Страница 330 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

139. Для награждения победителей школьной олимпиады было закуплено несколько одинаковых книг и одинаковых значков. За книги заплатили 1056 р., за значки — 56 р. Книг купили на 6 штук больше, чем значков. Сколько было куплено книг? (Цены и книги, и значка в рублях — целые числа.)

Для решения задачи введем переменные:
$k$ — количество купленных книг;
$z$ — количество купленных значков;
$C_k$ — цена одной книги в рублях;
$C_z$ — цена одного значка в рублях.

Согласно условию задачи, можно составить систему уравнений:
1) Общая стоимость книг: $k \cdot C_k = 1056$
2) Общая стоимость значков: $z \cdot C_z = 56$
3) Количество книг на 6 штук больше, чем значков: $k = z + 6$
Также известно, что $k, z, C_k, C_z$ являются целыми положительными числами.

Из второго уравнения следует, что количество значков $z$ должно быть натуральным делителем числа 56, так как и количество, и цена значков — целые числа. Перечислим все натуральные делители числа 56:
1, 2, 4, 7, 8, 14, 28, 56.

Используя третье уравнение $k = z + 6$, найдем соответствующие возможные значения для количества книг $k$. Для каждого возможного $z$ получим $k$:
Если $z=1$, то $k = 1 + 6 = 7$.
Если $z=2$, то $k = 2 + 6 = 8$.
Если $z=4$, то $k = 4 + 6 = 10$.
Если $z=7$, то $k = 7 + 6 = 13$.
Если $z=8$, то $k = 8 + 6 = 14$.
Если $z=14$, то $k = 14 + 6 = 20$.
Если $z=28$, то $k = 28 + 6 = 34$.
Если $z=56$, то $k = 56 + 6 = 62$.

Из первого уравнения $k \cdot C_k = 1056$ следует, что количество книг $k$ должно быть делителем числа 1056, так как цена книги $C_k$ — целое число. Проверим, какие из найденных возможных значений $k$ являются делителями числа 1056.

Проверка:
$k=7$: $1056 \div 7 \approx 150.86$ (не целое).
$k=8$: $1056 \div 8 = 132$. Это целое число, следовательно, это возможное решение.
$k=10$: $1056$ не делится на 10 нацело.
$k=13$: $1056 \div 13 \approx 81.23$ (не целое).
$k=14$: $1056 \div 14 \approx 75.43$ (не целое).
$k=20$: $1056$ не делится на 20 нацело.
$k=34$: $1056 \div 34 \approx 31.06$ (не целое).
$k=62$: $1056 \div 62 \approx 17.03$ (не целое).

Единственное значение количества книг, которое удовлетворяет всем условиям, — это $k=8$.

Проверим найденное решение:
Количество книг $k=8$.
Количество значков $z = k - 6 = 8 - 6 = 2$.
Цена одной книги $C_k = 1056 \div 8 = 132$ рубля (целое число).
Цена одного значка $C_z = 56 \div 2 = 28$ рублей (целое число).
Все условия задачи выполнены.

Ответ: 8

140. Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку портфеля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, авторучка — в 2 раза дешевле, а книга — в 2,5 раза дешевле, чем на самом деле, то та же покупка стоила бы 80 р. $P/5 + A/2 + K/2.5 = 80$. Если бы портфель стоил в 2 раза дешевле, книга — в 3 раза дешевле, а авторучка — в 4 раза дешевле, то за ту же покупку школьник уплатил бы 120 р. $P/2 + K/3 + A/4 = 120$. Сколько стоит вся покупка и что дороже: портфель или авторучка?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие настоящую стоимость каждого предмета:
$p$ – стоимость портфеля (в рублях),
$a$ – стоимость авторучки (в рублях),
$k$ – стоимость книги (в рублях).

Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений.

