, то есть при $ x = \pi + 2\pi k $, где $ k $ - целое число. Это изолированные точки. Поскольку производная $ g'(x) \ge 0 $ и равна нулю лишь в отдельных точках, функция $ g(x) $ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Строго возрастающая функция может иметь не более одного корня. Теперь покажем, что корень существует. Проверим, является ли $ x = -\pi $ корнем исходного уравнения путем подстановки:

Левая часть: $ \sin(-\pi) = 0 $.
Правая часть: $ -(-\pi) - \pi = \pi - \pi = 0 $.

Поскольку левая и правая части равны, $ x = -\pi $ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что функция $ g(x) $ строго возрастает (и, следовательно, может иметь не более одного корня) и нашли один корень, то этот корень является единственным.

Ответ: Доказано, что уравнение имеет единственный корень.

223. Решите неравенство:

a) $2 + \sin x > -\frac{1}{1+x^2}$;

б) $2 - \cos x > \frac{1}{1+x^2}$.

а) Рассмотрим неравенство $2 + \sin x > -\frac{1}{1+x^2}$.

Для решения этого неравенства оценим множества значений левой и правой частей.

1. Оценим левую часть: $f(x) = 2 + \sin x$.
Мы знаем, что область значений функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$ для любого действительного $x$.
Прибавив 2 ко всем частям этого двойного неравенства, получим:
$2 - 1 \le 2 + \sin x \le 2 + 1$
$1 \le 2 + \sin x \le 3$
Таким образом, наименьшее значение левой части неравенства равно 1.

2. Оценим правую часть: $g(x) = -\frac{1}{1+x^2}$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то знаменатель $1+x^2 \ge 1$.
Отсюда следует, что $0 < \frac{1}{1+x^2} \le 1$.
Умножив это неравенство на -1, мы изменим знаки неравенства на противоположные:
$-1 \le -\frac{1}{1+x^2} < 0$
Таким образом, правая часть неравенства всегда отрицательна (ее наибольшее значение стремится к 0, но не достигает его).

3. Сравним левую и правую части.
Мы получили, что для любого $x \in \mathbb{R}$ левая часть $2 + \sin x \ge 1$, а правая часть $-\frac{1}{1+x^2} < 0$.
Поскольку любое положительное число (или 1) всегда больше любого отрицательного числа, неравенство $2 + \sin x > -\frac{1}{1+x^2}$ выполняется для всех действительных значений $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Рассмотрим неравенство $2 - \cos x > \frac{1}{1+x^2}$.

Так же, как и в предыдущем пункте, оценим множества значений левой и правой частей.

1. Оценим левую часть: $f(x) = 2 - \cos x$.
Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$.
Умножим на -1: $-1 \le -\cos x \le 1$.
Прибавим 2: $2 - 1 \le 2 - \cos x \le 2 + 1$, что дает $1 \le 2 - \cos x \le 3$.
Наименьшее значение левой части равно 1 и достигается, когда $\cos x = 1$, то есть при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. Оценим правую часть: $g(x) = \frac{1}{1+x^2}$.
Так как $x^2 \ge 0$, то $1+x^2 \ge 1$.
Следовательно, $0 < \frac{1}{1+x^2} \le 1$.
Наибольшее значение правой части равно 1 и достигается, когда $x^2=0$, то есть при $x=0$.

3. Сравним левую и правую части.
Неравенство строгое ($>$). Оно может не выполняться только в том случае, если левая часть равна своему минимуму (1), а правая часть равна своему максимуму (1).
Левая часть равна 1 при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Правая часть равна 1 при $x = 0$.
Обе части одновременно равны 1 только при $x=0$ (когда $k=0$).
Подставим $x=0$ в исходное неравенство:
$2 - \cos(0) > \frac{1}{1+0^2}$
$2 - 1 > \frac{1}{1}$
$1 > 1$
Это неверно. Значит, $x=0$ не является решением.

Для любого другого значения $x \neq 0$:
Правая часть $\frac{1}{1+x^2} < 1$, так как $1+x^2 > 1$.
Левая часть $2 - \cos x \ge 1$.
Если $x \neq 2\pi k$ (для любого $k \in \mathbb{Z}$), то $\cos x < 1$, и левая часть $2 - \cos x > 1$. В этом случае неравенство $2 - \cos x > \frac{1}{1+x^2}$ выполняется, так как (число > 1) > (число < 1).
Если $x = 2\pi k$ для $k \in \mathbb{Z}, k \neq 0$, то левая часть равна $2 - \cos(2\pi k) = 2 - 1 = 1$. Правая часть равна $\frac{1}{1+(2\pi k)^2}$. Так как $k \neq 0$, то $(2\pi k)^2 > 0$, и $\frac{1}{1+(2\pi k)^2} < 1$. Неравенство $1 > \frac{1}{1+(2\pi k)^2}$ выполняется.
Таким образом, неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

224. Докажите, что любое кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ имеет хотя бы один действительный корень.

