Номер 105, страница 326 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Колмогоров, Абрамов

Глава 6. Задачи повышенной трудности. Параграф 3. Уравнения, неравенства и системы - номер 105, страница 326.

Условие.

Решите уравнения (105—114).

105.

а) $(x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40;$

б) $(x - 1)^5 + (x + 3)^5 = 242 (x + 1);$

в) $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 100;$

г) $x^4 + (x + 2)^4 = 17.$

Решение 3.

Решение 5.

а)

Исходное уравнение: $(x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = 40$.

Сгруппируем множители так, чтобы суммы свободных членов в парах были равны: $1+5 = 6$ и $2+4=6$.

$[(x + 1)(x + 5)][(x + 2)(x + 4)] = 40$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 + 5x + x + 5)(x^2 + 4x + 2x + 8) = 40$

$(x^2 + 6x + 5)(x^2 + 6x + 8) = 40$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2 + 6x$. Уравнение примет вид:

$(y + 5)(y + 8) = 40$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$y^2 + 8y + 5y + 40 = 40$

$y^2 + 13y = 0$

$y(y + 13) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y_1 = 0$ и $y_2 = -13$.

Теперь выполним обратную замену для каждого значения $y$.

1. Если $y = 0$, то $x^2 + 6x = 0$.

$x(x + 6) = 0$. Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$.

2. Если $y = -13$, то $x^2 + 6x = -13$.

$x^2 + 6x + 13 = 0$.

Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 36 - 52 = -16$.

Так как дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексных корня:

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-6 \pm 4i}{2} = -3 \pm 2i$.

Корни: $x_3 = -3 + 2i$, $x_4 = -3 - 2i$.

Ответ: $0, -6, -3 \pm 2i$.

б)

Исходное уравнение: $(x - 1)^5 + (x + 3)^5 = 242(x + 1)$.

Для упрощения выражения сделаем замену переменной. Центр симметрии находится в точке $x+1$. Пусть $y = x + 1$. Тогда $x = y - 1$.

Подставим новую переменную в уравнение:

$x - 1 = (y - 1) - 1 = y - 2$

$x + 3 = (y - 1) + 3 = y + 2$

Уравнение примет вид: $(y - 2)^5 + (y + 2)^5 = 242y$.

Используем формулу бинома Ньютона. Для $(a+b)^5$ биномиальные коэффициенты равны 1, 5, 10, 10, 5, 1.

$(y + 2)^5 = y^5 + 5y^4(2) + 10y^3(2^2) + 10y^2(2^3) + 5y(2^4) + 2^5 = y^5 + 10y^4 + 40y^3 + 80y^2 + 80y + 32$.

$(y - 2)^5 = y^5 - 10y^4 + 40y^3 - 80y^2 + 80y - 32$.

Сложив эти два выражения, получим (члены с нечетными степенями двойки сокращаются):

$(y - 2)^5 + (y + 2)^5 = 2y^5 + 80y^3 + 160y$.

Подставим это обратно в уравнение:

$2y^5 + 80y^3 + 160y = 242y$

$2y^5 + 80y^3 - 82y = 0$

Разделим на 2 и вынесем $y$ за скобку:

$y^5 + 40y^3 - 41y = 0$

$y(y^4 + 40y^2 - 41) = 0$

Отсюда $y_1 = 0$ или $y^4 + 40y^2 - 41 = 0$.

Решим биквадратное уравнение $y^4 + 40y^2 - 41 = 0$. Сделаем замену $z = y^2$.

$z^2 + 40z - 41 = 0$.

По теореме Виета корни этого уравнения: $z_1 = 1$ и $z_2 = -41$.

Возвращаемся к $y$:

1. $y^2 = 1 \implies y_{2,3} = \pm 1$.

2. $y^2 = -41 \implies y_{4,5} = \pm \sqrt{-41} = \pm i\sqrt{41}$.

Мы получили пять значений для $y$: $0, 1, -1, i\sqrt{41}, -i\sqrt{41}$.

Теперь выполним обратную замену $x = y - 1$:

$x_1 = 0 - 1 = -1$.

$x_2 = 1 - 1 = 0$.

$x_3 = -1 - 1 = -2$.

$x_{4,5} = -1 \pm i\sqrt{41}$.

Ответ: $0, -1, -2, -1 \pm i\sqrt{41}$.

