Номер 112, страница 327 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Авторы: Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницын Ю. П.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2008 - 2025
Цвет обложки: зелёный, чёрный
ISBN: 978-5-09-019513-3
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы. Глава 6. Задачи повышенной трудности - номер 112, страница 327.
№112 (с. 327)
Условие. №112 (с. 327)
скриншот условия

112. a) $x^2 + \frac{9x^2}{(3+x)^2} = 7;$
б) $x^2 + \frac{x^2}{(1+x)^2} = 1.$
Решение 3. №112 (с. 327)


Решение 5. №112 (с. 327)
а) $x^2 + \frac{9x^2}{(3+x)^2} = 7$
Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $3+x \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
Преобразуем исходное уравнение. Заметим, что второй член можно представить в виде квадрата:
$x^2 + \left(\frac{3x}{3+x}\right)^2 = 7$
Это выражение имеет вид $a^2+b^2=7$, где $a=x$ и $b=\frac{3x}{3+x}$. Воспользуемся формулой полного квадрата $a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$. Найдем выражения для $(a-b)$ и $2ab$:
$a-b = x - \frac{3x}{3+x} = \frac{x(3+x) - 3x}{3+x} = \frac{3x+x^2-3x}{3+x} = \frac{x^2}{3+x}$
$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{3x}{3+x} = \frac{6x^2}{3+x} = 6 \cdot \frac{x^2}{3+x}$
Подставим эти выражения обратно в уравнение:
$\left(\frac{x^2}{3+x}\right)^2 + 6\left(\frac{x^2}{3+x}\right) = 7$
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2}{3+x}$. Тогда уравнение принимает вид:
$y^2 + 6y = 7$
$y^2 + 6y - 7 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Решим его по теореме Виета или через дискриминант. Корни: $y_1=1$ и $y_2=-7$.
Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$.
1. Если $y=1$:
$\frac{x^2}{3+x} = 1$
$x^2 = 3+x$
$x^2 - x - 3 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = (-1)^2 - 4(1)(-3) = 1 + 12 = 13$
$x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -3$).
2. Если $y=-7$:
$\frac{x^2}{3+x} = -7$
$x^2 = -7(3+x)$
$x^2 = -21 - 7x$
$x^2 + 7x + 21 = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения:
$D = 7^2 - 4(1)(21) = 49 - 84 = -35$
Так как $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.
Следовательно, решениями исходного уравнения являются только корни, полученные в первом случае.
Ответ: $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
б) $x^2 + \frac{x^2}{(1+x)^2} = 1$
ОДЗ: $1+x \neq 0$, то есть $x \neq -1$.
Перепишем уравнение в виде:
$x^2 + \left(\frac{x}{1+x}\right)^2 = 1$
Это уравнение вида $a^2+b^2=1$, где $a=x$ и $b=\frac{x}{1+x}$. Используем тождество $a^2+b^2 = (a-b)^2+2ab$.
Найдем $(a-b)$ и $2ab$:
$a-b = x - \frac{x}{1+x} = \frac{x(1+x)-x}{1+x} = \frac{x+x^2-x}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$
$2ab = 2 \cdot x \cdot \frac{x}{1+x} = \frac{2x^2}{1+x} = 2 \cdot \frac{x^2}{1+x}$
Подставим в уравнение:
$\left(\frac{x^2}{1+x}\right)^2 + 2\left(\frac{x^2}{1+x}\right) = 1$
Произведем замену переменной. Пусть $y = \frac{x^2}{1+x}$. Уравнение примет вид:
$y^2 + 2y - 1 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант:
$D_y = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$
Выполним обратную замену.
1. Если $y = -1 + \sqrt{2}$:
$\frac{x^2}{1+x} = \sqrt{2}-1$
$x^2 = (\sqrt{2}-1)(1+x)$
$x^2 - (\sqrt{2}-1)x - (\sqrt{2}-1) = 0$
Найдем дискриминант этого уравнения $D_x$:
$D_x = (-(\sqrt{2}-1))^2 - 4(1)(-(\sqrt{2}-1)) = (\sqrt{2}-1)^2 + 4(\sqrt{2}-1)$
$D_x = (2-2\sqrt{2}+1) + (4\sqrt{2}-4) = 3-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}-4 = 2\sqrt{2}-1$
Так как $2\sqrt{2} = \sqrt{8} > 1$, то $D_x > 0$. Уравнение имеет два действительных корня:
$x = \frac{(\sqrt{2}-1) \pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$
Эти корни не равны -1 и входят в ОДЗ.
2. Если $y = -1 - \sqrt{2}$:
$\frac{x^2}{1+x} = -1 - \sqrt{2}$
$x^2 = -(\sqrt{2}+1)(1+x)$
$x^2 + (\sqrt{2}+1)x + (\sqrt{2}+1) = 0$
Найдем дискриминант $D_x$:
$D_x = (\sqrt{2}+1)^2 - 4(1)(\sqrt{2}+1) = (2+2\sqrt{2}+1) - (4\sqrt{2}+4) = 3+2\sqrt{2}-4\sqrt{2}-4 = -1-2\sqrt{2}$
Так как $D_x < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: $x = \frac{\sqrt{2}-1 \pm \sqrt{2\sqrt{2}-1}}{2}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10-11 класс, для упражнения номер 112 расположенного на странице 327 к учебнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №112 (с. 327), авторов: Колмогоров (Андрей Николаевич), Абрамов (Александр Михайлович), Дудницын (Юрий Павлович), учебного пособия издательства Просвещение.