Для доказательства того, что любое кубическое уравнение $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ (где $a, b, c$ – действительные числа) имеет хотя бы один действительный корень, мы воспользуемся свойствами непрерывных функций.

Рассмотрим функцию $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$.

1. Непрерывность функции

Функция $f(x)$ является многочленом (полиномом) третьей степени. Все многочлены являются непрерывными функциями на всей числовой оси, то есть для любого действительного числа $x \in \mathbb{R}$.

2. Поведение функции на бесконечности

Теперь исследуем, как ведет себя функция $f(x)$ при очень больших по модулю значениях аргумента $x$. Для этого вынесем старший член $x^3$ за скобки:

$f(x) = x^3(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3})$

Рассмотрим пределы функции при $x$, стремящемся к плюс и минус бесконечности:

• При $x \to +\infty$:

  Выражения $\frac{a}{x}$, $\frac{b}{x^2}$ и $\frac{c}{x^3}$ стремятся к нулю. Следовательно, выражение в скобках стремится к 1.

  $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}) = (+\infty) \cdot 1 = +\infty$

  Это означает, что можно найти такое достаточно большое положительное число $x_1$, что значение функции в этой точке будет положительным, то есть $f(x_1) > 0$.

• При $x \to -\infty$:

  Аналогично, выражения $\frac{a}{x}$, $\frac{b}{x^2}$ и $\frac{c}{x^3}$ стремятся к нулю, и выражение в скобках стремится к 1.

  $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} x^3(1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}) = (-\infty) \cdot 1 = -\infty$

  Это означает, что можно найти такое достаточно большое по модулю отрицательное число $x_2$, что значение функции в этой точке будет отрицательным, то есть $f(x_2) < 0$.

3. Применение теоремы о промежуточном значении (теоремы Больцано-Коши)

Итак, мы имеем:

1. Функция $f(x)$ непрерывна на всей числовой прямой, а значит, и на отрезке $[x_2, x_1]$.
2. На концах этого отрезка функция принимает значения разных знаков: $f(x_2) < 0$ и $f(x_1) > 0$.

Согласно теореме о промежуточном значении, если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то существует по крайней мере одна точка внутри этого отрезка, в которой функция обращается в ноль. То есть, существует такое число $x_0 \in (x_2, x_1)$, что $f(x_0) = 0$.

Это число $x_0$ и является действительным корнем исходного кубического уравнения $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$.

Таким образом, мы доказали, что любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на теореме о промежуточном значении для непрерывных функций. Поскольку функция $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ является непрерывной и принимает как положительные (при $x \to +\infty$), так и отрицательные (при $x \to -\infty$) значения, она обязана пересечь ось абсцисс, то есть обратиться в ноль хотя бы в одной точке, которая и является действительным корнем уравнения.

225. Докажите, что многочлен степени $n$ имеет не более чем $n$ корней и не более чем $(n-1)$ точек экстремума.

Доказательство, что многочлен степени n имеет не более чем n корней

Рассмотрим многочлен степени $n$: $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где коэффициент при старшей степени $a_n \neq 0$.

Доказательство будем проводить методом от противного, опираясь на теорему Безу и ее следствия. Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена $P_n(x)$ на двучлен $(x - c)$ равен $P_n(c)$. Важным следствием является то, что если $c$ — корень многочлена (то есть $P_n(c) = 0$), то многочлен $P_n(x)$ делится на $(x - c)$ без остатка.

Предположим, что многочлен $P_n(x)$ имеет более чем $n$ различных корней. Обозначим их $c_1, c_2, \dots, c_n, c_{n+1}$.

Поскольку $c_1$ является корнем, мы можем записать: $P_n(x) = (x - c_1)Q_{n-1}(x)$, где $Q_{n-1}(x)$ — некоторый многочлен степени $n-1$.

Так как $c_2$ также является корнем, то $P_n(c_2) = (c_2 - c_1)Q_{n-1}(c_2) = 0$. Поскольку корни различны, $c_2 - c_1 \neq 0$, следовательно, $Q_{n-1}(c_2) = 0$. Это означает, что $c_2$ является корнем многочлена $Q_{n-1}(x)$. Тогда $Q_{n-1}(x)$ можно представить в виде $Q_{n-1}(x) = (x - c_2)Q_{n-2}(x)$, где $Q_{n-2}(x)$ — многочлен степени $n-2$.

