Номер 115, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 115, страница 327.
№115 (с. 327)
Условие. №115 (с. 327)
скриншот условия

Решите неравенства (115—118).
115. a) $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x - 3) \geq 5;$
б) $\frac{3(x-1)(x+2)^2}{(x^2 + 1)(x+1)^2(x-2)} \geq 0;$
Решение 5. №115 (с. 327)
а) Решим неравенство $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x - 3) \ge 5$.
Заметим, что выражение $x^2 + 3x$ повторяется в обеих скобках. Сделаем замену переменной, чтобы упростить неравенство. Пусть $t = x^2 + 3x$.
Подставив $t$ в исходное неравенство, получим:
$(t + 1)(t - 3) \ge 5$
Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду:
$t^2 - 3t + t - 3 \ge 5$
$t^2 - 2t - 3 - 5 \ge 0$
$t^2 - 2t - 8 \ge 0$
Теперь решим это квадратное неравенство относительно $t$. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.
Парабола $y = t^2 - 2t - 8$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 8 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение для $t$:
$t \le -2$ или $t \ge 4$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Получаем совокупность двух неравенств:
1) $x^2 + 3x \le -2$
2) $x^2 + 3x \ge 4$
Решим каждое неравенство отдельно.
1) $x^2 + 3x + 2 \le 0$.
Корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$. Парабола $y = x^2 + 3x + 2$ направлена вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая их. Решение: $-2 \le x \le -1$, или $x \in [-2; -1]$.
2) $x^2 + 3x - 4 \ge 0$.
Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Парабола $y = x^2 + 3x - 4$ направлена вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая их. Решение: $x \le -4$ или $x \ge 1$, или $x \in (-\infty; -4] \cup [1; \infty)$.
Общее решение исходного неравенства является объединением решений этих двух случаев.
Объединяя множества $[-2; -1]$ и $(-\infty; -4] \cup [1; \infty)$, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-2; -1] \cup [1; \infty)$.
б) Решим неравенство $\frac{3(x-1)(x+2)^2}{(x^2+1)(x+1)^2(x-2)} \ge 0$.
Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов. Сначала проанализируем множители в числителе и знаменателе.
1. Постоянный множитель $3$ положителен и не влияет на знак дроби.
2. Выражение $x^2+1$ всегда положительно при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+1 \ge 1$. Этот множитель также не влияет на знак дроби.
3. Множители в четной степени $(x+2)^2$ и $(x+1)^2$ всегда неотрицательны (т.е. $\ge 0$). Они равны нулю в точках $x=-2$ и $x=-1$ соответственно. При переходе через эти точки знак неравенства не меняется, но эти точки являются особыми и их нужно учесть.
Таким образом, знак левой части неравенства совпадает со знаком выражения $\frac{x-1}{x-2}$.
Найдем нули числителя и знаменателя исходной дроби (критические точки):
- Нули числителя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$; $(x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2$. В этих точках дробь равна 0 (если знаменатель не равен 0). Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки войдут в ответ, если они не являются нулями знаменателя.
- Нули знаменателя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $(x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1$. В этих точках дробь не определена, поэтому они должны быть исключены из решения (выколотые точки).
Отметим на числовой оси все критические точки: $-2, -1, 1, 2$. Точки $x=1$ и $x=-2$ будут закрашенными, а $x=-1$ и $x=2$ — выколотыми.
Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов. Знак меняется только при переходе через корни нечетной кратности ($x=1$ и $x=2$). Через корни четной кратности ($x=-2$ и $x=-1$) знак не меняется.
Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(2; \infty)$, например $x=3$.
$\frac{3(3-1)(3+2)^2}{(3^2+1)(3+1)^2(3-2)} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 5^2}{10 \cdot 4^2 \cdot 1} > 0$. Значит, на интервале $(2; \infty)$ выражение положительно.
Двигаясь справа налево по числовой оси:
- При переходе через $x=2$ (корень нечетной кратности) знак меняется на «−». Интервал $(1; 2)$ имеет знак «−».
- При переходе через $x=1$ (корень нечетной кратности) знак меняется на «+». Интервал $(-1; 1)$ имеет знак «+».
- При переходе через $x=-1$ (корень четной кратности) знак не меняется. Интервал $(-2; -1)$ имеет знак «+».
- При переходе через $x=-2$ (корень четной кратности) знак не меняется. Интервал $(-\infty; -2)$ имеет знак «+».
Нам нужны интервалы, где выражение $\ge 0$. Это интервалы со знаком «+» и точки, где выражение равно 0.
Интервалы со знаком «+»: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(2; \infty)$.
Точки, где выражение равно 0: $x=1$ и $x=-2$.
Объединим полученные множества:
$(-\infty; -2) \cup \{-2\} \cup (-2; -1) \cup (-1; 1) \cup \{1\} \cup (2; \infty)$
Это можно записать в более компактном виде:
$(-\infty; -1) \cup (-1; 1] \cup (2; \infty)$
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1] \cup (2; \infty)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 115 расположенного на странице 327 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №115 (с. 327), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.