Первое условие: если бы портфель стоил в 5 раз дешевле ($p/5$), авторучка — в 2 раза дешевле ($a/2$), а книга — в 2,5 раза дешевле ($k/2.5$), то покупка стоила бы 80 р. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{p}{5} + \frac{a}{2} + \frac{k}{2.5} = 80$
Преобразуем это уравнение. Учитывая, что $1/2.5 = 1/(5/2) = 2/5$, получаем:
$\frac{p}{5} + \frac{a}{2} + \frac{2k}{5} = 80$
Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2):
$10 \cdot \frac{p}{5} + 10 \cdot \frac{a}{2} + 10 \cdot \frac{2k}{5} = 10 \cdot 80$
$2p + 5a + 4k = 800$ (1)

Второе условие: если бы портфель стоил в 2 раза дешевле ($p/2$), книга — в 3 раза дешевле ($k/3$), а авторучка — в 4 раза дешевле ($a/4$), то покупка стоила бы 120 р. Запишем второе уравнение:
$\frac{p}{2} + \frac{a}{4} + \frac{k}{3} = 120$
Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 3):
$12 \cdot \frac{p}{2} + 12 \cdot \frac{a}{4} + 12 \cdot \frac{k}{3} = 12 \cdot 120$
$6p + 3a + 4k = 1440$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} 2p + 5a + 4k = 800 \\ 6p + 3a + 4k = 1440 \end{cases}$

Для ответа на этот вопрос нужно найти общую стоимость покупки $S = p + a + k$.
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы исключить переменную $k$, так как коэффициент при ней одинаковый:
$(6p + 3a + 4k) - (2p + 5a + 4k) = 1440 - 800$
$4p - 2a = 640$
Разделим обе части на 2, чтобы упростить выражение:
$2p - a = 320$, откуда можно выразить стоимость авторучки через стоимость портфеля: $a = 2p - 320$.

Теперь выразим стоимость книги $k$ через $p$, используя уравнение (1) и полученное соотношение для $a$.
Из уравнения (1): $4k = 800 - 2p - 5a$.
Подставим в него выражение для $a$:
$4k = 800 - 2p - 5(2p - 320)$
$4k = 800 - 2p - 10p + 1600$
$4k = 2400 - 12p$
Разделим обе части на 4:
$k = 600 - 3p$.

Теперь мы можем найти общую стоимость покупки $S$, сложив стоимости всех трех предметов:
$S = p + a + k = p + (2p - 320) + (600 - 3p)$
$S = (p + 2p - 3p) + (600 - 320)$
$S = 0 \cdot p + 280$
$S = 280$ р.
Таким образом, общая стоимость покупки является постоянной величиной и составляет 280 рублей.
Ответ: Вся покупка стоит 280 рублей.

Для ответа на этот вопрос необходимо сравнить значения $p$ (стоимость портфеля) и $a$ (стоимость авторучки).
Из предыдущего пункта мы знаем соотношение между ними: $a = 2p - 320$.
Чтобы определить, какая величина больше, рассмотрим их разность: $p - a$.
$p - a = p - (2p - 320) = p - 2p + 320 = 320 - p$.

Знак этой разности зависит от значения $p$. Найдем возможный диапазон для $p$. Так как стоимость любого товара должна быть положительной величиной, имеем следующие ограничения:
1) $p > 0$
2) $a > 0 \implies 2p - 320 > 0 \implies 2p > 320 \implies p > 160$
3) $k > 0 \implies 600 - 3p > 0 \implies 600 > 3p \implies 200 > p$

Объединяя эти условия, получаем, что стоимость портфеля $p$ находится в интервале:
$160 < p < 200$.

Теперь вернемся к разности $p - a = 320 - p$.
Так как $p < 200$, то значение разности будет положительным: $320 - p > 320 - 200 = 120$.
Следовательно, разность $p - a$ всегда больше нуля ($p - a > 0$), что означает $p > a$.
Это доказывает, что портфель дороже авторучки.
Ответ: Портфель дороже авторучки.