Продолжая эту процедуру для всех $n$ различных корней $c_1, c_2, \dots, c_n$, мы получим: $P_n(x) = (x - c_1)(x - c_2)\cdots(x - c_n)Q_0(x)$

Здесь $Q_0(x)$ — многочлен степени $n - n = 0$, то есть это константа. Сравнивая коэффициенты при $x^n$ в левой и правой частях, находим, что эта константа равна старшему коэффициенту $a_n$. Так как степень многочлена $P_n(x)$ равна $n$, то $a_n \neq 0$. Таким образом, мы получили тождество: $P_n(x) = a_n(x - c_1)(x - c_2)\cdots(x - c_n)$

Теперь воспользуемся нашим предположением о существовании $(n+1)$-го корня $c_{n+1}$. По определению корня, $P_n(c_{n+1}) = 0$. Подставим $x = c_{n+1}$ в полученное тождество: $a_n(c_{n+1} - c_1)(c_{n+1} - c_2)\cdots(c_{n+1} - c_n) = 0$

В этом произведении первый множитель $a_n \neq 0$. Все остальные множители $(c_{n+1} - c_i)$ также не равны нулю, так как по предположению все корни $c_1, \dots, c_{n+1}$ различны. Произведение ненулевых чисел не может быть равно нулю. Мы получили противоречие.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным, и многочлен степени $n$ не может иметь более $n$ различных корней. Данное утверждение справедливо и для корней с учетом их кратности: сумма кратностей всех корней многочлена степени $n$ равна $n$ (согласно основной теореме алгебры), что также означает, что число корней не может быть больше $n$.

Ответ: Утверждение доказано. Многочлен степени $n$ имеет не более $n$ корней.

Доказательство, что многочлен степени n имеет не более чем (n - 1) точек экстремума

Рассмотрим тот же многочлен степени $n \ge 1$: $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где $a_n \neq 0$.

Точки экстремума (локальные максимумы и минимумы) функции — это точки, в которых ее производная меняет знак. Для дифференцируемой функции, какой является многочлен, необходимым условием существования экстремума в точке является равенство нулю ее производной в этой точке.

Найдем производную многочлена $P_n(x)$: $P_n'(x) = \frac{d}{dx}P_n(x) = n a_n x^{n-1} + (n-1) a_{n-1} x^{n-2} + \dots + a_1$

Производная $P_n'(x)$ сама является многочленом. Поскольку по условию $n \ge 1$ и $a_n \neq 0$, коэффициент при старшей степени $n a_n$ не равен нулю. Следовательно, степень многочлена $P_n'(x)$ равна $n-1$.

Точки, в которых может достигаться экстремум, являются корнями уравнения $P_n'(x) = 0$. Как было доказано в первой части, многочлен степени $k$ имеет не более $k$ корней.

Поскольку $P_n'(x)$ — это многочлен степени $n-1$, он имеет не более $n-1$ корней. Так как точки экстремума могут находиться только среди корней производной, их количество не может превышать $n-1$.

Это можно также проиллюстрировать с помощью теоремы Ролля. Между любыми двумя действительными корнями многочлена $P_n(x)$ находится как минимум один корень его производной $P_n'(x)$, то есть как минимум одна точка, где касательная к графику горизонтальна (потенциальная точка экстремума). Если бы у многочлена $P_n(x)$ было $k$ точек экстремума, то его производная $P_n'(x)$ имела бы как минимум $k$ корней. Но поскольку степень $P_n'(x)$ равна $n-1$, число ее корней не может быть больше $n-1$. Следовательно, $k \le n-1$.

Ответ: Утверждение доказано. Многочлен степени $n$ имеет не более $(n-1)$ точек экстремума.

226. Докажите, что каждое свое значение многочлен степени $n$ принимает не более чем $n$ раз.

Пусть дан многочлен степени $n$: $P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, где коэффициент при старшей степени $a_n \neq 0$.

Нам нужно доказать, что для любого числа $c$ уравнение $P_n(x) = c$ имеет не более $n$ решений. Количество решений этого уравнения — это количество раз, которое многочлен принимает значение $c$.

Рассмотрим уравнение $P_n(x) = c$. Перенесем $c$ в левую часть: $P_n(x) - c = 0$

Введем новый многочлен $Q(x) = P_n(x) - c$. $Q(x) = (a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0) - c = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + (a_0 - c)$.

Степень многочлена $Q(x)$ определяется старшим членом. Так как вычитание константы $c$ не меняет коэффициент $a_n$ при $x^n$, а мы знаем, что $a_n \neq 0$, то степень многочлена $Q(x)$ также равна $n$.

Теперь задача сводится к нахождению максимального количества корней уравнения $Q(x) = 0$.

Согласно основной теореме алгебры, любой многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней (с учетом их кратности). Следствием этой теоремы является то, что многочлен степени $n$ имеет не более $n$ различных корней.

Поскольку многочлен $Q(x)$ имеет степень $n$, уравнение $Q(x) = 0$ имеет не более $n$ различных корней.

