Номер 143, страница 330 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 143, страница 330.

Условие.

143. Самолет совершает посадку и движется по земле в течение некоторого времени равномерно со скоростью $v$. Затем летчик включает тормоза, и движение самолета становится равнозамедленным, причем в каждую секунду скорость уменьшается на 2 м/с. Путь от места приземления до полной остановки равен 4 км. Отношение времени, за которое самолет проходит первые 400 м, к времени, за которое самолет проходит весь путь по земле, равно 4 : 65. Определите скорость $v$.

Решение 5.

Для решения задачи разобьем движение самолета на два этапа и введем обозначения:

• Этап 1: Равномерное движение со скоростью $v$ в течение времени $t_1$. Путь, пройденный на этом этапе, равен $S_1 = v \cdot t_1$.
• Этап 2: Равнозамедленное движение с начальной скоростью $v$ до полной остановки. Время движения на этом этапе $t_2$, пройденный путь $S_2$.

Из условия известно, что в каждую секунду скорость уменьшается на 2 м/с. Это означает, что ускорение (в данном случае, замедление) самолета постоянно и равно $a = -2 \, \text{м/с}^2$.

Общий путь $S_{общ}$ равен 4 км, что составляет $4000 \, \text{м}$. Общее время движения $t_{общ} = t_1 + t_2$.

1. Уравнения движения

Для второго этапа (равнозамедленное движение) можно записать следующие уравнения:

Конечная скорость равна нулю, поэтому $0 = v + a t_2$, откуда $v = -a t_2$. Учитывая, что $a = -2 \, \text{м/с}^2$, получаем $v = 2 t_2$. Из этого следует, что время торможения $t_2 = v / 2$.

Путь, пройденный при торможении, можно найти по формуле $S_2 = v t_2 + \frac{a t_2^2}{2}$. Подставив $v = 2t_2$ и $a = -2$, получим:

$S_2 = (2t_2) t_2 + \frac{(-2) t_2^2}{2} = 2t_2^2 - t_2^2 = t_2^2$.

Также можно использовать другую формулу: $v_{кон}^2 - v_{нач}^2 = 2 a S_2$. Так как $v_{кон} = 0$, а $v_{нач} = v$, то $0 - v^2 = 2(-2)S_2$, что дает $v^2 = 4S_2$ или $S_2 = \frac{v^2}{4}$.

Общий путь равен сумме путей на двух этапах: $S_{общ} = S_1 + S_2$.

$S_1 + S_2 = v t_1 + \frac{v^2}{4} = 4000$. (1)

2. Анализ условия об отношении времен

Обозначим время, за которое самолет проходит первые $S_{400} = 400 \, \text{м}$, как $t_{400}$. Общее время движения $t_{общ} = t_1 + t_2 = t_1 + v/2$.

По условию, $\frac{t_{400}}{t_{общ}} = \frac{4}{65}$.

Рассмотрим предположение, что первые 400 метров самолет проходит на первом этапе, то есть при равномерном движении ($S_1 \ge 400 \, \text{м}$). В этом случае время $t_{400}$ можно легко найти:

$t_{400} = \frac{S_{400}}{v} = \frac{400}{v}$.

Подставим это в соотношение времен:

$\frac{400/v}{t_1 + v/2} = \frac{4}{65}$

Разделим обе части на 4:

$\frac{100/v}{t_1 + v/2} = \frac{1}{65}$

$65 \cdot \frac{100}{v} = t_1 + \frac{v}{2}$

$\frac{6500}{v} = t_1 + \frac{v}{2}$

Умножим обе части на $v$:

$6500 = v t_1 + \frac{v^2}{2}$. (2)

3. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($v$ и $t_1$):

(1) $v t_1 + \frac{v^2}{4} = 4000$
(2) $v t_1 + \frac{v^2}{2} = 6500$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(v t_1 + \frac{v^2}{2}) - (v t_1 + \frac{v^2}{4}) = 6500 - 4000$

$\frac{v^2}{2} - \frac{v^2}{4} = 2500$

$\frac{v^2}{4} = 2500$

$v^2 = 10000$

$v = 100 \, \text{м/с}$ (скорость не может быть отрицательной).

4. Проверка предположения

Мы нашли скорость $v$, исходя из предположения, что $S_1 \ge 400 \, \text{м}$. Проверим, выполняется ли это условие.

Найдем путь, пройденный на втором этапе (торможение):

$S_2 = \frac{v^2}{4} = \frac{100^2}{4} = \frac{10000}{4} = 2500 \, \text{м}$.

Теперь найдем путь, пройденный на первом этапе:

$S_1 = S_{общ} - S_2 = 4000 - 2500 = 1500 \, \text{м}$.

Так как $S_1 = 1500 \, \text{м}$, а $1500 > 400$, наше предположение было верным. Первые 400 метров самолет действительно проходит на этапе равномерного движения.

Ответ: скорость $v$ равна 100 м/с.