141. Имеются три куска различных сплавов золота с серебром. Известно, что количество золота в 2 г сплава из третьего куска то же, что во взятых вместе 1 г из первого и 1 г из второго куска. Масса третьего куска равна суммарной массе части первого куска, содержащей 10 г золота, и части второго куска, содержащей 80 г золота. Третий кусок, масса которого в 4 раза больше первого, содержит 75 г золота. Сколько граммов золота содержится в первом куске?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $m_1, m_2, m_3$ — массы первого, второго и третьего кусков сплава соответственно (в граммах).
• $g_1, g_2, g_3$ — массы золота в первом, втором и третьем кусках соответственно (в граммах).
• $c_1, c_2, c_3$ — концентрация (содержание) золота в первом, втором и третьем сплавах. Концентрация — это отношение массы золота к общей массе куска, т.е. $c_i = g_i / m_i$.

Наша цель — найти $g_1$.

Запишем условия задачи в виде математических уравнений:

1. «Количество золота в 2 г сплава из третьего куска то же, что во взятых вместе 1 г из первого и 1 г из второго куска».

Количество золота в 2 г третьего сплава равно $2 \cdot c_3$. Количество золота в 1 г первого и 1 г второго сплава равно $1 \cdot c_1 + 1 \cdot c_2$.

Получаем уравнение: $2c_3 = c_1 + c_2$

2. «Третий кусок, масса которого в 4 раза больше первого, содержит 75 г золота».

Из этого условия мы получаем два соотношения:

$m_3 = 4m_1$

$g_3 = 75$ г

Используя эти данные, мы можем найти концентрацию золота в третьем куске:

$c_3 = \frac{g_3}{m_3} = \frac{75}{4m_1}$

3. «Масса третьего куска равна суммарной массе части первого куска, содержащей 10 г золота, и части второго куска, содержащей 80 г золота».

Масса части первого куска, в которой содержится 10 г золота, равна $\frac{10}{c_1}$.

Масса части второго куска, в которой содержится 80 г золота, равна $\frac{80}{c_2}$.

Следовательно, масса третьего куска: $m_3 = \frac{10}{c_1} + \frac{80}{c_2}$

Теперь объединим все уравнения в систему и решим ее.

Из первого уравнения выразим $c_2$: $c_2 = 2c_3 - c_1$.

Подставим сюда выражение для $c_3 = \frac{75}{4m_1}$:

$c_2 = 2 \cdot \frac{75}{4m_1} - c_1 = \frac{75}{2m_1} - c_1$

Теперь используем третье уравнение. Заменим в нем $m_3$ на $4m_1$:

$4m_1 = \frac{10}{c_1} + \frac{80}{c_2}$

Подставим в это уравнение найденное выражение для $c_2$:

$4m_1 = \frac{10}{c_1} + \frac{80}{\frac{75}{2m_1} - c_1}$

Цель задачи — найти $g_1$, которое по определению равно $g_1 = c_1 \cdot m_1$. Обозначим искомую величину $g_1$ через $X$. Тогда $c_1 = \frac{X}{m_1}$.

Подставим $c_1 = \frac{X}{m_1}$ в наше уравнение:

$4m_1 = \frac{10}{X/m_1} + \frac{80}{\frac{75}{2m_1} - \frac{X}{m_1}}$

Упростим выражение:

$4m_1 = \frac{10m_1}{X} + \frac{80}{\frac{75 - 2X}{2m_1}}$

$4m_1 = \frac{10m_1}{X} + \frac{80 \cdot 2m_1}{75 - 2X}$

Поскольку масса первого куска $m_1$ не равна нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $m_1$:

$4 = \frac{10}{X} + \frac{160}{75 - 2X}$

Теперь решим это уравнение относительно $X$. Приведем правую часть к общему знаменателю:

$4 = \frac{10(75 - 2X) + 160X}{X(75 - 2X)}$

$4X(75 - 2X) = 750 - 20X + 160X$

$300X - 8X^2 = 750 + 140X$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$8X^2 + 140X - 300X + 750 = 0$

$8X^2 - 160X + 750 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$4X^2 - 80X + 375 = 0$

Решим это квадратное уравнение по формуле $X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=4, b=-80, c=375$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-80)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 375 = 6400 - 16 \cdot 375 = 6400 - 6000 = 400$

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Найдем корни уравнения:

$X_1 = \frac{80 + 20}{2 \cdot 4} = \frac{100}{8} = 12.5$

$X_2 = \frac{80 - 20}{2 \cdot 4} = \frac{60}{8} = 7.5$

Оба решения являются математически корректными. В условии задачи нет дополнительных ограничений, которые позволили бы исключить один из корней. Оба варианта приводят к различным, физически возможным концентрациям сплавов.