Так как корни уравнения $Q(x) = 0$ — это в точности те значения $x$, для которых $P_n(x) = c$, то и исходное уравнение $P_n(x) = c$ имеет не более $n$ решений. Поскольку $c$ — произвольное число, это означает, что многочлен степени $n$ принимает каждое свое значение не более чем в $n$ точках (то есть не более чем $n$ раз). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Уравнение $P_n(x) = c$, где $P_n(x)$ - многочлен степени $n$, а $c$ - константа, эквивалентно уравнению $P_n(x) - c = 0$. Это уравнение с многочленом степени $n$, который может иметь не более $n$ различных корней. Следовательно, многочлен степени $n$ принимает каждое свое значение не более чем $n$ раз.

227. Пусть $R(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ – дробно-рациональная функция ($n$ – степень $P(x)$, $m$ – степень $Q(x)$). Докажите, что:

а) $R(x)$ каждое свое значение принимает не более чем при $k = \max (m, n)$ значениях $x$;

б) $R(x)$ имеет не более чем $(m + n - 1)$ точек экстремума, если $m \neq n$, и не более чем $(m + n - 2)$ точек экстремума, если $m = n$.

а) Чтобы найти, при скольких значениях $x$ функция $R(x)$ принимает некоторое значение $c$, нужно решить уравнение $R(x) = c$.

Запишем это уравнение: $$ \frac{P(x)}{Q(x)} = c $$ При условии, что $Q(x) \neq 0$, это уравнение эквивалентно следующему: $$ P(x) = c \cdot Q(x) $$ $$ P(x) - c \cdot Q(x) = 0 $$ Рассмотрим многочлен $H(x) = P(x) - c \cdot Q(x)$. Количество решений уравнения — это количество корней многочлена $H(x)$. По основной теореме алгебры, число корней многочлена не превышает его степени.

Найдем степень многочлена $H(x)$. Степень $P(x)$ равна $n$. Степень $Q(x)$ равна $m$. Степень $c \cdot Q(x)$ также равна $m$ (если $c \neq 0$).

1. Если $n \neq m$, то степень многочлена $H(x)$, равного разности $P(x)$ и $c \cdot Q(x)$, будет равна максимальной из их степеней. $$ \text{deg}(H(x)) = \max(n, m) $$ Следовательно, уравнение имеет не более $\max(n, m)$ решений.

2. Если $n = m$, то степени $P(x)$ и $c \cdot Q(x)$ равны. Пусть $P(x) = a_n x^n + \dots$ и $Q(x) = b_n x^n + \dots$, где $a_n$ и $b_n$ — старшие коэффициенты. Тогда старший член многочлена $H(x)$ будет $(a_n - c \cdot b_n)x^n$. - Если $c \neq \frac{a_n}{b_n}$, то коэффициент при старшем члене не равен нулю, и степень $H(x)$ равна $n$. В этом случае число решений не более $n = \max(n, m)$. - Если $c = \frac{a_n}{b_n}$, то коэффициент при $x^n$ равен нулю, и степень $H(x)$ становится меньше $n$. В этом случае число решений будет меньше $n$, что также не превышает $\max(n, m)$.

3. Если $c=0$, уравнение принимает вид $P(x)=0$. Степень $P(x)$ равна $n$, и оно имеет не более $n$ корней, что не превышает $\max(n, m)$.

Таким образом, во всех случаях количество значений $x$, при которых $R(x)$ принимает одно и то же значение, не превышает $k = \max(m, n)$.

Ответ: Утверждение доказано.

б) Точки экстремума функции $R(x)$ находятся среди корней ее производной $R'(x) = 0$. Найдем производную дроби по правилу дифференцирования частного: $$ R'(x) = \left(\frac{P(x)}{Q(x)}\right)' = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{[Q(x)]^2} $$ Для нахождения точек экстремума нужно приравнять производную к нулю. Это эквивалентно решению уравнения, в котором числитель равен нулю (при условии, что знаменатель не равен нулю): $$ P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x) = 0 $$ Количество точек экстремума не превышает числа корней этого уравнения. Рассмотрим многочлен $S(x) = P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)$ и найдем его степень.

Степени многочленов и их производных: - $\text{deg}(P(x)) = n \Rightarrow \text{deg}(P'(x)) = n-1$ (при $n \ge 1$) - $\text{deg}(Q(x)) = m \Rightarrow \text{deg}(Q'(x)) = m-1$ (при $m \ge 1$)

Определим степени слагаемых в $S(x)$: - $\text{deg}(P'(x)Q(x)) = \text{deg}(P') + \text{deg}(Q) = (n-1) + m = n+m-1$ - $\text{deg}(P(x)Q'(x)) = \text{deg}(P) + \text{deg}(Q') = n + (m-1) = n+m-1$

Оба слагаемых имеют одинаковую степень $n+m-1$. Степень их разности $S(x)$ зависит от того, сокращаются ли старшие члены.

