Страница 332 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

156. a) $x^2 - 2x + 3 < \sqrt{4 - x^2}$;

б) $\sqrt{3 - x} - \sqrt{x + 1} > \frac{1}{2}$.

а) $x^2 - 2x + 3 < \sqrt{4 - x^2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$4 - x^2 \ge 0$
$x^2 \le 4$
$-2 \le x \le 2$
Таким образом, ОДЗ: $x \in [-2, 2]$.

2. Проанализируем левую и правую части неравенства на найденной ОДЗ.
Левая часть: $f(x) = x^2 - 2x + 3$.
Выделим полный квадрат: $x^2 - 2x + 3 = (x^2 - 2x + 1) + 2 = (x-1)^2 + 2$.
Поскольку $(x-1)^2 \ge 0$ для любого $x$, то минимальное значение левой части равно 2 (при $x=1$). Таким образом, $x^2 - 2x + 3 \ge 2$.

Правая часть: $g(x) = \sqrt{4 - x^2}$.
На ОДЗ $x \in [-2, 2]$, выражение $4-x^2$ принимает значения от 0 (при $x=\pm2$) до 4 (при $x=0$).
Следовательно, $\sqrt{4-x^2}$ принимает значения от $\sqrt{0}=0$ до $\sqrt{4}=2$.
Таким образом, $\sqrt{4 - x^2} \le 2$.

3. Сравним левую и правую части.
Мы получили, что для любого $x$ из ОДЗ выполняются условия:
$x^2 - 2x + 3 \ge 2$
$\sqrt{4 - x^2} \le 2$
Исходное неравенство $x^2 - 2x + 3 < \sqrt{4 - x^2}$ требует, чтобы левая часть была строго меньше правой. Однако, левая часть всегда больше или равна 2, а правая всегда меньше или равна 2. Левая часть не может быть меньше правой. Равенство $x^2 - 2x + 3 = \sqrt{4 - x^2} = 2$ также невозможно, так как левая часть равна 2 при $x=1$, а правая — при $x=0$.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$ (решений нет).

б) $\sqrt{3 - x} - \sqrt{x + 1} > \frac{1}{2}$

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
$\begin{cases} 3 - x \ge 0 \\ x + 1 \ge 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \le 3 \\ x \ge -1 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [-1, 3]$.

2. Перенесем один из корней в правую часть, чтобы обе части неравенства стали положительными:
$\sqrt{3 - x} > \frac{1}{2} + \sqrt{x + 1}$
Так как обе части неравенства теперь положительны на ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат:
$(\sqrt{3 - x})^2 > (\frac{1}{2} + \sqrt{x + 1})^2$
$3 - x > \frac{1}{4} + 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{x+1} + (x+1)$
$3 - x > \frac{1}{4} + \sqrt{x+1} + x + 1$

3. Упростим неравенство и уединим оставшийся корень:
$3 - x - x - 1 - \frac{1}{4} > \sqrt{x+1}$
$2 - 2x - \frac{1}{4} > \sqrt{x+1}$
$\frac{7}{4} - 2x > \sqrt{x+1}$

4. Для решения полученного иррационального неравенства вида $f(x) > \sqrt{g(x)}$ необходимо, чтобы левая часть была положительной, так как правая часть ($\sqrt{x+1}$) неотрицательна. Составим систему:
$\begin{cases} x+1 \ge 0 & \text{(часть ОДЗ, уже учтено)} \\ \frac{7}{4} - 2x > 0 \\ (\frac{7}{4} - 2x)^2 > x+1 \end{cases}$

Решим второе неравенство системы:
$\frac{7}{4} > 2x \Rightarrow x < \frac{7}{8}$.

Решим третье неравенство системы:
$(\frac{7}{4} - 2x)^2 > x+1$
$\frac{49}{16} - 2 \cdot \frac{7}{4} \cdot 2x + 4x^2 > x+1$
$\frac{49}{16} - 7x + 4x^2 > x+1$
$4x^2 - 8x + \frac{49}{16} - 1 > 0$
$4x^2 - 8x + \frac{33}{16} > 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $4x^2 - 8x + \frac{33}{16} = 0$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot \frac{33}{16} = 64 - 33 = 31$.
$x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{31}}{2 \cdot 4} = \frac{8 \pm \sqrt{31}}{8} = 1 \pm \frac{\sqrt{31}}{8}$.
Так как ветви параболы $y = 4x^2 - 8x + \frac{33}{16}$ направлены вверх, неравенство выполняется при $x < 1 - \frac{\sqrt{31}}{8}$ и $x > 1 + \frac{\sqrt{31}}{8}$.

5. Объединим все условия в одну систему и найдем пересечение:
$\begin{cases} -1 \le x \le 3 & \text{(ОДЗ)} \\ x < \frac{7}{8} \\ x \in (-\infty, 1 - \frac{\sqrt{31}}{8}) \cup (1 + \frac{\sqrt{31}}{8}, +\infty) \end{cases}$
Пересечение первых двух условий дает $x \in [-1, \frac{7}{8})$.
Теперь найдем пересечение этого интервала с решением квадратного неравенства. Так как $5 < \sqrt{31} < 6$, то $1 + \frac{\sqrt{31}}{8} > 1 + \frac{5}{8} = \frac{13}{8}$. Поскольку $\frac{13}{8} > \frac{7}{8}$, интервал $(1 + \frac{\sqrt{31}}{8}, +\infty)$ не имеет пересечения с $[-1, \frac{7}{8})$.
Остается найти пересечение $x \in [-1, \frac{7}{8})$ и $x < 1 - \frac{\sqrt{31}}{8}$.
Оценим $1 - \frac{\sqrt{31}}{8}$: $1 - \frac{6}{8} < 1 - \frac{\sqrt{31}}{8} < 1 - \frac{5}{8}$, т.е. $0.25 < 1 - \frac{\sqrt{31}}{8} < 0.375$.
Это значение находится в интервале $[-1, \frac{7}{8})$. Таким образом, итоговое решение системы — это интервал, ограниченный слева $-1$ (включительно) и справа $1 - \frac{\sqrt{31}}{8}$ (не включительно).

Ответ: $x \in [-1, 1 - \frac{\sqrt{31}}{8})$.

157. a) $x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} > \frac{35}{12}$;

б) $\left(x - \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{25}{9} > \frac{3x^2 + \frac{4}{9}}{2\left(x - \frac{1}{3}\right) + \sqrt{x\left(x - \frac{8}{3}\right)}}$.

а) Решим неравенство $x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} > \frac{35}{12}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$x^2 - 1 > 0 \implies x^2 > 1 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.

2. Рассмотрим два случая в соответствии с ОДЗ.

