Номер 149, страница 331 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 149, страница 331.
№149 (с. 331)
Условие. №149 (с. 331)
скриншот условия

149. a) $ \sqrt[3]{(x+1)^2} + 2\sqrt[3]{x^2-1} = 8\sqrt[3]{(x-1)^2} $
б) $ \sqrt[3]{(2-x)^2} + \sqrt[3]{(7+x)^2} = \sqrt[3]{(7+x)(2-x)} $
Решение 3. №149 (с. 331)

Решение 5. №149 (с. 331)
а) $\sqrt[3]{(x+1)^2} + 2\sqrt[3]{x^2-1} = 8\sqrt[3]{(x-1)^2}$
Заметим, что $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Перепишем уравнение:
$\sqrt[3]{(x+1)^2} + 2\sqrt[3]{(x-1)(x+1)} = 8\sqrt[3]{(x-1)^2}$
Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подстановка $x=1$ дает $\sqrt[3]{(1+1)^2} + 2\sqrt[3]{1-1} = 8\sqrt[3]{(1-1)^2}$, что приводит к $\sqrt[3]{4} = 0$. Это неверно, следовательно, $x \neq 1$.
Поскольку $x \neq 1$, то $(x-1)^2 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\sqrt[3]{(x-1)^2}$:
$\frac{\sqrt[3]{(x+1)^2}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}} + \frac{2\sqrt[3]{(x-1)(x+1)}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}} = \frac{8\sqrt[3]{(x-1)^2}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}$
$\sqrt[3]{\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}} + 2\sqrt[3]{\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}} = 8$
$\sqrt[3]{(\frac{x+1}{x-1})^2} + 2\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} - 8 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 + 2y - 8 = 0$
Найдем корни этого уравнения по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
Случай 1: $y = 2$
$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} = 2$
Возведем обе части в куб:
$\frac{x+1}{x-1} = 2^3 = 8$
$x+1 = 8(x-1)$
$x+1 = 8x - 8$
$7x = 9$
$x_1 = \frac{9}{7}$
Случай 2: $y = -4$
$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} = -4$
Возведем обе части в куб:
$\frac{x+1}{x-1} = (-4)^3 = -64$
$x+1 = -64(x-1)$
$x+1 = -64x + 64$
$65x = 63$
$x_2 = \frac{63}{65}$
Ответ: $x_1 = \frac{9}{7}, x_2 = \frac{63}{65}$
б) $\sqrt[3]{(2-x)^2} + \sqrt[3]{(7+x)^2} = \sqrt[3]{(7+x)(2-x)}$
Введем замены: пусть $a = \sqrt[3]{2-x}$ и $b = \sqrt[3]{7+x}$.
Тогда уравнение можно переписать в виде:
$a^2 + b^2 = ab$
Перенесем все члены в одну сторону:
$a^2 - ab + b^2 = 0$
Рассмотрим это выражение. Его можно преобразовать, выделив полный квадрат:
$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = 0$
$(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 = 0$
В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых: $(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.
Следовательно, мы имеем систему уравнений:
$\begin{cases} (a - \frac{b}{2})^2 = 0 \\ \frac{3}{4}b^2 = 0 \end{cases}$
Из второго уравнения следует, что $b^2 = 0$, то есть $b=0$.
Подставив $b=0$ в первое уравнение, получаем $(a - 0)^2 = 0$, то есть $a=0$.
Таким образом, единственное действительное решение уравнения $a^2 - ab + b^2 = 0$ — это $a=0$ и $b=0$.
Вернемся к переменной $x$:
$a = \sqrt[3]{2-x} = 0 \implies 2-x = 0 \implies x=2$
$b = \sqrt[3]{7+x} = 0 \implies 7+x = 0 \implies x=-7$
Мы получили, что $x$ должен одновременно быть равен 2 и -7, что невозможно.
Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: нет решений
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 149 расположенного на странице 331 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №149 (с. 331), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.