Пусть $P(x) = a_n x^n + \dots$ и $Q(x) = b_m x^m + \dots$ Тогда $P'(x) = n a_n x^{n-1} + \dots$ и $Q'(x) = m b_m x^{m-1} + \dots$

Старший член $P'(x)Q(x)$ равен $(n a_n x^{n-1})(b_m x^m) = n a_n b_m x^{n+m-1}$. Старший член $P(x)Q'(x)$ равен $(a_n x^n)(m b_m x^{m-1}) = m a_n b_m x^{n+m-1}$.

Коэффициент при старшем члене $x^{n+m-1}$ в многочлене $S(x)$ равен: $$ n a_n b_m - m a_n b_m = a_n b_m (n-m) $$

1. Если $m \neq n$: Тогда множитель $(n-m) \neq 0$. Поскольку $a_n \neq 0$ и $b_m \neq 0$, старший коэффициент $a_n b_m (n-m)$ не равен нулю. Старшие члены не сокращаются, и степень многочлена $S(x)$ равна $n+m-1$. Следовательно, уравнение $S(x)=0$ имеет не более $n+m-1$ корней, а значит, функция $R(x)$ имеет не более $(m+n-1)$ точек экстремума.

2. Если $m = n$: Тогда множитель $(n-m) = 0$. Старший коэффициент равен нулю, и старшие члены сокращаются. Это означает, что степень многочлена $S(x)$ строго меньше, чем $n+m-1$. В этом случае $\text{deg}(S(x)) \le n+m-2$ (или $2n-2$, так как $m=n$). При более детальном рассмотрении коэффициентов при члене $x^{n+m-2}$ можно показать, что в общем случае они не равны нулю. Следовательно, степень многочлена $S(x)$ не превышает $n+m-2$. Таким образом, число корней уравнения $S(x)=0$ не превышает $m+n-2$, и функция $R(x)$ имеет не более $(m+n-2)$ точек экстремума.

Ответ: Таким образом, количество точек экстремума функции $R(x)$ не превышает $m + n - 1$ при $m \neq n$ и не превышает $m + n - 2$ при $m = n$.

228. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

a) $f(x) = 4x^3 - x |x - 2|$ на $[0; 3];$

б) $f(x) = \max_{R} \left(\frac{10}{x^2 + 4\pi x - 41} + \cos x\right).$

а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = 4x^3 - x|x - 2|$ на отрезке $[0; 3]$.
Функция содержит модуль, поэтому рассмотрим два случая.

1. Если $x \in [0; 2]$, то $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.
Функция принимает вид:
$f(x) = 4x^3 - x(2 - x) = 4x^3 + x^2 - 2x$.
Найдем производную этой функции, чтобы найти критические точки:
$f'(x) = (4x^3 + x^2 - 2x)' = 12x^2 + 2x - 2 = 2(6x^2 + x - 1)$.
Приравняем производную к нулю: $6x^2 + x - 1 = 0$.
Найдем корни квадратного уравнения:
$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1)}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{12} = \frac{-1 \pm 5}{12}$.
Корни: $x_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$ и $x_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.
В интервал $[0; 2]$ попадает только корень $x_1 = \frac{1}{3}$. Это наша первая критическая точка.

2. Если $x \in [2; 3]$, то $|x - 2| = x - 2$.
Функция принимает вид:
$f(x) = 4x^3 - x(x - 2) = 4x^3 - x^2 + 2x$.
Найдем производную:
$f'(x) = (4x^3 - x^2 + 2x)' = 12x^2 - 2x + 2$.
Приравняем производную к нулю: $12x^2 - 2x + 2 = 0$.
Дискриминант этого уравнения $D = (-2)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 2 = 4 - 96 = -92$.
Поскольку $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($12 > 0$), производная $f'(x)$ всегда положительна. Это означает, что на отрезке $[2; 3]$ функция $f(x)$ монотонно возрастает и не имеет критических точек.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке $[0; 3]$ нужно вычислить значения функции в критической точке $x = \frac{1}{3}$ и на концах отрезка $[0; 3]$, а также в точке "стыка" $x=2$.
Вычисляем значения функции в точках $0, \frac{1}{3}, 2, 3$:
$f(0) = 4(0)^3 + 0^2 - 2(0) = 0$
$f(\frac{1}{3}) = 4(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 2(\frac{1}{3}) = 4 \cdot \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{2}{3} = \frac{4}{27} + \frac{3}{27} - \frac{18}{27} = -\frac{11}{27}$
$f(2) = 4(2)^3 - 2|2 - 2| = 4 \cdot 8 - 0 = 32$
$f(3) = 4(3)^3 - 3|3 - 2| = 4 \cdot 27 - 3 \cdot 1 = 108 - 3 = 105$

Сравнивая полученные значения $0, -\frac{11}{27}, 32, 105$, заключаем, что:
Наименьшее значение функции $f_{min} = -\frac{11}{27}$.
Наибольшее значение функции $f_{max} = 105$.

