Номер 149, страница 331 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 149, страница 331.

Условие.

149. a) $ \sqrt[3]{(x+1)^2} + 2\sqrt[3]{x^2-1} = 8\sqrt[3]{(x-1)^2} $

б) $ \sqrt[3]{(2-x)^2} + \sqrt[3]{(7+x)^2} = \sqrt[3]{(7+x)(2-x)} $

Решение 3.

Решение 5.

а) $\sqrt[3]{(x+1)^2} + 2\sqrt[3]{x^2-1} = 8\sqrt[3]{(x-1)^2}$

Заметим, что $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Перепишем уравнение:

$\sqrt[3]{(x+1)^2} + 2\sqrt[3]{(x-1)(x+1)} = 8\sqrt[3]{(x-1)^2}$

Проверим, является ли $x=1$ корнем уравнения. Подстановка $x=1$ дает $\sqrt[3]{(1+1)^2} + 2\sqrt[3]{1-1} = 8\sqrt[3]{(1-1)^2}$, что приводит к $\sqrt[3]{4} = 0$. Это неверно, следовательно, $x \neq 1$.

Поскольку $x \neq 1$, то $(x-1)^2 \neq 0$, и мы можем разделить обе части уравнения на $\sqrt[3]{(x-1)^2}$:

$\frac{\sqrt[3]{(x+1)^2}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}} + \frac{2\sqrt[3]{(x-1)(x+1)}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}} = \frac{8\sqrt[3]{(x-1)^2}}{\sqrt[3]{(x-1)^2}}$

$\sqrt[3]{\frac{(x+1)^2}{(x-1)^2}} + 2\sqrt[3]{\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)^2}} = 8$

$\sqrt[3]{(\frac{x+1}{x-1})^2} + 2\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} - 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}$. Тогда уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 + 2y - 8 = 0$

Найдем корни этого уравнения по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$.

Случай 1: $y = 2$

$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} = 2$

Возведем обе части в куб:

$\frac{x+1}{x-1} = 2^3 = 8$

$x+1 = 8(x-1)$

$x+1 = 8x - 8$

$7x = 9$

$x_1 = \frac{9}{7}$

Случай 2: $y = -4$

$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}} = -4$

Возведем обе части в куб:

$\frac{x+1}{x-1} = (-4)^3 = -64$

$x+1 = -64(x-1)$

$x+1 = -64x + 64$

$65x = 63$

$x_2 = \frac{63}{65}$

Ответ: $x_1 = \frac{9}{7}, x_2 = \frac{63}{65}$

б) $\sqrt[3]{(2-x)^2} + \sqrt[3]{(7+x)^2} = \sqrt[3]{(7+x)(2-x)}$

Введем замены: пусть $a = \sqrt[3]{2-x}$ и $b = \sqrt[3]{7+x}$.

Тогда уравнение можно переписать в виде:

$a^2 + b^2 = ab$

Перенесем все члены в одну сторону:

$a^2 - ab + b^2 = 0$

Рассмотрим это выражение. Его можно преобразовать, выделив полный квадрат:

$a^2 - 2 \cdot a \cdot \frac{b}{2} + (\frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + b^2 = 0$

$(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3}{4}b^2 = 0$

В левой части уравнения стоит сумма двух неотрицательных слагаемых: $(a - \frac{b}{2})^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Сумма двух неотрицательных слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

Следовательно, мы имеем систему уравнений:

$\begin{cases} (a - \frac{b}{2})^2 = 0 \\ \frac{3}{4}b^2 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения следует, что $b^2 = 0$, то есть $b=0$.

Подставив $b=0$ в первое уравнение, получаем $(a - 0)^2 = 0$, то есть $a=0$.

Таким образом, единственное действительное решение уравнения $a^2 - ab + b^2 = 0$ — это $a=0$ и $b=0$.

Вернемся к переменной $x$:

$a = \sqrt[3]{2-x} = 0 \implies 2-x = 0 \implies x=2$

$b = \sqrt[3]{7+x} = 0 \implies 7+x = 0 \implies x=-7$

Мы получили, что $x$ должен одновременно быть равен 2 и -7, что невозможно.

Следовательно, исходное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений