Номер 135, страница 329 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 135, страница 329.

Условие.

135. Две точки двигаются по окружности длиной 1,2 м с постоянными скоростями. Если они двигаются в разных направлениях, то встречаются через каждые 15 с. При движении в одном направлении одна точка догоняет другую через каждые 60 с. Найдите скорость каждой точки.

Решение 5.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первой и второй точки соответственно, причем будем считать, что $v_1 \ge v_2$. Длина окружности по условию равна $L = 1.2$ м.

Движение в разных направлениях

Когда точки движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сбл} = v_1 + v_2$. За время $t_1 = 15$ с они вместе проходят расстояние, равное длине всей окружности $L$.
Исходя из этого, можно составить первое уравнение, используя формулу $S = v \cdot t$:
$L = (v_1 + v_2) \cdot t_1$
Подставляем известные значения:
$1.2 = (v_1 + v_2) \cdot 15$
Отсюда выразим сумму скоростей:
$v_1 + v_2 = \frac{1.2}{15} = 0.08$ м/с. (1)

Движение в одном направлении

Когда точки движутся в одном направлении, более быстрая точка догоняет медленную. Их относительная скорость равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$.
Чтобы одна точка догнала другую, она должна пройти на один полный круг (т.е. на расстояние $L$) больше. Это происходит за время $t_2 = 60$ с.
Составим второе уравнение:
$L = (v_1 - v_2) \cdot t_2$
Подставляем известные значения:
$1.2 = (v_1 - v_2) \cdot 60$
Отсюда выразим разность скоростей:
$v_1 - v_2 = \frac{1.2}{60} = 0.02$ м/с. (2)

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} v_1 + v_2 = 0.08 \\ v_1 - v_2 = 0.02 \end{cases}$
Сложим почленно уравнения (1) и (2), чтобы найти $v_1$:
$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 0.08 + 0.02$
$2v_1 = 0.10$
$v_1 = \frac{0.10}{2} = 0.05$ м/с.
Теперь подставим найденное значение $v_1$ в уравнение (1), чтобы найти $v_2$:
$0.05 + v_2 = 0.08$
$v_2 = 0.08 - 0.05 = 0.03$ м/с.

Ответ: скорость одной точки равна 0,05 м/с, а скорость другой — 0,03 м/с.