Ответ: Наименьшее значение функции равно $-\frac{11}{27}$, наибольшее значение равно $105$.

б) Рассмотрим функцию $f(x) = \max_R \left(\frac{10}{x^2 + 4\pi x - 41} + \cos x\right)$.
Формулировка задачи, вероятно, содержит опечатки, так как в текущем виде она некорректна. Если $f(x)$ является функцией от $x$, то операция $\max_R$ (максимум по всем действительным числам) не может применяться к выражению, зависящему от $x$. Если же под $\max_R$ имеется в виду поиск максимума функции $g(x) = \frac{10}{x^2 + 4\pi x - 41} + \cos x$ по переменной $x$, то такой максимум не существует (равен $+\infty$), так как знаменатель $x^2 + 4\pi x - 41$ обращается в ноль, и функция имеет вертикальные асимптоты.

Предположим, что в задаче допущены следующие опечатки:
1. Максимум ищется по некоторой другой переменной, например $t$, а не по $x$.
2. В знаменателе перед $t^2$ должен стоять знак минус (или константа должна быть $+41$), чтобы знаменатель не обращался в ноль.
При таких допущениях задача становится осмысленной. Решим скорректированную задачу:
Найти наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = \max_{t \in R} \left(\frac{10}{-t^2 + 4\pi t - 41} + \cos x\right)$.

Поскольку $\cos x$ не зависит от $t$, его можно вынести за знак максимума:
$f(x) = \cos x + \max_{t \in R} \left(\frac{10}{-t^2 + 4\pi t - 41}\right)$.
Пусть $h(t) = \frac{10}{-t^2 + 4\pi t - 41}$. Найдем максимум этой функции.
Знаменатель $p(t) = -t^2 + 4\pi t - 41$ является параболой с ветвями, направленными вниз. Своего наибольшего значения он достигает в вершине.
Координата вершины параболы: $t_v = -\frac{4\pi}{2(-1)} = 2\pi$.
Максимальное значение знаменателя: $p(2\pi) = -(2\pi)^2 + 4\pi(2\pi) - 41 = -4\pi^2 + 8\pi^2 - 41 = 4\pi^2 - 41$.
Так как $\pi \approx 3.14$, то $\pi^2 \approx 9.87$, а $4\pi^2 \approx 39.48$. Следовательно, $4\pi^2 - 41 < 0$.
Поскольку максимальное значение знаменателя отрицательно, знаменатель $p(t)$ всегда отрицателен.
Чтобы максимизировать дробь $h(t) = \frac{10}{p(t)}$ (которая всегда отрицательна), нужно, чтобы ее знаменатель $p(t)$ был как можно ближе к нулю, то есть максимальным.
Таким образом, $\max_{t \in R} h(t) = \frac{10}{\max_{t \in R} p(t)} = \frac{10}{4\pi^2 - 41}$.
Теперь подставим найденное значение в выражение для $f(x)$:
$f(x) = \cos x + \frac{10}{4\pi^2 - 41}$.
Это функция вида $f(x) = \cos x + C$, где $C = \frac{10}{4\pi^2 - 41}$ — константа.
Наибольшее значение функции достигается, когда $\cos x = 1$:
$f_{max} = 1 + \frac{10}{4\pi^2 - 41} = \frac{4\pi^2 - 41 + 10}{4\pi^2 - 41} = \frac{4\pi^2 - 31}{4\pi^2 - 41}$.
Наименьшее значение функции достигается, когда $\cos x = -1$:
$f_{min} = -1 + \frac{10}{4\pi^2 - 41} = \frac{-(4\pi^2 - 41) + 10}{4\pi^2 - 41} = \frac{-4\pi^2 + 41 + 10}{4\pi^2 - 41} = \frac{51 - 4\pi^2}{4\pi^2 - 41}$.

Ответ: При условии исправления опечаток в условии, наибольшее значение функции равно $\frac{4\pi^2 - 31}{4\pi^2 - 41}$, а наименьшее значение равно $\frac{51 - 4\pi^2}{4\pi^2 - 41}$.

229. Три пункта A, B, C не лежат на одной прямой, причем $\angle ABC = 60^\circ$. Одновременно из точки A выходит автомобиль, а из точки B - поезд. Автомобиль движется по направлению к B со скоростью 80 км/ч, поезд - к C со скоростью 50 км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если $AB = 200$ км?

Для решения задачи введем систему отсчета, связанную с точкой B, и воспользуемся теоремой косинусов для нахождения расстояния между автомобилем и поездом в любой момент времени t.

Пусть t — время в часах, прошедшее с начала движения.

