Номер 115, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 115, страница 327.

Условие.

Решите неравенства (115—118).

115. a) $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x - 3) \geq 5;$

б) $\frac{3(x-1)(x+2)^2}{(x^2 + 1)(x+1)^2(x-2)} \geq 0;$

Решение 5.

а) Решим неравенство $(x^2 + 3x + 1)(x^2 + 3x - 3) \ge 5$.

Заметим, что выражение $x^2 + 3x$ повторяется в обеих скобках. Сделаем замену переменной, чтобы упростить неравенство. Пусть $t = x^2 + 3x$.

Подставив $t$ в исходное неравенство, получим:

$(t + 1)(t - 3) \ge 5$

Раскроем скобки и приведем неравенство к стандартному виду:

$t^2 - 3t + t - 3 \ge 5$

$t^2 - 2t - 3 - 5 \ge 0$

$t^2 - 2t - 8 \ge 0$

Теперь решим это квадратное неравенство относительно $t$. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $t^2 - 2t - 8 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Парабола $y = t^2 - 2t - 8$ ветвями направлена вверх, поэтому неравенство $t^2 - 2t - 8 \ge 0$ выполняется, когда $t$ находится вне интервала между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение для $t$:

$t \le -2$ или $t \ge 4$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$. Получаем совокупность двух неравенств:

1) $x^2 + 3x \le -2$

2) $x^2 + 3x \ge 4$

Решим каждое неравенство отдельно.

1) $x^2 + 3x + 2 \le 0$.

Корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$. Парабола $y = x^2 + 3x + 2$ направлена вверх, поэтому неравенство $\le 0$ выполняется между корнями, включая их. Решение: $-2 \le x \le -1$, или $x \in [-2; -1]$.

2) $x^2 + 3x - 4 \ge 0$.

Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ равны $x_1 = -4$ и $x_2 = 1$. Парабола $y = x^2 + 3x - 4$ направлена вверх, поэтому неравенство $\ge 0$ выполняется вне интервала между корнями, включая их. Решение: $x \le -4$ или $x \ge 1$, или $x \in (-\infty; -4] \cup [1; \infty)$.

Общее решение исходного неравенства является объединением решений этих двух случаев.

Объединяя множества $[-2; -1]$ и $(-\infty; -4] \cup [1; \infty)$, получаем окончательный ответ.

Ответ: $x \in (-\infty; -4] \cup [-2; -1] \cup [1; \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{3(x-1)(x+2)^2}{(x^2+1)(x+1)^2(x-2)} \ge 0$.

Для решения этого дробно-рационального неравенства используем метод интервалов. Сначала проанализируем множители в числителе и знаменателе.

1. Постоянный множитель $3$ положителен и не влияет на знак дроби.

2. Выражение $x^2+1$ всегда положительно при любых действительных значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+1 \ge 1$. Этот множитель также не влияет на знак дроби.

3. Множители в четной степени $(x+2)^2$ и $(x+1)^2$ всегда неотрицательны (т.е. $\ge 0$). Они равны нулю в точках $x=-2$ и $x=-1$ соответственно. При переходе через эти точки знак неравенства не меняется, но эти точки являются особыми и их нужно учесть.

Таким образом, знак левой части неравенства совпадает со знаком выражения $\frac{x-1}{x-2}$.

Найдем нули числителя и знаменателя исходной дроби (критические точки):

• Нули числителя: $x-1=0 \Rightarrow x=1$; $(x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2$. В этих точках дробь равна 0 (если знаменатель не равен 0). Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эти точки войдут в ответ, если они не являются нулями знаменателя.
• Нули знаменателя: $x-2=0 \Rightarrow x=2$; $(x+1)^2=0 \Rightarrow x=-1$. В этих точках дробь не определена, поэтому они должны быть исключены из решения (выколотые точки).

Отметим на числовой оси все критические точки: $-2, -1, 1, 2$. Точки $x=1$ и $x=-2$ будут закрашенными, а $x=-1$ и $x=2$ — выколотыми.

Определим знак выражения на каждом из полученных интервалов. Знак меняется только при переходе через корни нечетной кратности ($x=1$ и $x=2$). Через корни четной кратности ($x=-2$ и $x=-1$) знак не меняется.

Возьмем пробную точку из крайнего правого интервала $(2; \infty)$, например $x=3$.

$\frac{3(3-1)(3+2)^2}{(3^2+1)(3+1)^2(3-2)} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 5^2}{10 \cdot 4^2 \cdot 1} > 0$. Значит, на интервале $(2; \infty)$ выражение положительно.

Двигаясь справа налево по числовой оси:

• При переходе через $x=2$ (корень нечетной кратности) знак меняется на «−». Интервал $(1; 2)$ имеет знак «−».
• При переходе через $x=1$ (корень нечетной кратности) знак меняется на «+». Интервал $(-1; 1)$ имеет знак «+».
• При переходе через $x=-1$ (корень четной кратности) знак не меняется. Интервал $(-2; -1)$ имеет знак «+».
• При переходе через $x=-2$ (корень четной кратности) знак не меняется. Интервал $(-\infty; -2)$ имеет знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение $\ge 0$. Это интервалы со знаком «+» и точки, где выражение равно 0.

Интервалы со знаком «+»: $(-\infty; -2)$, $(-2; -1)$, $(-1; 1)$, $(2; \infty)$.

Точки, где выражение равно 0: $x=1$ и $x=-2$.

Объединим полученные множества:

$(-\infty; -2) \cup \{-2\} \cup (-2; -1) \cup (-1; 1) \cup \{1\} \cup (2; \infty)$

Это можно записать в более компактном виде:

$(-\infty; -1) \cup (-1; 1] \cup (2; \infty)$

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; 1] \cup (2; \infty)$.