Номер 121, страница 328 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 121, страница 328.
№121 (с. 328)
Условие. №121 (с. 328)
скриншот условия

121. $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{n-1}{n}$.
Решение 5. №121 (с. 328)
Для доказательства данного неравенства воспользуемся методом сравнения. Идея состоит в том, чтобы найти для суммы в левой части неравенства верхнюю границу, которая будет равна правой части неравенства.
Рассмотрим сумму в левой части:$S_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} = \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2}$
Для любого целого числа $k \ge 2$ справедливо, что $k > k-1$. Умножая обе части на $k$ (которое положительно), получаем $k^2 > k(k-1)$.Так как обе части этого неравенства положительны, можно взять от них обратные величины, изменив при этом знак неравенства на противоположный:$\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)}$
Это строгое неравенство справедливо для всех $k \ge 2$. Применим его к каждому слагаемому в нашей сумме $S_n$:$\frac{1}{2^2} < \frac{1}{2(2-1)} = \frac{1}{1 \cdot 2}$
$\frac{1}{3^2} < \frac{1}{3(3-1)} = \frac{1}{2 \cdot 3}$
...
$\frac{1}{n^2} < \frac{1}{n(n-1)}$
Сложив все эти неравенства, мы получим оценку для исходной суммы $S_n$:$S_n = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n}$
Сумма в правой части нового неравенства является телескопической. Чтобы это увидеть, представим каждый её член $\frac{1}{(k-1)k}$ в виде разности двух дробей:$\frac{1}{(k-1)k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$Теперь мы можем переписать сумму следующим образом:$\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{(k-1)k} = \sum_{k=2}^{n} \left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right)$$= \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right)$
В этой сумме все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, и остаются только первый и последний члены:$1 - \frac{1}{n}$Приводя к общему знаменателю, получаем:$1 - \frac{1}{n} = \frac{n}{n} - \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}$
Таким образом, мы установили, что:$\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \dots + \frac{1}{(n-1)n} = \frac{n-1}{n}$Следовательно, исходное неравенство $\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{n-1}{n}$ доказано для всех целых $n \ge 2$.
Ответ: Неравенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 121 расположенного на странице 328 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №121 (с. 328), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.