1. Положение автомобиля. Автомобиль движется из точки A в точку B со скоростью $v_a = 80$ км/ч. Начальное расстояние $AB = 200$ км. Через время t автомобиль пройдет расстояние $s_a = v_a \cdot t = 80t$. Расстояние от автомобиля до точки B будет равно $d_a(t) = AB - s_a = 200 - 80t$. Это выражение имеет смысл, пока автомобиль не достиг точки B, то есть при $t \le \frac{200}{80} = 2.5$ ч.

2. Положение поезда. Поезд движется из точки B в сторону точки C со скоростью $v_p = 50$ км/ч. Через время t расстояние от поезда до точки B будет равно $d_p(t) = v_p \cdot t = 50t$.

3. Расстояние между автомобилем и поездом. В момент времени t положения автомобиля (назовем его A'), поезда (P') и точка B образуют треугольник A'BP'. В этом треугольнике нам известны две стороны $BA' = d_a(t) = 200 - 80t$ и $BP' = d_p(t) = 50t$. Угол между этими сторонами равен углу $ \angle ABC $, так как автомобиль движется по прямой AB, а поезд по прямой BC. По условию, $ \angle A'BP' = \angle ABC = 60^{\circ} $.

Искомое расстояние $d(t)$ между автомобилем и поездом — это длина стороны A'P' в треугольнике A'BP'. Найдем ее с помощью теоремы косинусов: $d(t)^2 = (BA')^2 + (BP')^2 - 2 \cdot BA' \cdot BP' \cdot \cos(\angle A'BP')$

Подставим наши значения: $d(t)^2 = (200 - 80t)^2 + (50t)^2 - 2 \cdot (200 - 80t) \cdot (50t) \cdot \cos(60^{\circ})$

Зная, что $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, упростим выражение: $d(t)^2 = (200 - 80t)^2 + (50t)^2 - (200 - 80t) \cdot 50t$

Раскроем скобки: $d(t)^2 = (40000 - 2 \cdot 200 \cdot 80t + 6400t^2) + 2500t^2 - (10000t - 4000t^2)$ $d(t)^2 = 40000 - 32000t + 6400t^2 + 2500t^2 - 10000t + 4000t^2$

Сгруппируем слагаемые: $d(t)^2 = (6400 + 2500 + 4000)t^2 + (-32000 - 10000)t + 40000$ $d(t)^2 = 12900t^2 - 42000t + 40000$

Мы получили квадратичную функцию для квадрата расстояния. Наименьшее расстояние будет в тот момент времени t, когда эта функция достигает своего минимума. Это парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $t^2$ положителен), поэтому ее минимум находится в вершине.

Координата вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. В нашем случае $a = 12900$ и $b = -42000$. $t_{min} = - \frac{-42000}{2 \cdot 12900} = \frac{42000}{25800} = \frac{420}{258}$

Сократим полученную дробь: $\frac{420}{258} = \frac{210}{129} = \frac{70}{43}$

Таким образом, минимальное расстояние будет в момент времени $t = \frac{70}{43}$ часа. Проверим, что в этот момент автомобиль еще не достиг точки B: $\frac{70}{43} \approx 1.63$ ч. Время движения автомобиля до точки B: $t_{max} = 2.5$ ч. Так как $1.63 < 2.5$, найденное время является корректным решением.

Ответ: Наименьшее расстояние между поездом и автомобилем будет в момент времени $t = \frac{70}{43}$ часа от начала движения.

230. На странице текст должен занимать $384 \text{ см}^2$. Верхнее и нижнее поля должны быть по 3 см, правое и левое — по 2 см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

Пусть $x$ — ширина текстовой области, а $y$ — высота текстовой области в сантиметрах.По условию, площадь текста должна составлять 384 см². Таким образом, мы имеем уравнение:$x \cdot y = 384$Из этого уравнения можно выразить одну переменную через другую, например, $y$ через $x$:$y = \frac{384}{x}$

Теперь определим размеры всей страницы. Верхнее и нижнее поля равны 3 см каждое, а правое и левое — по 2 см каждое.Ширина всей страницы $W$ будет равна ширине текста плюс левое и правое поля:$W = x + 2 + 2 = x + 4$Высота всей страницы $H$ будет равна высоте текста плюс верхнее и нижнее поля:$H = y + 3 + 3 = y + 6$

Общая площадь страницы $S$ является произведением её ширины и высоты:$S = W \cdot H = (x + 4)(y + 6)$Чтобы найти наиболее выгодные размеры, необходимо минимизировать эту площадь. Подставим выражение для $y$ в формулу площади, чтобы получить функцию одной переменной $x$:$S(x) = (x + 4)(\frac{384}{x} + 6)$Раскроем скобки:$S(x) = x \cdot \frac{384}{x} + 6x + 4 \cdot \frac{384}{x} + 4 \cdot 6 = 384 + 6x + \frac{1536}{x} + 24$$S(x) = 6x + \frac{1536}{x} + 408$

Для нахождения минимального значения функции найдем её производную по $x$ и приравняем к нулю.$S'(x) = (6x + 1536x^{-1} + 408)' = 6 - 1536x^{-2} = 6 - \frac{1536}{x^2}$Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:$6 - \frac{1536}{x^2} = 0$$6 = \frac{1536}{x^2}$$6x^2 = 1536$$x^2 = \frac{1536}{6}$$x^2 = 256$Так как $x$ — это длина, она должна быть положительной, поэтому:$x = \sqrt{256} = 16$ см.

