Номер 113, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 113, страница 327.

Условие.

113. a) $x^2 + |x| - 2 = 0;$

б) $x^2 - 2x - 3 = |3x - 3|.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $x^2 + |x| - 2 = 0$

Данное уравнение содержит переменную под знаком модуля. Заметим, что $x^2$ можно представить как $|x|^2$, поскольку квадрат любого числа неотрицателен. Уравнение принимает вид: $|x|^2 + |x| - 2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $|x|$. Сделаем замену переменной: пусть $y = |x|$. Так как модуль числа всегда неотрицателен, должно выполняться условие $y \ge 0$.

После замены получаем следующее квадратное уравнение:

$y^2 + y - 2 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета, сумма корней $y_1 + y_2 = -1$, а их произведение $y_1 \cdot y_2 = -2$. Корнями являются числа $1$ и $-2$.

$y_1 = 1$

$y_2 = -2$

Теперь нужно проверить, удовлетворяют ли найденные значения условию $y \ge 0$.

Корень $y_1 = 1$ удовлетворяет условию ($1 \ge 0$).

Корень $y_2 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 0$), следовательно, является посторонним корнем.

Выполним обратную замену для подходящего корня $y = 1$:

$|x| = 1$

Это уравнение имеет два решения:

$x = 1$ и $x = -1$.

Ответ: $-1; 1$.

б) $x^2 - 2x - 3 = |3x - 3|$

Для решения этого уравнения необходимо раскрыть модуль. Раскрытие модуля зависит от знака выражения под ним. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно.

$3x - 3 \ge 0$

$3x \ge 3$

$x \ge 1$

При этом условии $|3x - 3| = 3x - 3$. Исходное уравнение принимает вид:

$x^2 - 2x - 3 = 3x - 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 2x - 3x - 3 + 3 = 0$

$x^2 - 5x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(x - 5) = 0$

Получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 5$.

Проверим, соответствуют ли эти корни условию случая ($x \ge 1$):

$x_1 = 0$ не удовлетворяет условию, так как $0 < 1$. Это посторонний корень.

$x_2 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 \ge 1$. Этот корень является решением.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно.

$3x - 3 < 0$

$3x < 3$

$x < 1$

При этом условии $|3x - 3| = -(3x - 3) = -3x + 3$. Исходное уравнение принимает вид:

$x^2 - 2x - 3 = -3x + 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 2x + 3x - 3 - 3 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим это квадратное уравнение по теореме Виета: сумма корней $x_3 + x_4 = -1$, а их произведение $x_3 \cdot x_4 = -6$. Корнями являются числа $2$ и $-3$.

$x_3 = 2$ и $x_4 = -3$.

Проверим, соответствуют ли эти корни условию случая ($x < 1$):

$x_3 = 2$ не удовлетворяет условию, так как $2 \not< 1$. Это посторонний корень.

$x_4 = -3$ удовлетворяет условию, так как $-3 < 1$. Этот корень является решением.

Объединяя решения, полученные в обоих случаях, получаем итоговый ответ.

Ответ: $-3; 5$.