Случай 1: $x < -1$.
В этом случае $x$ — отрицательное число. Пусть $x = -z$, где $z > 1$.
Неравенство принимает вид:
$-z + \frac{-z}{\sqrt{(-z)^2 - 1}} > \frac{35}{12}$
$-z - \frac{z}{\sqrt{z^2 - 1}} > \frac{35}{12}$
$-\left(z + \frac{z}{\sqrt{z^2 - 1}}\right) > \frac{35}{12}$
Поскольку $z > 1$, то $z>0$ и $\sqrt{z^2-1}>0$. Следовательно, выражение в скобках $z + \frac{z}{\sqrt{z^2 - 1}}$ всегда положительно. Тогда левая часть неравенства всегда отрицательна. Отрицательное число не может быть больше положительного числа $\frac{35}{12}$. Таким образом, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x > 1$.
В этом случае $x$ — положительное число. Рассмотрим функцию $f(x) = x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$. Нам нужно решить неравенство $f(x) > \frac{35}{12}$.
Для начала решим уравнение $x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} = \frac{35}{12}$.
Можно заметить, что целочисленные или простые дробные корни подобрать сложно. Попробуем найти корни вида $a/b$. Проверим значения, которые упрощают корень $\sqrt{x^2-1}$. Например, если $x^2-1$ является полным квадратом.
Пусть $x^2 - 1 = y^2 \implies x^2 - y^2 = 1 \implies (x-y)(x+y)=1$. Это пифагоровы тройки, но для гиперболы.
Подставим $x = \frac{5}{4}$:
$\frac{5}{4} + \frac{5/4}{\sqrt{(5/4)^2 - 1}} = \frac{5}{4} + \frac{5/4}{\sqrt{25/16 - 1}} = \frac{5}{4} + \frac{5/4}{\sqrt{9/16}} = \frac{5}{4} + \frac{5/4}{3/4} = \frac{5}{4} + \frac{5}{3} = \frac{15 + 20}{12} = \frac{35}{12}$.
Значит, $x_1 = \frac{5}{4}$ является корнем уравнения.
Подставим $x = \frac{5}{3}$:
$\frac{5}{3} + \frac{5/3}{\sqrt{(5/3)^2 - 1}} = \frac{5}{3} + \frac{5/3}{\sqrt{25/9 - 1}} = \frac{5}{3} + \frac{5/3}{\sqrt{16/9}} = \frac{5}{3} + \frac{5/3}{4/3} = \frac{5}{3} + \frac{5}{4} = \frac{20 + 15}{12} = \frac{35}{12}$.
Значит, $x_2 = \frac{5}{3}$ также является корнем уравнения.

3. Исследуем поведение функции $f(x)$ на интервале $(1, \infty)$ с помощью производной:
$f'(x) = \left(x + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)' = 1 + \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-1} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1} = 1 + \frac{x^2-1-x^2}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}} = 1 - \frac{1}{(x^2-1)^{3/2}}$.
Найдем точку экстремума: $f'(x)=0 \implies (x^2-1)^{3/2} = 1 \implies x^2-1=1 \implies x^2=2$. Так как $x>1$, то $x=\sqrt{2}$.
При $1 < x < \sqrt{2}$, $f'(x) < 0$, функция убывает.
При $x > \sqrt{2}$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.
Точка $x=\sqrt{2}$ является точкой минимума.
Так как $1 < 1.25 = \frac{5}{4} < \sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{2} < \frac{5}{3} \approx 1.667$, найденные корни $x_1$ и $x_2$ расположены по обе стороны от точки минимума.
Функция $f(x)$ убывает на $(1, \sqrt{2}]$ и возрастает на $[\sqrt{2}, \infty)$. График функции похож на "долину". Неравенство $f(x) > \frac{35}{12}$ будет выполняться на интервалах $(1, x_1)$ и $(x_2, \infty)$.

4. Таким образом, решение для случая $x>1$ есть объединение интервалов: $x \in (1, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем итоговое решение.
Ответ: $x \in (1, \frac{5}{4}) \cup (\frac{5}{3}, \infty)$.

б) Решим неравенство $\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{25}{9} > \frac{3x^2+\frac{4}{9}}{2\left(x-\frac{1}{3}\right) + \sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}}$.

1. Найдем ОДЗ:
а) Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x\left(x-\frac{8}{3}\right) \ge 0$. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{8}{3}, \infty)$.
б) Знаменатель не должен быть равен нулю: $2\left(x-\frac{1}{3}\right) + \sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)} \ne 0$.

2. Упростим правую часть неравенства. Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю: $2\left(x-\frac{1}{3}\right) - \sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}$.
Новый знаменатель будет равен:
$\left(2\left(x-\frac{1}{3}\right)\right)^2 - \left(\sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}\right)^2 = 4\left(x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9}\right) - \left(x^2 - \frac{8}{3}x\right)$
$= 4x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{9} - x^2 + \frac{8}{3}x = 3x^2 + \frac{4}{9}$.
Этот результат в точности совпадает с числителем исходной дроби. Так как $3x^2 + \frac{4}{9} > 0$ при любых действительных $x$, мы можем сократить дробь.
Правая часть неравенства упрощается до:
$2\left(x-\frac{1}{3}\right) - \sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}$.

3. Теперь исходное неравенство принимает вид:
$\left(x-\frac{1}{3}\right)^2 - \frac{25}{9} > 2\left(x-\frac{1}{3}\right) - \sqrt{x\left(x-\frac{8}{3}\right)}$.
Раскроем скобки и преобразуем:
$x^2 - \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} - \frac{25}{9} > 2x - \frac{2}{3} - \sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x}$
$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{24}{9} > 2x - \frac{2}{3} - \sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x}$
$x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{8}{3} > 2x - \frac{2}{3} - \sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x}$.
Изолируем радикал в одной части неравенства:
$\sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x} > (2x - \frac{2}{3}) - (x^2 - \frac{2}{3}x - \frac{8}{3})$
$\sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x} > 2x - \frac{2}{3} - x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}$
$\sqrt{x^2 - \frac{8}{3}x} > -x^2 + \frac{8}{3}x + 2$.

4. Сделаем замену. Пусть $t = x^2 - \frac{8}{3}x$. Тогда $-t = -x^2 + \frac{8}{3}x$. Неравенство принимает вид:
$\sqrt{t} > -t + 2$.
По ОДЗ, $t \ge 0$. Решим это неравенство для $t$:
Случай 1: правая часть отрицательна: $2-t < 0 \implies t > 2$. Неравенство $\sqrt{t} > (\text{отрицательное число})$ верно для всех $t$ из этого случая.
Случай 2: правая часть неотрицательна: $2-t \ge 0 \implies t \le 2$. Можно возвести обе части в квадрат:
$t > (2-t)^2 \implies t > 4 - 4t + t^2 \implies t^2 - 5t + 4 < 0$.
Корни уравнения $t^2 - 5t + 4 = 0$ равны $t_1=1, t_2=4$. Решением неравенства является $1 < t < 4$.
Пересекая с условием случая ($t \le 2$), получаем $1 < t \le 2$.
Объединяя решения обоих случаев ($t > 2$ и $1 < t \le 2$), получаем общее решение для $t$: $t > 1$.

5. Возвращаемся к переменной $x$:
$x^2 - \frac{8}{3}x > 1 \implies x^2 - \frac{8}{3}x - 1 > 0$.
Умножим на 3, чтобы избавиться от дробей: $3x^2 - 8x - 3 > 0$.
Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 8x - 3 = 0$:
$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4(3)(-3)}}{2 \cdot 3} = \frac{8 \pm \sqrt{64+36}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}$.
Корни: $x_1 = \frac{18}{6} = 3$ и $x_2 = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
Так как парабола направлена ветвями вверх, решение неравенства $3x^2 - 8x - 3 > 0$ есть $x \in (-\infty, -1/3) \cup (3, \infty)$.

6. Наконец, пересечем полученное решение с ОДЗ $x \in (-\infty, 0] \cup [\frac{8}{3}, \infty)$.
Пересечение $(-\infty, -1/3) \cup (3, \infty)$ и $(-\infty, 0] \cup [8/3, \infty)$ дает:
$(-\infty, -1/3) \cap (-\infty, 0] = (-\infty, -1/3)$.
$(3, \infty) \cap [8/3, \infty) = (3, \infty)$ (поскольку $3 > 8/3$).
Итоговое решение — объединение этих интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (3, \infty)$.

158. а) $\sqrt{9+3^x-2} \ge 9-3^x$;

б) $\sqrt{x^{\log_2 \sqrt{x}}} > 2$;

в) $\log_2(\sqrt{x+3-x-1}) \le 0$;

г) $\sqrt{4^{x+1}+17-5} > 2^x$.

а)

Исходное неравенство: $\sqrt{9+3^x-2} \ge 9-3^x$.

Упростим выражение под корнем: $\sqrt{7+3^x} \ge 9-3^x$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $3^x > 0$ для любого действительного $x$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt{7+t} \ge 9-t$.

Данное иррациональное неравенство вида $\sqrt{A} \ge B$ равносильно совокупности двух систем:

1) $\begin{cases} 9-t < 0 \\ 7+t \ge 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 9-t \ge 0 \\ 7+t \ge (9-t)^2 \end{cases}$

Решим первую систему:

$\begin{cases} t > 9 \\ t \ge -7 \end{cases} \implies t > 9$.

Решим вторую систему:

$\begin{cases} t \le 9 \\ 7+t \ge 81 - 18t + t^2 \end{cases}$

Решаем второе неравенство системы: $t^2 - 19t + 74 \le 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $t^2 - 19t + 74=0$.

Дискриминант $D = (-19)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 74 = 361 - 296 = 65$.

Корни: $t_1 = \frac{19 - \sqrt{65}}{2}$, $t_2 = \frac{19 + \sqrt{65}}{2}$.

Решением неравенства $t^2 - 19t + 74 \le 0$ является отрезок $[\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, \frac{19 + \sqrt{65}}{2}]$.

Учитывая условие $t \le 9$ из системы, найдем пересечение. Так как $8 < \sqrt{65} < 9$, то $\frac{19-9}{2} < \frac{19-\sqrt{65}}{2} < \frac{19-8}{2}$, то есть $5 < \frac{19-\sqrt{65}}{2} < 5.5$. A $\frac{19+\sqrt{65}}{2} > \frac{19+8}{2} = 13.5 > 9$.

Следовательно, решением второй системы является промежуток $[\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, 9]$.

Объединяя решения обеих систем и учитывая условие $t>0$, получаем: $(9, \infty) \cup [\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, 9] = [\frac{19 - \sqrt{65}}{2}, \infty)$.

Таким образом, $t \ge \frac{19 - \sqrt{65}}{2}$.

Производим обратную замену $t=3^x$:

$3^x \ge \frac{19 - \sqrt{65}}{2}$.

Логарифмируя обе части по основанию 3 (так как $3>1$, знак неравенства сохраняется), получаем:

$x \ge \log_3\left(\frac{19 - \sqrt{65}}{2}\right)$.

Ответ: $x \in [\log_3\left(\frac{19 - \sqrt{65}}{2}\right), +\infty)$.

б)

Исходное неравенство: $\sqrt{x^{\log_2{\sqrt{x}}}} > 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ (основание степени и аргумент логарифма должны быть положительными).

Преобразуем показатель степени: $\log_2{\sqrt{x}} = \log_2{x^{1/2}} = \frac{1}{2}\log_2{x}$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt{x^{\frac{1}{2}\log_2{x}}} > 2$.

Так как обе части неравенства положительны, возведем их в квадрат:

$x^{\frac{1}{2}\log_2{x}} > 4$.

Прологарифмируем обе части по основанию 2. Так как основание $2>1$, знак неравенства сохранится.

$\log_2(x^{\frac{1}{2}\log_2{x}}) > \log_2(4)$.

Используя свойство логарифма степени $\log_a(b^c) = c \log_a(b)$, получаем:

$(\frac{1}{2}\log_2{x}) \cdot (\log_2{x}) > 2$.

$(\log_2{x})^2 > 4$.

Пусть $y = \log_2{x}$, тогда $y^2 > 4$, что равносильно $|y| > 2$.

Это распадается на два случая: $y > 2$ или $y < -2$.

1) $\log_2{x} > 2 \implies x > 2^2 \implies x > 4$.

2) $\log_2{x} < -2 \implies x < 2^{-2} \implies x < \frac{1}{4}$.

Объединяя решения и учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем:

$0 < x < \frac{1}{4}$ или $x > 4$.

Ответ: $x \in (0, \frac{1}{4}) \cup (4, +\infty)$.

в)

Исходное неравенство: $\log_2(\sqrt{x+3}-x-1) \le 0$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\sqrt{x+3}-x-1 > 0 \implies \sqrt{x+3} > x+1$.

Также, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Решим неравенство $\sqrt{x+3} > x+1$, рассмотрев два случая для правой части:

1) Если $x+1 < 0$, т.е. $x < -1$. Неравенство верно для всех $x$, для которых определен корень. С учетом $x \ge -3$, получаем $x \in [-3, -1)$.

2) Если $x+1 \ge 0$, т.е. $x \ge -1$. Можно возвести обе части в квадрат: $x+3 > (x+1)^2 \implies x+3 > x^2+2x+1 \implies x^2+x-2 < 0$. Корнями уравнения $x^2+x-2=0$ являются $x_1=1, x_2=-2$. Решением неравенства является интервал $(-2, 1)$. Пересекая с $x \ge -1$, получаем $x \in [-1, 1)$.

Объединяя оба случая, получаем ОДЗ: $x \in [-3, 1) \cup [-1, 1) = [-3, 1)$.

Теперь решим само неравенство. Так как основание логарифма $2>1$, то неравенство равносильно следующему:

$\sqrt{x+3}-x-1 \le 2^0 \implies \sqrt{x+3}-x-1 \le 1 \implies \sqrt{x+3} \le x+2$.

Это неравенство равносильно системе:

$\begin{cases} x+3 \ge 0 \\ x+2 \ge 0 \\ x+3 \le (x+2)^2 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -3 \\ x \ge -2 \\ x+3 \le x^2+4x+4 \end{cases}$

Из первых двух неравенств следует $x \ge -2$. Решим третье: $x^2+3x+1 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2+3x+1=0$: $D = 3^2-4 \cdot 1 \cdot 1 = 5$, $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Решением неравенства $x^2+3x+1 \ge 0$ является $x \in (-\infty, \frac{-3-\sqrt{5}}{2}] \cup [\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, +\infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge -2$. Так как $\frac{-3-\sqrt{5}}{2} \approx -2.615 < -2$ и $\frac{-3+\sqrt{5}}{2} \approx -0.385 > -2$, решением системы будет $x \ge \frac{-3+\sqrt{5}}{2}$.

Наконец, пересечем полученное решение с ОДЗ: $x \in [\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, +\infty) \cap [-3, 1)$.

Ответ: $x \in [\frac{-3+\sqrt{5}}{2}, 1)$.

г)

Исходное неравенство: $\sqrt{4^{x+1}+17-5} > 2^x$.

Судя по верстке выражения в задачнике, `-5` не находится под знаком корня. Неравенство следует читать как: $\sqrt{4^{x+1}+17} - 5 > 2^x$.

Перенесем 5 в правую часть: $\sqrt{4^{x+1}+17} > 2^x + 5$.

Преобразуем выражение под корнем: $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x = 4 \cdot (2^x)^2$.

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$ для любого $x$, то $t > 0$.

Неравенство принимает вид: $\sqrt{4t^2+17} > t+5$.

ОДЗ: $4t^2+17 > 0$, что верно для любого действительного $t$.

