Номер 128, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 128, страница 328.

Условие.

128. a) $\begin{cases} x + y = 3, \\ x^4 + y^4 = 17; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y + xy = 0, \\ x^3 + y^3 + x^3 y^3 = 12. \end{cases}$

Решение 3.

Решение 5.

a)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = 3, \\x^4 + y^4 = 17.\end{cases}$

Это система симметрических уравнений. Введем замену переменных, используя элементарные симметрические многочлены:

Пусть $u = x + y$ и $v = xy$.

Из первого уравнения системы сразу получаем $u = 3$.

Выразим второе уравнение через $u$ и $v$.

$x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.

$x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2 = (u^2 - 2v)^2 - 2v^2$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(u^2 - 2v)^2 - 2v^2 = 17$.

Теперь подставим известное значение $u = 3$:

$(3^2 - 2v)^2 - 2v^2 = 17$

$(9 - 2v)^2 - 2v^2 = 17$

$81 - 36v + 4v^2 - 2v^2 = 17$

$2v^2 - 36v + 64 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$v^2 - 18v + 32 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $v$. По теореме Виета, корни уравнения $v_1 = 2$ и $v_2 = 16$.

Теперь рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 3$ и $v = 16$.

Получаем систему:

$\begin{cases}x + y = 3, \\xy = 16.\end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 16 = 0$.

Дискриминант этого уравнения $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 9 - 64 = -55$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Случай 2: $u = 3$ и $v = 2$.

Получаем систему:

$\begin{cases}x + y = 3, \\xy = 2.\end{cases}$

Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Корни этого уравнения $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Следовательно, решениями системы являются пары $(1, 2)$ и $(2, 1)$.

Ответ: $(1, 2), (2, 1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y + xy = 0, \\x^3 + y^3 + x^3y^3 = 12.\end{cases}$

Это также система симметрических уравнений. Сделаем замену $u = x + y$ и $v = xy$.

Первое уравнение примет вид: $u + v = 0$, откуда $v = -u$.

Выразим левую часть второго уравнения через $u$ и $v$:

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy) = u(u^2 - 3v)$.

$x^3y^3 = (xy)^3 = v^3$.

Тогда второе уравнение примет вид:

$u(u^2 - 3v) + v^3 = 12$.

Теперь решим систему уравнений для $u$ и $v$:

$\begin{cases}v = -u, \\u(u^2 - 3v) + v^3 = 12.\end{cases}$

Подставим $v = -u$ во второе уравнение:

$u(u^2 - 3(-u)) + (-u)^3 = 12$

$u(u^2 + 3u) - u^3 = 12$

$u^3 + 3u^2 - u^3 = 12$

$3u^2 = 12$

$u^2 = 4$

Отсюда $u = 2$ или $u = -2$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $u = 2$.

Тогда $v = -u = -2$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases}x + y = 2, \\xy = -2.\end{cases}$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 2t - 2 = 0$.

Найдем корни по формуле:

$t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Решения в этом случае: $(1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3})$ и $(1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$.

Случай 2: $u = -2$.

Тогда $v = -u = 2$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases}x + y = -2, \\xy = 2.\end{cases}$

$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-2)t + 2 = 0$, то есть $t^2 + 2t + 2 = 0$.

Дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4$.

Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(1 + \sqrt{3}, 1 - \sqrt{3}), (1 - \sqrt{3}, 1 + \sqrt{3})$.