Чтобы убедиться, что при $x=16$ достигается именно минимум, найдем вторую производную:$S''(x) = (6 - 1536x^{-2})' = -1536 \cdot (-2)x^{-3} = \frac{3072}{x^3}$При $x = 16$, значение второй производной $S''(16) = \frac{3072}{16^3} > 0$, что свидетельствует о том, что данная точка является точкой минимума.

Теперь, зная оптимальную ширину текста $x$, найдем его высоту $y$:$y = \frac{384}{x} = \frac{384}{16} = 24$ см.

Наконец, вычислим размеры всей страницы:Ширина страницы: $W = x + 4 = 16 + 4 = 20$ см.Высота страницы: $H = y + 6 = 24 + 6 = 30$ см.Таким образом, наиболее выгодные размеры страницы, с точки зрения экономии бумаги, составляют 20 см в ширину и 30 см в высоту.

Ответ: Наиболее выгодные размеры страницы — 20 см на 30 см.

231. Расходы на топливо для парохода делятся на две части. Первая из них не зависит от скорости и равна 480 р. в час. А вторая часть расходов пропорциональна кубу скорости, причем при скорости 10 км/ч эта часть расходов равна 30 р. в час. При какой скорости общая сумма расходов на 1 км пути будет наименьшей?

$R_{км}(v) = \frac{480}{v} + 0.03 v^2$

Обозначим скорость парохода через $v$ (в км/ч). Общие расходы на топливо в час, обозначим их $C_{час}(v)$, состоят из двух частей.

Первая часть, $C_1$, не зависит от скорости и равна 480 р. в час.

Вторая часть, $C_2$, пропорциональна кубу скорости, то есть ее можно записать в виде $C_2 = k \cdot v^3$, где $k$ — это коэффициент пропорциональности.

Из условия известно, что при скорости $v = 10$ км/ч вторая часть расходов составляет $C_2 = 30$ р. в час. Используем эти данные для нахождения коэффициента $k$:

$30 = k \cdot (10)^3$

$30 = k \cdot 1000$

$k = \frac{30}{1000} = 0.03$

Теперь мы можем записать формулу для общих расходов на топливо в час в зависимости от скорости $v$:

$C_{час}(v) = C_1 + C_2 = 480 + 0.03v^3$

Нам нужно найти, при какой скорости будет наименьшей общая сумма расходов на 1 км пути. Обозначим эту величину как $C_{км}(v)$. Чтобы найти стоимость 1 км пути, нужно стоимость одного часа плавания разделить на расстояние, пройденное за этот час, то есть на скорость $v$:

$C_{км}(v) = \frac{C_{час}(v)}{v} = \frac{480 + 0.03v^3}{v} = \frac{480}{v} + 0.03v^2$

Чтобы найти скорость, при которой расходы на 1 км будут наименьшими, нам необходимо найти минимум функции $C_{км}(v)$. Для этого найдем ее производную по $v$ и приравняем к нулю.

$C'_{км}(v) = \left(\frac{480}{v} + 0.03v^2\right)' = (480v^{-1} + 0.03v^2)' = -480v^{-2} + 2 \cdot 0.03v = -\frac{480}{v^2} + 0.06v$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$-\frac{480}{v^2} + 0.06v = 0$

$0.06v = \frac{480}{v^2}$

$0.06v^3 = 480$

$v^3 = \frac{480}{0.06} = \frac{48000}{6} = 8000$

$v = \sqrt[3]{8000} = 20$

Мы нашли критическую точку $v=20$. Чтобы убедиться, что это точка минимума, можно исследовать знак производной или найти вторую производную. Найдем вторую производную:

$C''_{км}(v) = \left(-\frac{480}{v^2} + 0.06v\right)' = \left(-480v^{-2} + 0.06v\right)' = -(-2) \cdot 480v^{-3} + 0.06 = \frac{960}{v^3} + 0.06$

Поскольку скорость $v$ является положительной величиной, вторая производная $C''_{км}(v)$ всегда будет положительной. Следовательно, в точке $v=20$ функция $C_{км}(v)$ имеет минимум.

Ответ: 20 км/ч.