в)

Исходное уравнение: $(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 100$.

Сгруппируем множители попарно так, чтобы суммы свободных членов были равны: $1+4=5$ и $2+3=5$.

$[(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] = 100$

Раскроем скобки в каждой группе:

$(x^2 + 5x + 4)(x^2 + 5x + 6) = 100$

Сделаем замену. Пусть $y = x^2 + 5x$.

$(y + 4)(y + 6) = 100$

$y^2 + 10y + 24 = 100$

$y^2 + 10y - 76 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ по формуле корней:

$y = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-76)}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 304}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{404}}{2}$

$y = \frac{-10 \pm 2\sqrt{101}}{2} = -5 \pm \sqrt{101}$

Получаем два значения для $y$: $y_1 = -5 + \sqrt{101}$ и $y_2 = -5 - \sqrt{101}$.

Выполним обратную замену.

1. $x^2 + 5x = -5 + \sqrt{101} \implies x^2 + 5x + (5 - \sqrt{101}) = 0$.

Дискриминант $D_1 = 5^2 - 4(5 - \sqrt{101}) = 25 - 20 + 4\sqrt{101} = 5 + 4\sqrt{101}$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{101}}}{2}$.

2. $x^2 + 5x = -5 - \sqrt{101} \implies x^2 + 5x + (5 + \sqrt{101}) = 0$.

Дискриминант $D_2 = 5^2 - 4(5 + \sqrt{101}) = 25 - 20 - 4\sqrt{101} = 5 - 4\sqrt{101}$.

Так как $(4\sqrt{101})^2 = 1616$ и $5^2 = 25$, то $4\sqrt{101} > 5$, следовательно $D_2 < 0$.

Комплексные корни: $x_{3,4} = \frac{-5 \pm \sqrt{5 - 4\sqrt{101}}}{2} = \frac{-5 \pm i\sqrt{4\sqrt{101} - 5}}{2}$.

Ответ: $\frac{-5 \pm \sqrt{5 + 4\sqrt{101}}}{2}, \frac{-5 \pm i\sqrt{4\sqrt{101} - 5}}{2}$.

г)

Исходное уравнение: $x^4 + (x + 2)^4 = 17$.

Это уравнение является симметричным относительно точки $x = -1$. Сделаем замену $y = x + 1$, тогда $x = y - 1$ и $x + 2 = y + 1$.

Уравнение примет вид:

$(y - 1)^4 + (y + 1)^4 = 17$

Раскроем скобки с помощью бинома Ньютона. Коэффициенты для 4-й степени: 1, 4, 6, 4, 1.

$(y + 1)^4 = y^4 + 4y^3 + 6y^2 + 4y + 1$

$(y - 1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$

Сложим эти выражения:

$(y - 1)^4 + (y + 1)^4 = 2y^4 + 12y^2 + 2$

Подставим в уравнение:

$2y^4 + 12y^2 + 2 = 17$

$2y^4 + 12y^2 - 15 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $z = y^2$.

$2z^2 + 12z - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение для $z$:

$z = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15)}}{2 \cdot 2} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 120}}{4} = \frac{-12 \pm \sqrt{264}}{4}$

$z = \frac{-12 \pm 2\sqrt{66}}{4} = \frac{-6 \pm \sqrt{66}}{2}$

Получаем два значения для $z = y^2$.

1. $y^2 = \frac{-6 + \sqrt{66}}{2}$. Так как $\sqrt{66} > \sqrt{36} = 6$, это значение положительно. Отсюда получаем два действительных корня для $y$:

$y = \pm \sqrt{\frac{\sqrt{66} - 6}{2}}$

2. $y^2 = \frac{-6 - \sqrt{66}}{2}$. Это значение отрицательно. Отсюда получаем два комплексных корня для $y$:

$y = \pm i\sqrt{\frac{6 + \sqrt{66}}{2}}$

Теперь вернемся к переменной $x = y - 1$.

Из первого случая получаем действительные корни:

$x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{\frac{\sqrt{66} - 6}{2}}$

Из второго случая получаем комплексные корни:

$x_{3,4} = -1 \pm i\sqrt{\frac{6 + \sqrt{66}}{2}}$

Ответ: $-1 \pm \sqrt{\frac{\sqrt{66} - 6}{2}}, -1 \pm i\sqrt{\frac{6 + \sqrt{66}}{2}}$.