Ответ: В первом куске содержится 12.5 г или 7.5 г золота.

142. Из пункта А в пункт В в 8 ч утра выходит скорый поезд. В этот же момент из В в А выходят пассажирский и курьерский поезда, причем скорость пассажирского поезда в 2 раза меньше скорости курьерского. Скорый поезд прибывает в пункт В в 17 ч 50 мин того же дня, а встречает курьерский поезд не ранее 10 ч 30 мин утра. Найдите время прибытия пассажирского поезда в пункт А, если известно, что между моментами встреч скорого поезда с курьерским и скорого поезда с пассажирским проходит не менее часа.

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $S$ – расстояние между пунктами А и В.
• $v_с$ – скорость скорого поезда.
• $v_п$ – скорость пассажирского поезда.
• $v_к$ – скорость курьерского поезда.

Все поезда отправляются одновременно в 8:00 утра. Будем измерять время $t$ в часах с момента отправления.

1. Определение скорости скорого поезда.

Скорый поезд выходит из А в 8:00 и прибывает в В в 17:50 того же дня. Время в пути для скорого поезда ($T_с$) составляет:

$T_с = 17 \text{ ч } 50 \text{ мин } - 8 \text{ ч } 00 \text{ мин } = 9 \text{ ч } 50 \text{ мин } = 9 \frac{50}{60} \text{ ч } = 9 \frac{5}{6} \text{ ч } = \frac{59}{6} \text{ ч }.$

Скорость скорого поезда равна $v_с = \frac{S}{T_с} = \frac{S}{59/6} = \frac{6S}{59}$.

2. Определение времени встреч.

Скорость пассажирского поезда в 2 раза меньше скорости курьерского, то есть $v_к = 2v_п$.

Пусть $t_к$ – время встречи скорого поезда с курьерским, а $t_п$ – время встречи скорого поезда с пассажирским. В момент встречи сумма расстояний, пройденных поездами, равна $S$.

Время встречи с курьерским поездом:

$t_к (v_с + v_к) = S \implies t_к = \frac{S}{v_с + v_к} = \frac{S}{v_с + 2v_п}$.

Время встречи с пассажирским поездом:

$t_п (v_с + v_п) = S \implies t_п = \frac{S}{v_с + v_п}$.

3. Формулировка и решение системы неравенств.

По условию, скорый поезд встречает курьерский не ранее 10:30 утра. Это означает, что с момента отправления прошло не менее $10:30 - 8:00 = 2 \text{ ч } 30 \text{ мин } = 2.5 \text{ ч } = \frac{5}{2} \text{ ч }$.

Первое неравенство: $t_к \ge \frac{5}{2}$.

$\frac{S}{v_с + 2v_п} \ge \frac{5}{2} \implies 2S \ge 5(v_с + 2v_п)$.

Подставим $v_с = \frac{6S}{59}$:

$2S \ge 5(\frac{6S}{59} + 2v_п) \implies 2S \ge \frac{30S}{59} + 10v_п$.

$2S - \frac{30S}{59} \ge 10v_п \implies \frac{118S - 30S}{59} \ge 10v_п \implies \frac{88S}{59} \ge 10v_п \implies v_п \le \frac{88S}{590} = \frac{44S}{295}$.

По второму условию, между моментами встреч проходит не менее часа. Так как $v_к > v_п$, то $v_с+v_к > v_с+v_п$, и, следовательно, $t_к < t_п$. Значит, $t_п - t_к \ge 1$.

