Номер 112, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 112, страница 327.

Условие.

112. a) $x^2 + \frac{9x^2}{(3+x)^2} = 7;$

б) $x^2 + \frac{x^2}{(1+x)^2} = 1.$

Решение 3.

Решение 5.

а) $x^2 + \frac{9x^2}{(3+x)^2} = 7$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $3+x \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Преобразуем исходное уравнение. Заметим, что второй член можно представить в виде квадрата:

$x^2 + \left(\frac{3x}{3+x}\right)^2 = 7$

Это выражение имеет вид $a^2+b^2=7$, где $a=x$ и $b=\frac{3x}{3+x}$. Воспользуемся формулой полного квадрата $a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$. Найдем выражения для $(a-b)$ и $2ab$:

$a-b = x - \frac{3x}{3+x} = \frac{x(3+x) - 3x}{3+x} = \frac{3x+x^2-3x}{3+x} = \frac{x^2}{3+x}$

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{3x}{3+x} = \frac{6x^2}{3+x} = 6 \cdot \frac{x^2}{3+x}$

Подставим эти выражения обратно в уравнение:

$\left(\frac{x^2}{3+x}\right)^2 + 6\left(\frac{x^2}{3+x}\right) = 7$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2}{3+x}$. Тогда уравнение принимает вид:

$y^2 + 6y = 7$

$y^2 + 6y - 7 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $y_1=1$ и $y_2=-7$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1. Если $y=1$:

$\frac{x^2}{3+x} = 1$

$x^2 = 3+x$

$x^2 - x - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13$

$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).

2. Если $y=-7$:

$\frac{x^2}{3+x} = -7$

$x^2 = -7(3+x)$

$x^2 = -21 - 7x$

$x^2 + 7x + 21 = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения:

$D = 7^2 - 4(1)(21) = 49 - 84 = -35$

Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Следовательно, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.

Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.

---

б) $x^2 + \frac{x^2}{(1+x)^2} = 1$

ОДЗ: $1+x \neq 0$, то есть $x \neq -1$.

Перепишем уравнение в виде:

$x^2 + \left(\frac{x}{1+x}\right)^2 = 1$

Это уравнение вида $a^2+b^2=1$, где $a=x$ и $b=\frac{x}{1+x}$. Используем тождество $a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$.

Найдем $(a-b)$ и $2ab$:

$a-b = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x(1+x)-x}{1+x} = \frac{x+x^2-x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$

$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{x}{1+x} = \frac{2x^2}{1+x} = 2 \cdot \frac{x^2}{1+x}$

Подставим в уравнение:

$\left(\frac{x^2}{1+x}\right)^2 + 2\left(\frac{x^2}{1+x}\right) = 1$

Произведем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2}{1+x}$. Уравнение примет вид:

$y^2 + 2y - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:

$D_y = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$

$y = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$

Выполним обратную замену.

1. Если $y = -1 + \sqrt{2}$:

$\frac{x^2}{1+x} = \sqrt{2}-1$

$x^2 = (\sqrt{2}-1)(1+x)$

$x^2 - (\sqrt{2}-1)x - (\sqrt{2}-1) = 0$

Найдем дискриминант этого уравнения $D_x$:

$D_x = (-(\sqrt{2}-1))^2 - 4(1)(-(\sqrt{2}-1)) = (\sqrt{2}-1)^2 + 4(\sqrt{2}-1)$

$D_x = (2-2\sqrt{2}+1) + (4\sqrt{2}-4) = 3-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4 = 2\sqrt{2}-1$

Так как $2\sqrt{2} = \sqrt{8} > 1$, то $D_x > 0$. Уравнение имеет два действительных корня:

$x = \frac{(\sqrt{2}-1) \pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$

Эти корни не равны -1 и входят в ОДЗ.

2. Если $y = -1 - \sqrt{2}$:

$\frac{x^2}{1+x} = -1 - \sqrt{2}$

$x^2 = -(\sqrt{2}+1)(1+x)$

$x^2 + (\sqrt{2}+1)x + (\sqrt{2}+1) = 0$

Найдем дискриминант $D_x$:

$D_x = (\sqrt{2}+1)^2 - 4(1)(\sqrt{2}+1) = (2+2\sqrt{2}+1) - (4\sqrt{2}+4) = 3+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}-4 = -1-2\sqrt{2}$

Так как $D_x < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.

Ответ: $x = \frac{\sqrt{2}-1 \pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$.