Номер 140, страница 330 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 140, страница 330.

Условие.

140. Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку портфеля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, авторучка — в 2 раза дешевле, а книга — в 2,5 раза дешевле, чем на самом деле, то та же покупка стоила бы 80 р. $P/5 + A/2 + K/2.5 = 80$. Если бы портфель стоил в 2 раза дешевле, книга — в 3 раза дешевле, а авторучка — в 4 раза дешевле, то за ту же покупку школьник уплатил бы 120 р. $P/2 + K/3 + A/4 = 120$. Сколько стоит вся покупка и что дороже: портфель или авторучка?

Решение 3.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменные, обозначающие настоящую стоимость каждого предмета:
$p$ – стоимость портфеля (в рублях),
$a$ – стоимость авторучки (в рублях),
$k$ – стоимость книги (в рублях).

Согласно условию задачи, мы можем составить систему из двух линейных уравнений.

Первое условие: если бы портфель стоил в 5 раз дешевле ($p/5$), авторучка — в 2 раза дешевле ($a/2$), а книга — в 2,5 раза дешевле ($k/2.5$), то покупка стоила бы 80 р. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{p}{5} + \frac{a}{2} + \frac{k}{2.5} = 80$
Преобразуем это уравнение. Учитывая, что $1/2.5 = 1/(5/2) = 2/5$, получаем:
$\frac{p}{5} + \frac{a}{2} + \frac{2k}{5} = 80$
Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на 10 (наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 2):
$10 \cdot \frac{p}{5} + 10 \cdot \frac{a}{2} + 10 \cdot \frac{2k}{5} = 10 \cdot 80$
$2p + 5a + 4k = 800$ (1)

Второе условие: если бы портфель стоил в 2 раза дешевле ($p/2$), книга — в 3 раза дешевле ($k/3$), а авторучка — в 4 раза дешевле ($a/4$), то покупка стоила бы 120 р. Запишем второе уравнение:
$\frac{p}{2} + \frac{a}{4} + \frac{k}{3} = 120$
Чтобы избавиться от дробей, умножим все уравнение на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 2, 4 и 3):
$12 \cdot \frac{p}{2} + 12 \cdot \frac{a}{4} + 12 \cdot \frac{k}{3} = 12 \cdot 120$
$6p + 3a + 4k = 1440$ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными:
$\begin{cases} 2p + 5a + 4k = 800 \\ 6p + 3a + 4k = 1440 \end{cases}$

Сколько стоит вся покупка

Для ответа на этот вопрос нужно найти общую стоимость покупки $S = p + a + k$.
Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы исключить переменную $k$, так как коэффициент при ней одинаковый:
$(6p + 3a + 4k) - (2p + 5a + 4k) = 1440 - 800$
$4p - 2a = 640$
Разделим обе части на 2, чтобы упростить выражение:
$2p - a = 320$, откуда можно выразить стоимость авторучки через стоимость портфеля: $a = 2p - 320$.

Теперь выразим стоимость книги $k$ через $p$, используя уравнение (1) и полученное соотношение для $a$.
Из уравнения (1): $4k = 800 - 2p - 5a$.
Подставим в него выражение для $a$:
$4k = 800 - 2p - 5(2p - 320)$
$4k = 800 - 2p - 10p + 1600$
$4k = 2400 - 12p$
Разделим обе части на 4:
$k = 600 - 3p$.

Теперь мы можем найти общую стоимость покупки $S$, сложив стоимости всех трех предметов:
$S = p + a + k = p + (2p - 320) + (600 - 3p)$
$S = (p + 2p - 3p) + (600 - 320)$
$S = 0 \cdot p + 280$
$S = 280$ р.
Таким образом, общая стоимость покупки является постоянной величиной и составляет 280 рублей.
Ответ: Вся покупка стоит 280 рублей.

что дороже: портфель или авторучка?

Для ответа на этот вопрос необходимо сравнить значения $p$ (стоимость портфеля) и $a$ (стоимость авторучки).
Из предыдущего пункта мы знаем соотношение между ними: $a = 2p - 320$.
Чтобы определить, какая величина больше, рассмотрим их разность: $p - a$.
$p - a = p - (2p - 320) = p - 2p + 320 = 320 - p$.

Знак этой разности зависит от значения $p$. Найдем возможный диапазон для $p$. Так как стоимость любого товара должна быть положительной величиной, имеем следующие ограничения:
1) $p > 0$
2) $a > 0 \implies 2p - 320 > 0 \implies 2p > 320 \implies p > 160$
3) $k > 0 \implies 600 - 3p > 0 \implies 600 > 3p \implies 200 > p$

Объединяя эти условия, получаем, что стоимость портфеля $p$ находится в интервале:
$160 < p < 200$.

Теперь вернемся к разности $p - a = 320 - p$.
Так как $p < 200$, то значение разности будет положительным: $320 - p > 320 - 200 = 120$.
Следовательно, разность $p - a$ всегда больше нуля ($p - a > 0$), что означает $p > a$.
Это доказывает, что портфель дороже авторучки.
Ответ: Портфель дороже авторучки.