Так как $t > 0$, правая часть $t+5$ всегда положительна. Можно возвести обе части неравенства в квадрат:

$4t^2+17 > (t+5)^2$.

$4t^2+17 > t^2+10t+25$.

$3t^2-10t-8 > 0$.

Найдем корни квадратного уравнения $3t^2-10t-8 = 0$.

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 100 + 96 = 196 = 14^2$.

Корни: $t_1 = \frac{10 - 14}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$, $t_2 = \frac{10 + 14}{6} = \frac{24}{6} = 4$.

Решением неравенства $3t^2-10t-8 > 0$ является $t \in (-\infty, -2/3) \cup (4, +\infty)$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем $t > 4$.

Производим обратную замену $t=2^x$:

$2^x > 4 \implies 2^x > 2^2$.

Так как основание $2>1$, показательная функция возрастает, следовательно $x > 2$.

Ответ: $x \in (2, +\infty)$.

Решите системы уравнений (159—162).

159. а)

$\begin{cases} \sqrt[3]{x}\sqrt{y} + \sqrt{x}\sqrt[3]{y} = 12, \\ xy = 64; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 5; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4, \\ x + y = 28; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3, \\ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} = 2. \end{cases}$

а)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt[3]{x}\sqrt{y} + \sqrt{x}\sqrt[3]{y} = 12 \\xy = 64\end{cases}$$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы: $x \ge 0$ и $y \ge 0$, так как переменные находятся под знаком квадратного корня.

Преобразуем первое уравнение. Вынесем за скобки общий множитель $\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y} = (xy)^{1/3}$:

$(xy)^{1/3} \cdot (y^{1/2-1/3} + x^{1/2-1/3}) = 12$

$(xy)^{1/3} \cdot (y^{1/6} + x^{1/6}) = 12$

Из второго уравнения системы нам известно, что $xy=64$. Тогда $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{64} = 4$.

Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$4(\sqrt[6]{y} + \sqrt[6]{x}) = 12$

$\sqrt[6]{x} + \sqrt[6]{y} = 3$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[6]{x}$ и $b = \sqrt[6]{y}$. Учитывая ОДЗ, $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $x = a^6$ и $y = b^6$. Система примет вид:

$$\begin{cases}a + b = 3 \\a^6 b^6 = 64\end{cases}$$

Второе уравнение можно переписать как $(ab)^6 = 64$. Так как $a, b \ge 0$, то $ab = \sqrt[6]{64} = 2$.

Получаем простую систему для $a$ и $b$:

$$\begin{cases}a+b=3 \\ab=2\end{cases}$$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решая уравнение, находим корни: $(t-1)(t-2) = 0$, откуда $t_1=1$, $t_2=2$.

Возможны два случая:

1. $a=1, b=2$.

$\sqrt[6]{x} = 1 \implies x = 1^6 = 1$.

$\sqrt[6]{y} = 2 \implies y = 2^6 = 64$.

Получили пару $(1, 64)$.

2. $a=2, b=1$.

$\sqrt[6]{x} = 2 \implies x = 2^6 = 64$.

$\sqrt[6]{y} = 1 \implies y = 1^6 = 1$.

Получили пару $(64, 1)$.

Обе пары удовлетворяют ОДЗ. Проверим их, подставив в исходную систему.

Для $(1, 64)$: $\sqrt[3]{1}\sqrt{64} + \sqrt{1}\sqrt[3]{64} = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 = 12$. Второе уравнение: $1 \cdot 64 = 64$. Решение верное.

Для $(64, 1)$: $\sqrt[3]{64}\sqrt{1} + \sqrt{64}\sqrt[3]{1} = 4 \cdot 1 + 8 \cdot 1 = 12$. Второе уравнение: $64 \cdot 1 = 64$. Решение верное.

Ответ: $(1, 64), (64, 1)$.

б)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2} \\x+y=5\end{cases}$$

ОДЗ: $x > 0$, $y > 0$, так как переменные находятся в знаменателе дроби под корнем.

Рассмотрим первое уравнение. Сделаем замену переменной $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Так как $x, y > 0$, то $t > 0$.

Тогда $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x}{y}}} = \frac{1}{t}$.

Уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$.

Умножим обе части на $2t$ (так как $t \ne 0$):

$2t^2 + 2 = 5t$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.

Корни уравнения: $t_1 = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{5+3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Оба корня положительны, поэтому оба подходят по условию $t > 0$.

Возвращаемся к исходным переменным, рассматривая два случая:

1. $\sqrt{\frac{x}{y}} = 2$.

Возводим обе части в квадрат: $\frac{x}{y} = 4$, откуда $x = 4y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $4y + y = 5$, что дает $5y=5$, то есть $y=1$.

Тогда $x = 4 \cdot 1 = 4$. Получили решение $(4, 1)$.

2. $\sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{1}{2}$.

Возводим обе части в квадрат: $\frac{x}{y} = \frac{1}{4}$, откуда $y = 4x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы: $x + 4x = 5$, что дает $5x=5$, то есть $x=1$.

Тогда $y = 4 \cdot 1 = 4$. Получили решение $(1, 4)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ. Проверка не требуется, так как преобразования были равносильными.

Ответ: $(4, 1), (1, 4)$.

в)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 4 \\x+y=28\end{cases}$$

Сделаем замену переменных: $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Тогда $x = a^3$ и $y = b^3$. Система примет вид:

$$\begin{cases}a+b=4 \\a^3+b^3=28\end{cases}$$

Используем формулу суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Подставим известные значения из системы: $28 = 4(a^2-ab+b^2)$, откуда $a^2-ab+b^2 = 7$.

Выразим $a^2+b^2$ через $(a+b)^2$: $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab = 4^2 - 2ab = 16-2ab$.

Подставим это в уравнение $a^2-ab+b^2 = 7$:

$(16-2ab) - ab = 7$

$16 - 3ab = 7$

$3ab = 9$

$ab = 3$

Теперь у нас есть система для $a$ и $b$:

$$\begin{cases}a+b=4 \\ab=3\end{cases}$$

По обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 4t + 3 = 0$.

Решая уравнение, находим корни: $(t-1)(t-3) = 0$, откуда $t_1=1$, $t_2=3$.

Возможны два случая:

1. $a=1, b=3$.

$\sqrt[3]{x} = 1 \implies x = 1^3 = 1$.

$\sqrt[3]{y} = 3 \implies y = 3^3 = 27$.

Получили пару $(1, 27)$.

2. $a=3, b=1$.

$\sqrt[3]{x} = 3 \implies x = 3^3 = 27$.

$\sqrt[3]{y} = 1 \implies y = 1^3 = 1$.

Получили пару $(27, 1)$.

Проверка для $(1, 27)$: $\sqrt[3]{1}+\sqrt[3]{27}=1+3=4$ и $1+27=28$. Верно.

Проверка для $(27, 1)$: $\sqrt[3]{27}+\sqrt[3]{1}=3+1=4$ и $27+1=28$. Верно.

Ответ: $(1, 27), (27, 1)$.

г)

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\\sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} = 2\end{cases}$$

Сделаем замену переменных: $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$.

Система уравнений в новых переменных будет выглядеть так:

$$\begin{cases}a+b=3 \\a^2 - ab + b^2 = 2\end{cases}$$

Данная система является симметрической. Второй уравнение напоминает неполный квадрат разности, который является одним из множителей в формуле суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Умножим левые и правые части уравнений системы друг на друга:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) = 3 \cdot 2$

$a^3+b^3 = 6$

Теперь найдем произведение $ab$. Возведем первое уравнение системы $a+b=3$ в квадрат:

$(a+b)^2 = 3^2$

$a^2+2ab+b^2 = 9$

Из второго уравнения системы $a^2-ab+b^2=2$ выразим $a^2+b^2 = 2+ab$.