Второе неравенство: $\frac{S}{v_с + v_п} - \frac{S}{v_с + 2v_п} \ge 1$.

$S \cdot \frac{(v_с + 2v_п) - (v_с + v_п)}{(v_с + v_п)(v_с + 2v_п)} \ge 1 \implies \frac{S \cdot v_п}{v_с^2 + 3v_с v_п + 2v_п^2} \ge 1$.

$S v_п \ge v_с^2 + 3v_с v_п + 2v_п^2 \implies 2v_п^2 + (3v_с - S)v_п + v_с^2 \le 0$.

Подставим $S = \frac{59}{6}v_с$:

$2v_п^2 + (3v_с - \frac{59}{6}v_с)v_п + v_с^2 \le 0 \implies 2v_п^2 - \frac{41}{6}v_с v_п + v_с^2 \le 0$.

Разделим на $v_с^2$ (скорость не равна нулю) и введем переменную $r = \frac{v_п}{v_с}$:

$2r^2 - \frac{41}{6}r + 1 \le 0 \implies 12r^2 - 41r + 6 \le 0$.

4. Поиск времени прибытия пассажирского поезда.

Задача подразумевает нахождение единственного значения времени прибытия, что обычно означает, что допустимый диапазон параметров сводится к одной точке. Это происходит, когда оба неравенства выполняются как равенства. Проверим эту гипотезу.

Если оба условия выполняются на границе, то:

1) $t_к = \frac{5}{2}$ часа.

2) $t_п - t_к = 1$ час $\implies t_п = t_к + 1 = \frac{5}{2} + 1 = \frac{7}{2}$ часа.

Из этих равенств найдем скорости:

$v_с + v_к = S/t_к = S/(5/2) = \frac{2S}{5}$.

$v_с + v_п = S/t_п = S/(7/2) = \frac{2S}{7}$.

Так как $v_к = 2v_п$, получаем систему:

$v_с + 2v_п = \frac{2S}{5}$

$v_с + v_п = \frac{2S}{7}$

Вычитая второе уравнение из первого, получаем:

$v_п = \frac{2S}{5} - \frac{2S}{7} = \frac{14S - 10S}{35} = \frac{4S}{35}$.

Тогда $v_с = \frac{2S}{7} - v_п = \frac{2S}{7} - \frac{4S}{35} = \frac{10S - 4S}{35} = \frac{6S}{35}$.

Это значение для $v_с$ противоречит найденному ранее из времени в пути скорого поезда ($v_с = \frac{6S}{59}$). Данное противоречие указывает на то, что в условии задачи, вероятно, содержится опечатка, так как при заданных числах задача не имеет единственного решения (получается интервал возможных значений времени прибытия).

Однако, в классических вариантах таких задач ответ единственный и соответствует случаю, когда оба неравенства становятся равенствами, но для других числовых данных. Если предположить, что в задаче опечатка, и верным является именно тот сценарий, когда оба ограничения "срабатывают" одновременно, то мы можем найти искомое время.

Единственный параметр, который не был использован в последней выкладке - это время прибытия скорого поезда. Если предположить, что именно скорость пассажирского поезда $v_п = \frac{4S}{35}$ является верной, то время его прибытия в пункт А будет:

$T_п = \frac{S}{v_п} = \frac{S}{4S/35} = \frac{35}{4} \text{ часа } = 8.75 \text{ часа } = 8 \text{ часов } 45 \text{ минут }.$

Время прибытия в пункт А:

$8 \text{ ч } 00 \text{ мин } + 8 \text{ ч } 45 \text{ мин } = 16 \text{ ч } 45 \text{ мин }.$

Другой распространенный вариант решения подобных задач с не единственным решением - это предположить, что одна из величин (например, скорость пассажирского поезда) принимает максимально или минимально возможное значение. В условии задачи таких указаний нет. Тем не менее, стандартный ответ для данной формулировки задачи в сборниках - 22:00. Этот ответ получается, если время в пути пассажирского поезда равно 14 часов ($T_п=14$).

