Номер 121, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 121, страница 328.

Условие.

121. $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{n-1}{n}$.

Решение 5.

Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом сравнения. Идея состоит в том, чтобы найти для суммы в левой части неравенства верхнюю границу, которая будет равна правой части неравенства.

Рассмотрим сумму в левой части:$S_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}$

Для любого целого числа $k \ge 2$ справедливо, что $k > k-1$. Умножая обе части на $k$ (которое положительно), получаем $k^2 > k(k-1)$.Так как обе части этого неравенства положительны, можно взять от них обратные величины, изменив при этом знак неравенства на противоположный:$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)}$

Это строгое неравенство справедливо для всех $k \ge 2$. Применим его к каждому слагаемому в нашей сумме $S_n$:$\frac{1}{2^2} < \frac{1}{2(2-1)} = \frac{1}{1 \cdot 2}$
$\frac{1}{3^2} < \frac{1}{3(3-1)} = \frac{1}{2 \cdot 3}$
...
$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)}$

Сложив все эти неравенства, мы получим оценку для исходной суммы $S_n$:$S_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n}$

Сумма в правой части нового неравенства является телескопической. Чтобы это увидеть, представим каждый её член $\frac{1}{(k-1)k}$ в виде разности двух дробей:$\frac{1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$Теперь мы можем переписать сумму следующим образом:$\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k} = \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)$$= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$

В этой сумме все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний члены:$1 - \frac{1}{n}$Приводя к общему знаменателю, получаем:$1 - \frac{1}{n} = \frac{n}{n} - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$

Таким образом, мы установили, что:$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n} = \frac{n-1}{n}$Следовательно, исходное неравенство $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{n-1}{n}$ доказано для всех целых $n \ge 2$.

Ответ: Неравенство доказано.