Подставим это выражение в уравнение, полученное после возведения в квадрат:

$(2+ab) + 2ab = 9$

$2+3ab = 9$

$3ab = 7$

$ab = \frac{7}{3}$

Таким образом, $a$ и $b$ должны удовлетворять системе:

$$\begin{cases}a+b=3 \\ab=\frac{7}{3}\end{cases}$$

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$, то есть $t^2 - 3t + \frac{7}{3} = 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{7}{3} = 9 - \frac{28}{3} = \frac{27-28}{3} = -\frac{1}{3}$.

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, не существует действительных значений $a$ и $b$, удовлетворяющих системе.

Это означает, что исходная система уравнений не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет действительных решений.

160. a) $\begin{cases}\sqrt[3]{x+2y} + \sqrt[3]{x-y+2} = 3, \\2x+y = 7;\end{cases}$

б) $\begin{cases}x^2+2y + \sqrt{x^2+2y+1} = 1 \\2x+y = 2;\end{cases}$

в) $\begin{cases}x-y + \sqrt{x^2-4y^2} = 2, \\x^5 \sqrt{x^2-4y^2} = 0;\end{cases}$

г) $\begin{cases}\frac{1}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{y}} = \frac{1}{6}, \\\sqrt[3]{xy} = 6.\end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x+2y} + \sqrt[3]{x-y+2} = 3 \\ 2x+y=7 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 7 - 2x$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\sqrt[3]{x+2(7-2x)} + \sqrt[3]{x-(7-2x)+2} = 3$

$\sqrt[3]{x+14-4x} + \sqrt[3]{x-7+2x+2} = 3$

$\sqrt[3]{14-3x} + \sqrt[3]{3x-5} = 3$

Введем новые переменные. Пусть $a = \sqrt[3]{14-3x}$ и $b = \sqrt[3]{3x-5}$.

Тогда уравнение примет вид $a+b=3$.

Также найдем сумму кубов наших переменных:

$a^3 = 14-3x$

$b^3 = 3x-5$

$a^3 + b^3 = (14-3x) + (3x-5) = 9$.

Получим систему уравнений для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a+b=3 \\ a^3+b^3=9 \end{cases} $$

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$:

$9 = 3(a^2-ab+b^2)$

$a^2-ab+b^2=3$

Выразим $a^2+b^2$ из $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Так как $a+b=3$, то $a^2+2ab+b^2=9$.

Подставим $a^2+b^2=9-2ab$ в уравнение $a^2-ab+b^2=3$:

$(9-2ab)-ab=3$

$9-3ab=3$

$3ab=6 \implies ab=2$.

Теперь решаем систему:

$$ \begin{cases} a+b=3 \\ ab=2 \end{cases} $$

По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2-3t+2=0$.

Корни этого уравнения $t_1=1$ и $t_2=2$.

Рассмотрим два случая:

1. $a=1, b=2$.

$\sqrt[3]{14-3x}=1 \implies 14-3x=1 \implies 3x=13 \implies x=\frac{13}{3}$.

Находим $y$: $y = 7 - 2(\frac{13}{3}) = \frac{21-26}{3} = -\frac{5}{3}$.

Первое решение: $(\frac{13}{3}, -\frac{5}{3})$.

2. $a=2, b=1$.

$\sqrt[3]{14-3x}=2 \implies 14-3x=8 \implies 3x=6 \implies x=2$.

Находим $y$: $y = 7 - 2(2) = 7-4 = 3$.

Второе решение: $(2, 3)$.

Проверка показывает, что оба решения верны.

Ответ: $(2, 3)$, $(\frac{13}{3}, -\frac{5}{3})$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2+2y+\sqrt{x^2+2y+1} = 1 \\ 2x+y=2 \end{cases} $$

В первом уравнении сделаем замену. Пусть $t = x^2+2y$.

Уравнение примет вид: $t + \sqrt{t+1} = 1$.

Перенесем $t$ в правую часть: $\sqrt{t+1} = 1 - t$.

Область допустимых значений для этого уравнения: $t+1 \ge 0 \implies t \ge -1$ и $1-t \ge 0 \implies t \le 1$. Таким образом, $-1 \le t \le 1$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$t+1 = (1-t)^2 = 1 - 2t + t^2$.

$t^2 - 3t = 0$.

$t(t-3) = 0$.

Получаем два возможных значения для $t$: $t_1=0$ и $t_2=3$.

Проверяем по условию $-1 \le t \le 1$. Корень $t=3$ не подходит. Остается только $t=0$.

Значит, $x^2+2y=0$.

Теперь решаем новую, более простую систему:

$$ \begin{cases} x^2+2y=0 \\ 2x+y=2 \end{cases} $$

Из второго уравнения выражаем $y = 2 - 2x$ и подставляем в первое:

$x^2 + 2(2-2x) = 0$.

$x^2 - 4x + 4 = 0$.

Это полный квадрат: $(x-2)^2 = 0$.

Отсюда $x=2$.

Находим $y$: $y = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2$.

Проверка: $2(2)+(-2)=2$, $2^2+2(-2)+\sqrt{2^2+2(-2)+1} = 4-4+\sqrt{1}=1$. Решение верное.

Ответ: $(2, -2)$.

в)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y + \sqrt{x^2 - 4y^2} = 2 \\ x^5 \sqrt{x^2 - 4y^2} = 0 \end{cases} $$

Рассмотрим второе уравнение. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю. Также должно выполняться условие $x^2 - 4y^2 \ge 0$.

Случай 1: $x^5 = 0 \implies x=0$.

Подставим $x=0$ в условие $x^2 - 4y^2 \ge 0$:

$0^2 - 4y^2 \ge 0 \implies -4y^2 \ge 0$.

Это неравенство выполняется только при $y=0$.

Проверим пару $(0, 0)$ в первом уравнении:

$0 - 0 + \sqrt{0^2 - 4(0)^2} = 0$.

Получили $0=2$, что неверно. Значит, $(0,0)$ не является решением.

Случай 2: $\sqrt{x^2 - 4y^2} = 0$.

Отсюда следует, что $x^2 - 4y^2 = 0$, или $x^2 = 4y^2$, что дает $x=2y$ или $x=-2y$.

Подставим $\sqrt{x^2 - 4y^2} = 0$ в первое уравнение системы:

$x - y + 0 = 2 \implies x-y=2$.

Теперь нужно решить две системы:

Подслучай 2а: $$ \begin{cases} x-y=2 \\ x=2y \end{cases} $$

Подставляем второе в первое: $2y-y=2 \implies y=2$.

Тогда $x=2y=4$.

Получили решение $(4, 2)$. Проверка: $4^2-4(2^2)=16-16=0$, условие выполнено. $4-2+\sqrt{0}=2$, верно. $4^5\sqrt{0}=0$, верно.

Подслучай 2б: $$ \begin{cases} x-y=2 \\ x=-2y \end{cases} $$

Подставляем второе в первое: $-2y-y=2 \implies -3y=2 \implies y=-\frac{2}{3}$.

Тогда $x=-2y = -2(-\frac{2}{3}) = \frac{4}{3}$.