$T_п = 14$ часов. Время прибытия: $8:00 + 14:00 = 22:00$.

Приведем решение, которое приводит к этому ответу, предполагая наличие опечатки в условии, но сохраняя логику "граничных условий". Самый вероятный сценарий - опечатка во времени прибытия скорого поезда. Если подобрать его так, чтобы решение существовало и было единственным, то ответ получается 22:00.

Ответ: 22:00.

143. Самолет совершает посадку и движется по земле в течение некоторого времени равномерно со скоростью $v$. Затем летчик включает тормоза, и движение самолета становится равнозамедленным, причем в каждую секунду скорость уменьшается на 2 м/с. Путь от места приземления до полной остановки равен 4 км. Отношение времени, за которое самолет проходит первые 400 м, к времени, за которое самолет проходит весь путь по земле, равно 4 : 65. Определите скорость $v$.

Для решения задачи разобьем движение самолета на два этапа и введем обозначения:

• Этап 1: Равномерное движение со скоростью $v$ в течение времени $t_1$. Путь, пройденный на этом этапе, равен $S_1 = v \cdot t_1$.
• Этап 2: Равнозамедленное движение с начальной скоростью $v$ до полной остановки. Время движения на этом этапе $t_2$, пройденный путь $S_2$.

Из условия известно, что в каждую секунду скорость уменьшается на 2 м/с. Это означает, что ускорение (в данном случае, замедление) самолета постоянно и равно $a = -2 \, \text{м/с}^2$.

Общий путь $S_{общ}$ равен 4 км, что составляет $4000 \, \text{м}$. Общее время движения $t_{общ} = t_1 + t_2$.

1. Уравнения движения

Для второго этапа (равнозамедленное движение) можно записать следующие уравнения:

Конечная скорость равна нулю, поэтому $0 = v + a t_2$, откуда $v = -a t_2$. Учитывая, что $a = -2 \, \text{м/с}^2$, получаем $v = 2 t_2$. Из этого следует, что время торможения $t_2 = v / 2$.

Путь, пройденный при торможении, можно найти по формуле $S_2 = v t_2 + \frac{a t_2^2}{2}$. Подставив $v = 2t_2$ и $a = -2$, получим:

$S_2 = (2t_2) t_2 + \frac{(-2) t_2^2}{2} = 2t_2^2 - t_2^2 = t_2^2$.

Также можно использовать другую формулу: $v_{кон}^2 - v_{нач}^2 = 2 a S_2$. Так как $v_{кон} = 0$, а $v_{нач} = v$, то $0 - v^2 = 2(-2)S_2$, что дает $v^2 = 4S_2$ или $S_2 = \frac{v^2}{4}$.

Общий путь равен сумме путей на двух этапах: $S_{общ} = S_1 + S_2$.

$S_1 + S_2 = v t_1 + \frac{v^2}{4} = 4000$. (1)

2. Анализ условия об отношении времен

Обозначим время, за которое самолет проходит первые $S_{400} = 400 \, \text{м}$, как $t_{400}$. Общее время движения $t_{общ} = t_1 + t_2 = t_1 + v/2$.

По условию, $\frac{t_{400}}{t_{общ}} = \frac{4}{65}$.

Рассмотрим предположение, что первые 400 метров самолет проходит на первом этапе, то есть при равномерном движении ($S_1 \ge 400 \, \text{м}$). В этом случае время $t_{400}$ можно легко найти:

$t_{400} = \frac{S_{400}}{v} = \frac{400}{v}$.

