Номер 144, страница 330 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 144, страница 330.

Условие.

Решите уравнения (144—152).

144. a) $\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}}=x-1;$

б) $\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2-3x+6}=3;$

в) $\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}}=x-1;$

г) $\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}+\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}}=4\frac{1}{4}.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $\sqrt{1-\sqrt{x^4-x^2}} = x-1$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Для этого должны выполняться следующие условия:

1. Выражение под внутренним корнем неотрицательно: $x^4-x^2 \ge 0 \Rightarrow x^2(x^2-1) \ge 0$. Так как $x^2 \ge 0$ всегда, то $x^2-1 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 1$, что дает $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.

2. Правая часть уравнения неотрицательна: $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

3. Выражение под внешним корнем неотрицательно: $1-\sqrt{x^4-x^2} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x^4-x^2} \le 1$. Возведя в квадрат, получим $x^4-x^2 \le 1 \Rightarrow x^4-x^2-1 \le 0$.

Сделаем замену $y = x^2$ ($y \ge 0$). Неравенство примет вид $y^2-y-1 \le 0$. Корни уравнения $y^2-y-1=0$ равны $y = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Решением неравенства является $ \frac{1-\sqrt{5}}{2} \le y \le \frac{1+\sqrt{5}}{2} $. Учитывая $y \ge 0$, имеем $0 \le x^2 \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Объединяя все условия ОДЗ: $x \ge 1$ и $0 \le x^2 \le \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, получаем $1 \le x \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$.

Возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

$1-\sqrt{x^4-x^2} = (x-1)^2$

$1-\sqrt{x^4-x^2} = x^2-2x+1$

$-\sqrt{x^4-x^2} = x^2-2x$

$\sqrt{x^4-x^2} = 2x-x^2$

Правая часть $2x-x^2$ должна быть неотрицательной: $2x-x^2 \ge 0 \Rightarrow x(2-x) \ge 0 \Rightarrow 0 \le x \le 2$. Это условие совместимо с найденной ОДЗ.

Снова возведем в квадрат:

$x^4-x^2 = (2x-x^2)^2$

$x^4-x^2 = 4x^2-4x^3+x^4$

$-x^2 = 4x^2-4x^3$

$4x^3-5x^2 = 0$

$x^2(4x-5) = 0$

Отсюда получаем два корня: $x=0$ и $x=\frac{5}{4}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($1 \le x \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$).

$x=0$ не удовлетворяет условию $x \ge 1$, значит, это посторонний корень.

$x=\frac{5}{4}=1.25$. Проверим $1.25 \le \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$. Возведем в квадрат: $(1.25)^2 = 1.5625$, а $\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx \frac{1+2.236}{2} \approx 1.618$. Так как $1.5625 < 1.618$, корень $x=\frac{5}{4}$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{5}{4}$.

б) $\sqrt{x^2-3x+3} + \sqrt{x^2-3x+6} = 3$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2-3x+3$. Тогда $x^2-3x+6 = t+3$. Уравнение примет вид:

$\sqrt{t} + \sqrt{t+3} = 3$

ОДЗ для $t$: $t \ge 0$ и $t+3 \ge 0$, что дает $t \ge 0$.

Изолируем один из корней:

$\sqrt{t+3} = 3-\sqrt{t}$

Для корректности возведения в квадрат правая часть должна быть неотрицательной: $3-\sqrt{t} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{t} \le 3 \Rightarrow t \le 9$. Таким образом, $0 \le t \le 9$.

Возводим обе части в квадрат:

$t+3 = (3-\sqrt{t})^2$

$t+3 = 9 - 6\sqrt{t} + t$

$3 = 9 - 6\sqrt{t}$

$6\sqrt{t} = 6$

$\sqrt{t} = 1$

$t=1$

Значение $t=1$ удовлетворяет условию $0 \le t \le 9$.