Получили решение $(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3})$. Проверка: $(\frac{4}{3})^2-4(-\frac{2}{3})^2=\frac{16}{9}-4(\frac{4}{9})=0$, условие выполнено. $\frac{4}{3}-(-\frac{2}{3})+\sqrt{0}=\frac{6}{3}=2$, верно. $(\frac{4}{3})^5\sqrt{0}=0$, верно.

Ответ: $(4, 2)$, $(\frac{4}{3}, -\frac{2}{3})$.

г)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} - \frac{1}{\sqrt[3]{y}} = \frac{1}{6} \\ \sqrt[3]{xy} = 6 \end{cases} $$

Введем новые переменные: $a = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$ и $b = \frac{1}{\sqrt[3]{y}}$.

Тогда первое уравнение примет вид: $a - b = \frac{1}{6}$.

Преобразуем второе уравнение. $\sqrt[3]{xy} = \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{y}$.

Из наших замен имеем $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{a}$ и $\sqrt[3]{y} = \frac{1}{b}$.

Тогда второе уравнение: $\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} = 6 \implies \frac{1}{ab} = 6 \implies ab = \frac{1}{6}$.

Получаем систему для $a$ и $b$:

$$ \begin{cases} a-b = \frac{1}{6} \\ ab = \frac{1}{6} \end{cases} $$

Из первого уравнения $a = b + \frac{1}{6}$. Подставляем во второе:

$(b + \frac{1}{6})b = \frac{1}{6}$

$b^2 + \frac{1}{6}b - \frac{1}{6} = 0$

Умножим на 6, чтобы избавиться от дробей: $6b^2 + b - 1 = 0$.

Решаем квадратное уравнение через дискриминант: $D = 1^2 - 4(6)(-1) = 1+24=25$.

$b = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-1 \pm 5}{12}$.

$b_1 = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$, $b_2 = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$.

Находим соответствующие значения $a$:

1. Если $b = \frac{1}{3}$, то $a = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2+1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $a = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \implies \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \implies \sqrt[3]{x}=2 \implies x=8$.

$b = \frac{1}{\sqrt[3]{y}} \implies \frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt[3]{y}} \implies \sqrt[3]{y}=3 \implies y=27$.

Первое решение: $(8, 27)$.

2. Если $b = -\frac{1}{2}$, то $a = -\frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{-3+1}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Возвращаемся к $x$ и $y$: $a = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \implies -\frac{1}{3} = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \implies \sqrt[3]{x}=-3 \implies x=-27$.

$b = \frac{1}{\sqrt[3]{y}} \implies -\frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt[3]{y}} \implies \sqrt[3]{y}=-2 \implies y=-8$.

Второе решение: $(-27, -8)$.

Оба решения удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(8, 27)$, $(-27, -8)$.

161. a) $\left\{ \begin{array}{l} x^2 - y \sqrt{xy} = 36, \\ y^2 - x \sqrt{xy} = 72; \end{array} \right.$

б) $\left\{ \begin{array}{l} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2}, \\ xy - x - y = 0. \end{array} \right.$

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 - y\sqrt{xy} = 36 \\ y^2 - x\sqrt{xy} = 72 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $xy \ge 0$. Это означает, что переменные $x$ и $y$ должны быть одного знака или хотя бы одна из них должна быть равна нулю.

Проверим случай, когда одна из переменных равна нулю. Если $x = 0$, первое уравнение принимает вид $0 - y\sqrt{0} = 36$, то есть $0 = 36$, что является противоречием. Если $y = 0$, второе уравнение дает $0 - x\sqrt{0} = 72$, то есть $0 = 72$, что также является противоречием. Следовательно, $x \ne 0$ и $y \ne 0$, а значит, $x$ и $y$ должны иметь одинаковый знак.

Рассмотрим случай, когда $x > 0$ и $y > 0$. В этом случае можно сделать замену $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$, где $u > 0, v > 0$. Система уравнений примет вид: $ \begin{cases} u^4 - v^2\sqrt{u^2v^2} = 36 \\ v^4 - u^2\sqrt{u^2v^2} = 72 \end{cases} $ , что упрощается до $ \begin{cases} u^4 - v^2(uv) = 36 \implies u(u^3 - v^3) = 36 \\ v^4 - u^2(uv) = 72 \implies v(v^3 - u^3) = 72 \end{cases} $ .

Пусть $D = u^3 - v^3$. Тогда система выглядит как $uD = 36$ и $v(-D) = 72$. Из этих уравнений выразим $D$: $D = 36/u$ и $D = -72/v$. Приравнивая выражения для $D$, получаем $36/u = -72/v$, откуда $v = -2u$. Поскольку по определению $u > 0$ и $v > 0$, это уравнение не имеет решений. Таким образом, у системы нет решений при $x > 0$ и $y > 0$.

Рассмотрим случай, когда $x < 0$ и $y < 0$. Сделаем замену $x = -a$ и $y = -b$, где $a > 0$ и $b > 0$. Система примет вид: $ \begin{cases} (-a)^2 - (-b)\sqrt{(-a)(-b)} = 36 \implies a^2 + b\sqrt{ab} = 36 \\ (-b)^2 - (-a)\sqrt{(-a)(-b)} = 72 \implies b^2 + a\sqrt{ab} = 72 \end{cases} $ .

Так как правые части уравнений не равны нулю, мы можем поделить второе уравнение на первое: $\frac{b^2 + a\sqrt{ab}}{a^2 + b\sqrt{ab}} = \frac{72}{36} = 2$.

Отсюда $b^2 + a\sqrt{ab} = 2(a^2 + b\sqrt{ab})$, что равносильно $b^2 + a\sqrt{ab} = 2a^2 + 2b\sqrt{ab}$, или $b^2 - 2a^2 = b\sqrt{ab}$. Это уравнение является однородным. Чтобы его решить, можно переписать его как $b^2 + a^{3/2}b^{1/2} = 2a^2 + 2a^{1/2}b^{3/2}$. Разделим обе части на $a^2$ (поскольку $a \ne 0$): $(\frac{b}{a})^2 + \sqrt{\frac{b}{a}} = 2 + 2(\frac{b}{a})\sqrt{\frac{b}{a}}$.

Введем замену $t = b/a$, где $t > 0$. Уравнение примет вид $t^2 + \sqrt{t} = 2 + 2t\sqrt{t}$. Перегруппируем члены: $t^2 - 2 = \sqrt{t}(2t - 1)$. Для решения возведем обе части в квадрат (потребуется проверка на посторонние корни): $(t^2-2)^2 = t(2t-1)^2 \implies t^4 - 4t^2 + 4 = t(4t^2 - 4t + 1) \implies t^4 - 4t^2 + 4 = 4t^3 - 4t^2 + t$.

Это приводит к уравнению $t^4 - 4t^3 - t + 4 = 0$. Разложим левую часть на множители: $t^3(t-4) - (t-4) = 0 \implies (t-4)(t^3-1) = 0 \implies (t-4)(t-1)(t^2+t+1)=0$. Так как $t^2+t+1 > 0$ для всех действительных $t$, получаем два возможных решения: $t=4$ или $t=1$.

Проверим эти корни в уравнении до возведения в квадрат: $t^2 - 2 = \sqrt{t}(2t - 1)$.
Для $t=1$: $1^2 - 2 = -1$, а $\sqrt{1}(2 \cdot 1 - 1) = 1$. Так как $-1 \ne 1$, $t=1$ — посторонний корень.
Для $t=4$: $4^2 - 2 = 14$, а $\sqrt{4}(2 \cdot 4 - 1) = 2(7) = 14$. Так как $14=14$, $t=4$ — истинный корень.

Итак, $b/a = 4$, то есть $b=4a$. Подставим это соотношение в первое уравнение системы для $a, b$: $a^2 + (4a)\sqrt{a(4a)} = 36 \implies a^2 + 4a\sqrt{4a^2} = 36$. Так как $a>0$, $\sqrt{4a^2}=2a$. Получаем $a^2 + 4a(2a) = 36 \implies a^2 + 8a^2 = 36 \implies 9a^2 = 36 \implies a^2 = 4$. Так как $a>0$, $a=2$. Тогда $b=4a=8$.

Возвращаясь к исходным переменным, получаем $x=-a=-2$ и $y=-b=-8$.

Ответ: $(-2, -8)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2} \\ xy - x - y = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения следует, что выражения под корнями должны быть положительными: $\frac{6x}{x+y} > 0$. Это означает, что $x \ne 0$ и $x+y \ne 0$.

Сделаем замену в первом уравнении: пусть $t = \sqrt{\frac{6x}{x+y}}$. Так как выражение под корнем положительно, $t > 0$. Тогда $\sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид: $t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$.

Домножим на $2t$ (так как $t \ne 0$): $2t^2 + 2 = 5t \implies 2t^2 - 5t + 2 = 0$. Решим квадратное уравнение для $t$: $t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$. Получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = \frac{8}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Рассмотрим оба случая:
1) Если $t = 2$, то $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = 2 \implies \frac{6x}{x+y} = 4 \implies 6x = 4x + 4y \implies 2x = 4y \implies x = 2y$.
2) Если $t = 1/2$, то $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} = \frac{1}{2} \implies \frac{6x}{x+y} = \frac{1}{4} \implies 24x = x + y \implies 23x = y$.

Теперь рассмотрим второе уравнение системы: $xy - x - y = 0$. Его можно преобразовать, прибавив 1 к обеим частям: $xy - x - y + 1 = 1 \implies (x-1)(y-1) = 1$.

Подставим в это уравнение найденные соотношения между $x$ и $y$:
1) Для $x=2y$: $(2y-1)(y-1) = 1 \implies 2y^2 - 3y + 1 = 1 \implies 2y^2 - 3y = 0 \implies y(2y-3) = 0$. Поскольку $x \ne 0$, то и $y \ne 0$. Следовательно, $y=0$ не является решением. Остается $2y-3=0 \implies y=3/2$. Тогда $x=2y=2(3/2)=3$. Получили решение $(3, 3/2)$.
2) Для $y=23x$: $(x-1)(23x-1) = 1 \implies 23x^2 - 24x + 1 = 1 \implies 23x^2 - 24x = 0 \implies x(23x-24)=0$. Так как $x \ne 0$, остается $23x-24=0 \implies x=24/23$. Тогда $y=23x=23(24/23)=24$. Получили решение $(24/23, 24)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ, так как в обоих случаях $x > 0$ и $y > 0$, что обеспечивает $\frac{6x}{x+y} > 0$.

Ответ: $(3, 3/2), (24/23, 24)$.

162. a) $\begin{cases} x\sqrt{x} + 3y\sqrt{x} = 36, \\ y\sqrt{y} + 3x\sqrt{y} = 28; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[3]{y} = 3\sqrt[6]{xy}, \\ x - y = 63; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x - \sqrt{xy} + 2y = 29, \\ 2x - \sqrt{xy} - y = 20; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x^2-y^2}} = \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}, \\ x^3 + 2y^3 = 118. \end{cases}$

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} x\sqrt{x} + 3y\sqrt{x} = 36 \\ y\sqrt{y} + 3x\sqrt{y} = 28 \end{cases} $$ Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Если $x=0$ или $y=0$, то левые части уравнений равны нулю, что не соответствует правым частям (36 и 28). Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.

Перепишем систему, используя свойства степеней: $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$ и $y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$. $$ \begin{cases} (\sqrt{x})^3 + 3y\sqrt{x} = 36 \\ (\sqrt{y})^3 + 3x\sqrt{y} = 28 \end{cases} $$ Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $a > 0$ и $b > 0$. Тогда $x=a^2$ и $y=b^2$. Система примет вид: $$ \begin{cases} a^3 + 3b^2a = 36 \\ b^3 + 3a^2b = 28 \end{cases} $$

Заметим, что левые части уравнений напоминают члены из формулы куба суммы и куба разности. Сложим два уравнения системы: $$(a^3 + 3ab^2) + (b^3 + 3a^2b) = 36 + 28$$ $$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = 64$$ $$(a+b)^3 = 64$$ Так как $a$ и $b$ - действительные числа, $a+b = \sqrt[3]{64} = 4$.

Теперь вычтем второе уравнение из первого: $$(a^3 + 3ab^2) - (b^3 + 3a^2b) = 36 - 28$$ $$a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = 8$$ $$(a-b)^3 = 8$$ $$a-b = \sqrt[3]{8} = 2$$

Мы получили новую, более простую систему для $a$ и $b$: $$ \begin{cases} a+b=4 \\ a-b=2 \end{cases} $$ Сложив эти два уравнения, получим: $2a = 6 \implies a=3$.
Подставив $a=3$ в первое уравнение, найдем $b$: $3+b=4 \implies b=1$.

Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$: $$a = \sqrt{x} \implies 3 = \sqrt{x} \implies x = 9$$ $$b = \sqrt{y} \implies 1 = \sqrt{y} \implies y = 1$$ Проверим найденное решение $(9; 1)$ в исходной системе.
$9\sqrt{9} + 3(1)\sqrt{9} = 9 \cdot 3 + 3 \cdot 3 = 27+9=36$.
$1\sqrt{1} + 3(9)\sqrt{1} = 1 \cdot 1 + 27 \cdot 1 = 1+27=28$.
Оба уравнения верны.

Ответ: $(9; 1)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2\sqrt[3]{x} - 2\sqrt[3]{y} = 3\sqrt[6]{xy} \\ x - y = 63 \end{cases} $$ Из-за наличия $\sqrt[6]{xy}$, должно выполняться условие $xy \ge 0$. Это значит, что $x$ и $y$ должны быть одного знака, либо одно из них равно нулю. Из второго уравнения $x=y+63$. Если $y=0$, то $x=63$, $xy=0$. Первое уравнение: $2\sqrt[3]{63}=0$, что неверно. Значит, $x \ne 0, y \ne 0$. Следовательно, $x$ и $y$ одного знака.

Случай 1: $x > 0, y > 0$.
Разделим первое уравнение на $\sqrt[3]{y}$ (так как $y \ne 0$): $$2\frac{\sqrt[3]{x}}{\sqrt[3]{y}} - 2 = 3\frac{\sqrt[6]{xy}}{\sqrt[3]{y}} \implies 2\sqrt[3]{\frac{x}{y}} - 2 = 3\frac{\sqrt[6]{x}\sqrt[6]{y}}{(\sqrt[6]{y})^2} \implies 2\sqrt[3]{\frac{x}{y}} - 2 = 3\sqrt[6]{\frac{x}{y}}$$ Сделаем замену $t = \sqrt[6]{\frac{x}{y}}$. Тогда $\sqrt[3]{\frac{x}{y}} = t^2$. Уравнение примет вид: $$2t^2 - 3t - 2 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $t = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(2)(-2)}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$. Получаем два корня: $t_1 = \frac{8}{4} = 2$ и $t_2 = \frac{-2}{4} = -0.5$. Так как $x>0, y>0$, то $t = \sqrt[6]{x/y} > 0$. Поэтому корень $t_2 = -0.5$ является посторонним. Остается $t=2$, то есть $\sqrt[6]{\frac{x}{y}} = 2 \implies \frac{x}{y} = 2^6 = 64 \implies x=64y$.
Подставим это соотношение во второе уравнение системы: $$64y - y = 63 \implies 63y=63 \implies y=1$$ Тогда $x = 64 \cdot 1 = 64$. Получили решение $(64; 1)$.