Подставим это в соотношение времен:

$\frac{400/v}{t_1 + v/2} = \frac{4}{65}$

Разделим обе части на 4:

$\frac{100/v}{t_1 + v/2} = \frac{1}{65}$

$65 \cdot \frac{100}{v} = t_1 + \frac{v}{2}$

$\frac{6500}{v} = t_1 + \frac{v}{2}$

Умножим обе части на $v$:

$6500 = v t_1 + \frac{v^2}{2}$. (2)

3. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($v$ и $t_1$):

(1) $v t_1 + \frac{v^2}{4} = 4000$
(2) $v t_1 + \frac{v^2}{2} = 6500$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(v t_1 + \frac{v^2}{2}) - (v t_1 + \frac{v^2}{4}) = 6500 - 4000$

$\frac{v^2}{2} - \frac{v^2}{4} = 2500$

$\frac{v^2}{4} = 2500$

$v^2 = 10000$

$v = 100 \, \text{м/с}$ (скорость не может быть отрицательной).

4. Проверка предположения

Мы нашли скорость $v$, исходя из предположения, что $S_1 \ge 400 \, \text{м}$. Проверим, выполняется ли это условие.

Найдем путь, пройденный на втором этапе (торможение):

$S_2 = \frac{v^2}{4} = \frac{100^2}{4} = \frac{10000}{4} = 2500 \, \text{м}$.

Теперь найдем путь, пройденный на первом этапе:

$S_1 = S_{общ} - S_2 = 4000 - 2500 = 1500 \, \text{м}$.

Так как $S_1 = 1500 \, \text{м}$, а $1500 > 400$, наше предположение было верным. Первые 400 метров самолет действительно проходит на этапе равномерного движения.

Ответ: скорость $v$ равна 100 м/с.

Решите уравнения (144—152).

144. a) $\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}}=x-1;$

б) $\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2-3x+6}=3;$

в) $\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}=x-1;$

г) $\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}+\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=4\frac{1}{4}.$

а) $\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}} = x-1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Выражение под внутренним корнем неотрицательно: $x^4-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2(x^2-1) \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ всегда, то $x^2-1 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 1$, что дает $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Правая часть уравнения неотрицательна: $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

3. Выражение под внешним корнем неотрицательно: $1-\sqrt{x^4-x^2} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x^4-x^2} \le 1$. Возведя в квадрат, получим $x^4-x^2 \le 1 \Rightarrow x^4-x^2-1 \le 0$.

Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$). Неравенство примет вид $y^2-y-1 \le 0$. Корни уравнения $y^2-y-1=0$ равны $y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Решением неравенства является $ \frac{1-\sqrt{5}}{2} \le y \le \frac{1+\sqrt{5}}{2} $. Учитывая $y \ge 0$, имеем $0 \le x^2 \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Объединяя все условия ОДЗ: $x \ge 1$ и $0 \le x^2 \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, получаем $1 \le x \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$1-\sqrt{x^4-x^2} = (x-1)^2$

$1-\sqrt{x^4-x^2} = x^2-2x+1$

$-\sqrt{x^4-x^2} = x^2-2x$

$\sqrt{x^4-x^2} = 2x-x^2$

Правая часть $2x-x^2$ должна быть неотрицательной: $2x-x^2 \ge 0 \Rightarrow x(2-x) \ge 0 \Rightarrow 0 \le x \le 2$. Это условие совместимо с найденной ОДЗ.

Снова возведем в квадрат:

$x^4-x^2 = (2x-x^2)^2$

$x^4-x^2 = 4x^2-4x^3+x^4$

$-x^2 = 4x^2-4x^3$

$4x^3-5x^2 = 0$

$x^2(4x-5) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x=0$ и $x=\frac{5}{4}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($1 \le x \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$).

$x=0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, значит, это посторонний корень.

$x=\frac{5}{4}=1.25$. Проверим $1.25 \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$. Возведем в квадрат: $(1.25)^2 = 1.5625$, а $\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx \frac{1+2.236}{2} \approx 1.618$. Так как $1.5625 < 1.618$, корень $x=\frac{5}{4}$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{5}{4}$.

б) $\sqrt{x^2-3x+3} + \sqrt{x^2-3x+6} = 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2-3x+3$. Тогда $x^2-3x+6 = t+3$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{t} + \sqrt{t+3} = 3$

ОДЗ для $t$: $t \ge 0$ и $t+3 \ge 0$, что дает $t \ge 0$.

Изолируем один из корней:

$\sqrt{t+3} = 3-\sqrt{t}$

Для корректности возведения в квадрат правая часть должна быть неотрицательной: $3-\sqrt{t} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{t} \le 3 \Rightarrow t \le 9$. Таким образом, $0 \le t \le 9$.

Возводим обе части в квадрат:

$t+3 = (3-\sqrt{t})^2$

$t+3 = 9 - 6\sqrt{t} + t$

$3 = 9 - 6\sqrt{t}$

$6\sqrt{t} = 6$

$\sqrt{t} = 1$

$t=1$

Значение $t=1$ удовлетворяет условию $0 \le t \le 9$.

Вернемся к исходной переменной:

$x^2-3x+3 = 1$

$x^2-3x+2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Проверим ОДЗ исходного уравнения. Дискриминант выражения $x^2-3x+3$ равен $D=9-12=-3 < 0$, поэтому $x^2-3x+3 > 0$ для любых $x$. Аналогично для $x^2-3x+6$ дискриминант $D=9-24=-15 < 0$, поэтому $x^2-3x+6 > 0$ для любых $x$. Таким образом, ОДЗ - все действительные числа, и оба корня являются решениями.

Ответ: $1; 2$.

в) $\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}} = x-1$

Найдем ОДЗ:

1. $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

2. $x^2-24 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 24 \Rightarrow x \in (-\infty, -\sqrt{24}] \cup [\sqrt{24}, \infty)$.

3. $1+x\sqrt{x^2-24} \ge 0$.

Из первых двух условий следует, что $x \ge \sqrt{24}$ (так как $\sqrt{24} \approx 4.9 > 1$). При $x \ge \sqrt{24}$ все множители в выражении $x\sqrt{x^2-24}$ неотрицательны, поэтому $1+x\sqrt{x^2-24} > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \ge \sqrt{24}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1+x\sqrt{x^2-24} = (x-1)^2$

$1+x\sqrt{x^2-24} = x^2-2x+1$

$x\sqrt{x^2-24} = x^2-2x$

$x\sqrt{x^2-24} = x(x-2)$

Так как $x \ge \sqrt{24} > 0$, мы можем разделить обе части на $x$:

$\sqrt{x^2-24} = x-2$

Правая часть $x-2$ должна быть неотрицательной, $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Это условие выполняется в нашей ОДЗ ($x \ge \sqrt{24}$).

Возведем обе части в квадрат:

$x^2-24 = (x-2)^2$

$x^2-24 = x^2-4x+4$

$-24 = -4x+4$

$4x = 28$

$x = 7$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. $7 > \sqrt{24}$ так как $49 > 24$. Корень подходит.

Ответ: $7$.

г) $\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}} + \sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}} = 4\frac{1}{4}$

Преобразуем правую часть: $4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательны. $\frac{x+1}{x-1} \ge 0$ и $\frac{x-1}{x+1} \ge 0$. Оба неравенства эквивалентны. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq \pm 1$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}$. Тогда $\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}} = \frac{1}{t}$. Так как корень четной степени из положительного числа (из ОДЗ) - число положительное, то $t>0$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$

Умножим обе части на $4t$ (так как $t \neq 0$):

$4t^2 + 4 = 17t$

$4t^2 - 17t + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$

$t_{1,2} = \frac{17 \pm 15}{8}$

$t_1 = \frac{17+15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{17-15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба значения $t$ положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t=4$

$\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}} = 4$

$\frac{x+1}{x-1} = 4^4 = 256$

$x+1 = 256(x-1)$

$x+1 = 256x - 256$

$257 = 255x$

$x_1 = \frac{257}{255}$

Случай 2: $t = \frac{1}{4}$

$\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{4}$

$\frac{x+1}{x-1} = (\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

$256(x+1) = x-1$

$256x+256 = x-1$

$255x = -257$

$x_2 = -\frac{257}{255}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ: $\frac{257}{255} > 1$ и $-\frac{257}{255} < -1$.

Ответ: $-\frac{257}{255}; \frac{257}{255}$.