Вернемся к исходной переменной:

$x^2-3x+3 = 1$

$x^2-3x+2 = 0$

По теореме Виета находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Проверим ОДЗ исходного уравнения. Дискриминант выражения $x^2-3x+3$ равен $D=9-12=-3 < 0$, поэтому $x^2-3x+3 > 0$ для любых $x$. Аналогично для $x^2-3x+6$ дискриминант $D=9-24=-15 < 0$, поэтому $x^2-3x+6 > 0$ для любых $x$. Таким образом, ОДЗ - все действительные числа, и оба корня являются решениями.

Ответ: $1; 2$.

в) $\sqrt{1+x\sqrt{x^2-24}} = x-1$

Найдем ОДЗ:

1. $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$.

2. $x^2-24 \ge 0 \Rightarrow x^2 \ge 24 \Rightarrow x \in (-\infty, -\sqrt{24}] \cup [\sqrt{24}, \infty)$.

3. $1+x\sqrt{x^2-24} \ge 0$.

Из первых двух условий следует, что $x \ge \sqrt{24}$ (так как $\sqrt{24} \approx 4.9 > 1$). При $x \ge \sqrt{24}$ все множители в выражении $x\sqrt{x^2-24}$ неотрицательны, поэтому $1+x\sqrt{x^2-24} > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x \ge \sqrt{24}$.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$1+x\sqrt{x^2-24} = (x-1)^2$

$1+x\sqrt{x^2-24} = x^2-2x+1$

$x\sqrt{x^2-24} = x^2-2x$

$x\sqrt{x^2-24} = x(x-2)$

Так как $x \ge \sqrt{24} > 0$, мы можем разделить обе части на $x$:

$\sqrt{x^2-24} = x-2$

Правая часть $x-2$ должна быть неотрицательной, $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Это условие выполняется в нашей ОДЗ ($x \ge \sqrt{24}$).

Возведем обе части в квадрат:

$x^2-24 = (x-2)^2$

$x^2-24 = x^2-4x+4$

$-24 = -4x+4$

$4x = 28$

$x = 7$

Проверим корень на соответствие ОДЗ. $7 > \sqrt{24}$ так как $49 > 24$. Корень подходит.

Ответ: $7$.

г) $\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}} + \sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}} = 4\frac{1}{4}$

Преобразуем правую часть: $4\frac{1}{4} = \frac{17}{4}$.

ОДЗ: подкоренные выражения должны быть неотрицательны. $\frac{x+1}{x-1} \ge 0$ и $\frac{x-1}{x+1} \ge 0$. Оба неравенства эквивалентны. Решая методом интервалов, получаем $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$. Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому $x \neq \pm 1$.

Сделаем замену. Пусть $t = \sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}}$. Тогда $\sqrt[4]{\frac{x-1}{x+1}} = \frac{1}{t}$. Так как корень четной степени из положительного числа (из ОДЗ) - число положительное, то $t>0$.

Уравнение принимает вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{17}{4}$

Умножим обе части на $4t$ (так как $t \neq 0$):

$4t^2 + 4 = 17t$

$4t^2 - 17t + 4 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $t$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225 = 15^2$

$t_{1,2} = \frac{17 \pm 15}{8}$

$t_1 = \frac{17+15}{8} = \frac{32}{8} = 4$

$t_2 = \frac{17-15}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Оба значения $t$ положительны, поэтому оба подходят.

Выполним обратную замену для каждого значения $t$.

Случай 1: $t=4$

$\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}} = 4$

$\frac{x+1}{x-1} = 4^4 = 256$

$x+1 = 256(x-1)$

$x+1 = 256x - 256$

$257 = 255x$

$x_1 = \frac{257}{255}$

Случай 2: $t = \frac{1}{4}$

$\sqrt[4]{\frac{x+1}{x-1}} = \frac{1}{4}$

$\frac{x+1}{x-1} = (\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

$256(x+1) = x-1$

$256x+256 = x-1$

$255x = -257$

$x_2 = -\frac{257}{255}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ: $\frac{257}{255} > 1$ и $-\frac{257}{255} < -1$.

Ответ: $-\frac{257}{255}; \frac{257}{255}$.