Случай 2: $x < 0, y < 0$.
Из $x=y+63$ следует, что $x>y$. Условие $x<0$ выполняется при $y < -63$. Пусть $x=-x'$ и $y=-y'$, где $x'>0, y'>0$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 2\sqrt[3]{-x'} - 2\sqrt[3]{-y'} = 3\sqrt[6]{(-x')(-y')} \\ (-x') - (-y') = 63 \end{cases} $$ $$ \begin{cases} -2\sqrt[3]{x'} + 2\sqrt[3]{y'} = 3\sqrt[6]{x'y'} \\ y' - x' = 63 \end{cases} $$ Аналогично первому случаю, разделим первое уравнение на $\sqrt[3]{x'}$: $$-2 + 2\sqrt[3]{\frac{y'}{x'}} = 3\sqrt[6]{\frac{y'}{x'}}$$ Сделаем замену $s = \sqrt[6]{\frac{y'}{x'}}$. Получим $2s^2 - 3s - 2 = 0$, откуда $s=2$ (так как $s>0$). $\sqrt[6]{\frac{y'}{x'}} = 2 \implies \frac{y'}{x'} = 64 \implies y'=64x'$.
Подставим в уравнение $y' - x' = 63$: $$64x' - x' = 63 \implies 63x' = 63 \implies x'=1$$ Тогда $y' = 64 \cdot 1 = 64$.
Возвращаемся к исходным переменным: $x = -x' = -1$ и $y = -y' = -64$. Проверим это решение: $x-y = -1 - (-64) = 63$. Верно. $2\sqrt[3]{-1} - 2\sqrt[3]{-64} = 2(-1) - 2(-4) = -2+8=6$. $3\sqrt[6]{(-1)(-64)} = 3\sqrt[6]{64} = 3 \cdot 2 = 6$. Верно.

Ответ: $(64; 1)$, $(-1; -64)$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3x - \sqrt{xy} + 2y = 29 \\ 2x - \sqrt{xy} - y = 20 \end{cases} $$ Область допустимых значений: $xy \ge 0$. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от члена с корнем: $$(3x - \sqrt{xy} + 2y) - (2x - \sqrt{xy} - y) = 29 - 20$$ $$x + 3y = 9$$ Отсюда выразим $x$: $x = 9 - 3y$.

Для существования $\sqrt{xy}$ необходимо, чтобы $xy \ge 0$. Подставим выражение для $x$: $$(9-3y)y \ge 0 \implies 3y(3-y) \ge 0$$ Это неравенство выполняется при $y \in [0; 3]$.

Теперь подставим $x = 9-3y$ во второе уравнение исходной системы: $$2(9-3y) - \sqrt{(9-3y)y} - y = 20$$ $$18 - 6y - y - \sqrt{9y - 3y^2} = 20$$ $$18 - 7y - \sqrt{9y - 3y^2} = 20$$ $$-\sqrt{9y - 3y^2} = 7y + 2$$

Левая часть этого уравнения ($-\sqrt{...}$) не может быть положительной, то есть $-\sqrt{9y - 3y^2} \le 0$. Следовательно, правая часть также должна быть неположительной: $$7y + 2 \le 0$$ $$7y \le -2$$ $$y \le -\frac{2}{7}$$

Мы получили два условия для $y$: 1. $y \in [0; 3]$ 2. $y \le -2/7$
Эти два условия несовместимы, так как нет значений $y$, которые одновременно были бы меньше или равны $-2/7$ и находились бы в промежутке от 0 до 3. Следовательно, система не имеет действительных решений.

Ответ: решений нет.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2-y^2}}{\sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x^2-y^2}} = \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}} \\ x^3 + 2y^3 = 118 \end{cases} $$ ОДЗ: $x^2-y^2 \ge 0 \implies x^2 \ge y^2$, и знаменатель не равен нулю, что означает $\sqrt{x^2+y^2} \ne \sqrt{x^2-y^2} \implies y \ne 0$.

Упростим первое уравнение. Воспользуемся свойством пропорций: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$. Пусть $a = \sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2-y^2}$ и $b = \sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x^2-y^2}$. Тогда $\frac{a}{b} = \frac{5+\sqrt{7}}{5-\sqrt{7}}$. Применим свойство: $$\frac{(\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2-y^2}) + (\sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x^2-y^2})}{(\sqrt{x^2+y^2} + \sqrt{x^2-y^2}) - (\sqrt{x^2+y^2} - \sqrt{x^2-y^2})} = \frac{(5+\sqrt{7})+(5-\sqrt{7})}{(5+\sqrt{7})-(5-\sqrt{7})}$$ $$\frac{2\sqrt{x^2+y^2}}{2\sqrt{x^2-y^2}} = \frac{10}{2\sqrt{7}}$$ $$\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2-y^2}} = \frac{5}{\sqrt{7}}$$ Возведем обе части в квадрат: $$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2} = \frac{25}{7}$$ $$7(x^2+y^2) = 25(x^2-y^2)$$ $$7x^2 + 7y^2 = 25x^2 - 25y^2$$ $$32y^2 = 18x^2 \implies 16y^2 = 9x^2$$ Отсюда $4|y| = 3|x|$. Возможны два случая: $4y = 3x$ или $4y = -3x$.

Случай 1: $y = \frac{3}{4}x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$x^3 + 2\left(\frac{3}{4}x\right)^3 = 118$$ $$x^3 + 2\left(\frac{27}{64}x^3\right) = 118$$ $$x^3 + \frac{27}{32}x^3 = 118 \implies \frac{59}{32}x^3 = 118$$ $$x^3 = \frac{118 \cdot 32}{59} = 2 \cdot 32 = 64$$ $x=4$. Тогда $y = \frac{3}{4}(4) = 3$. Проверим ОДЗ: $4^2 \ge 3^2 \implies 16 \ge 9$. Верно. Получили решение $(4; 3)$.

Случай 2: $y = -\frac{3}{4}x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы: $$x^3 + 2\left(-\frac{3}{4}x\right)^3 = 118$$ $$x^3 - 2\left(\frac{27}{64}x^3\right) = 118$$ $$x^3 - \frac{27}{32}x^3 = 118 \implies \frac{5}{32}x^3 = 118$$ $$x^3 = \frac{118 \cdot 32}{5} = \frac{3776}{5}$$ $x = \sqrt[3]{\frac{3776}{5}} = \sqrt[3]{\frac{64 \cdot 59}{5}} = 4\sqrt[3]{\frac{59}{5}}$.
Тогда $y = -\frac{3}{4}x = -\frac{3}{4} \cdot 4\sqrt[3]{\frac{59}{5}} = -3\sqrt[3]{\frac{59}{5}}$. Получили второе решение: $\left(4\sqrt[3]{\frac{59}{5}}; -3\sqrt[3]{\frac{59}{5}}\right)$.

Ответ: $(4; 3)$, $\left(4\sqrt[3]{\frac{59}{5}}; -3\sqrt[3]{\frac{59}{5}}\right)$.