Номер 118, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 118, страница 327.

Условие.

118. a) $|x^2 - 2x| < x$;

б) $3x^2 - |x - 3| > 9x - 2$.

Решение 3.

Решение 5.

а) $|x^2 - 2x| < x$

Поскольку модуль числа всегда неотрицателен, правая часть неравенства должна быть строго положительной, чтобы неравенство имело решение. Следовательно, $x > 0$. Это область допустимых значений (ОДЗ).

Для $x > 0$ неравенство $|x^2 - 2x| < x$ равносильно двойному неравенству:

$-x < x^2 - 2x < x$

Это, в свою очередь, равносильно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 2x < x \\ x^2 - 2x > -x \end{cases}$

Решим каждое неравенство системы.

1) $x^2 - 2x < x$
$x^2 - 3x < 0$
$x(x - 3) < 0$
Корни уравнения $x(x - 3) = 0$ равны $x_1 = 0$, $x_2 = 3$. Ветви параболы $y = x^2 - 3x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями.
Решение: $x \in (0, 3)$.

2) $x^2 - 2x > -x$
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
Корни уравнения $x(x - 1) = 0$ равны $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств с учетом ОДЗ ($x > 0$).

$\begin{cases} x > 0 \\ 0 < x < 3 \\ x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \end{cases}$

Из первых двух условий получаем $x \in (0, 3)$. Пересекая этот интервал с решением второго неравенства $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$, получаем итоговое решение: $x \in (1, 3)$.

Ответ: $x \in (1, 3)$.

б) $3x^2 - |x - 3| > 9x - 2$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: Подмодульное выражение неотрицательно.

$x - 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge 3$. В этом случае $|x - 3| = x - 3$. Неравенство принимает вид:

$3x^2 - (x - 3) > 9x - 2$
$3x^2 - x + 3 > 9x - 2$
$3x^2 - 10x + 5 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 10x + 5 = 0$.
Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 100 - 60 = 40$.
Корни: $x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{10 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{10}}{3}$.
Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство $3x^2 - 10x + 5 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{5 - \sqrt{10}}{3}) \cup (\frac{5 + \sqrt{10}}{3}, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x \ge 3$. Сравним $\frac{5 + \sqrt{10}}{3}$ и $3$. $5 + \sqrt{10}$ и $9$. $\sqrt{10}$ и $4$. $10 < 16$, значит $\sqrt{10} < 4$. Следовательно, $5 + \sqrt{10} < 9$, и $\frac{5 + \sqrt{10}}{3} < 3$. Таким образом, интервал $(\frac{5 + \sqrt{10}}{3}, \infty)$ пересекается с $x \ge 3$ на промежутке $[3, \infty)$. Решение в первом случае: $x \in [3, \infty)$.

Случай 2: Подмодульное выражение отрицательно.

$x - 3 < 0 \Rightarrow x < 3$. В этом случае $|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$. Неравенство принимает вид:

$3x^2 - (3 - x) > 9x - 2$
$3x^2 - 3 + x > 9x - 2$
$3x^2 - 8x - 1 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 8x - 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 64 + 12 = 76$.
Корни: $x_{3,4} = \frac{8 \pm \sqrt{76}}{6} = \frac{8 \pm 2\sqrt{19}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{19}}{3}$.
Ветви параболы направлены вверх, значит, неравенство $3x^2 - 8x - 1 > 0$ выполняется при $x \in (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с условием $x < 3$. Сравним $\frac{4 + \sqrt{19}}{3}$ и $3$. $4 + \sqrt{19}$ и $9$. $\sqrt{19}$ и $5$. $19 < 25$, значит $\sqrt{19} < 5$. Следовательно, $4 + \sqrt{19} < 9$, и $\frac{4 + \sqrt{19}}{3} < 3$. Корень $\frac{4 - \sqrt{19}}{3}$ очевидно меньше 3, так как он отрицателен. Пересечение множества $(-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \infty)$ с условием $x < 3$ дает нам $x \in (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 3)$. Решение во втором случае: $x \in (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 3)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях:

$x \in \left( (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 3) \right) \cup [3, \infty)$

Объединяя $(\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, 3)$ и $[3, \infty)$, получаем $(\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \infty)$. Итоговое решение: $x \in (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, \frac{4 - \sqrt{19}}{3}) \cup (\frac{4 + \sqrt{19}}{3}, \infty)$.